Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu
Laboratorium
Rozkład normalny, niepewność
standardowa typu A
Instrukcja do ćwiczenia nr 1
Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery
Wrocław, listopad 2010 r.
2
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu
Ćwiczenie laboratoryjne nr 1
R
OZKŁAD NORMALNY, NIEPEWNOŚĆ STANDARDOWA TYPU A
1. C
EL ĆWICZENIA
Celem ćwiczenia jest sporządzenie histogramu wartości wielkości mierzonych, a następnie
analityczne wyznaczenie parametrów funkcji Gaussa dla pojedynczego
pomiaru i średniej oraz
graficzne przedstawienie wyników w raz z ich interpretacją.
2. POJEDYNCZY POMIAR [1,2,3]
Na rysunkach 1 i 2 przedstawiono
[1] histogram 100 i 1000 pomiarów tej samej wielkości
fizycznej. Po wykonaniu 1000 pomiarów histogram staje się dość gładki i regularny. Gdy ilość
pomiarów dąży do nieskończoności ich rozkład zbliża się do tzw. krzywej granicznej, która
przypomina swoim kształtem dzwon i jest symetryczna względem wartości prawdziwej X wielkości
mierzonej.
Rys.1. Histogram
przedstawiający 100 pomiarów pewnej wielkości fizycznej [1]
Wartość prawdziwa X
Rys.2. Histogram przedstawiający 1000 pomiarów wielkości fizycznej z rysunku 1 [1]
Taka sytuacja występuje jeżeli wynik pomiaru jest narażony na wpływ błędów przypadkowych , a
błędy systematyczne są zaniedbywalne. Błędy przypadkowe z równym prawdopodobieństwem
zaniżają i zawyżają otrzymane wartości. Jeżeli wszystkie błędy są przypadkowe to powinniśmy z
takim samym prawdopodobieństwem uzyskać tyle samo wyników poniżej jak i powyżej wartości
prawdziwej. Błędy systematyczne przesuwają wszystkie mierzone wartości w jednym kierunku i
powodują, że środek rozkładu oddala się od wartości prawdziwej.[1]
krzywa
graniczna
Cz
ęst
ość
Cz
ęst
ość
3
Krzywa graniczna nazywa się funkcją Gaussa i ma postać:
f
X,σ
(x) =
1
σ√2π
e
−(x−X)
2
/2σ
2
(1)
gdzie:
X –
wartość prawdziwa (środek rozkładu)
σ – szerokość rozkładu
Pomiary, których rozkładem jest funkcja Gaussa są to pomiary, które mają rozkład normalny.
Funkcja f
X,σ
–
nazywa się funkcją gęstości prawdopodobieństwa, a jej znaczenie przedstawia
rysunek 3.
f(x)dx= częstość pomiarów w ∫ f(x)
b
a
-
częstość pomiarów w przedziale od
przedziale od x do x+dx x = a do x = b
Rys.3. Interpretacja rozkładu granicznego
Rozkład graniczny f(x) pomiarów pewnej wielkości fizycznej oznacza również prawdopodobieństwo
uzyskania wyniku pojedynczego pomiaru w przedziale a
≤x≤b.
Co to jest wartość X ora z σ ?
Wartość średnia pomiarów przy nieskończonej ilości powtórzeń wyraża się równaniem:
x� = ∫ xf(x)dx
+∞
−∞
(2)
Wstawiając do tego równania wartość f(x) z równania (1) otrzymamy:
x� = ∫ xf
X,σ
(x)dx
+∞
−∞
=
1
σ√2π
∫ x
+∞
−∞
e
−
(x−X)2
2σ2
dx
(3)
Podstawiając y = x-X otrzymujemy dx=dy oraz
x� =
1
σ√2π
∫ (y + X)
+∞
−∞
e
−
(y)2
2σ2
dy
(4)
i dalej
x� =
1
σ√2π
�∫ y
+∞
−∞
e
−
(y)2
2σ2
dy + ∫ X
+∞
−∞
e
−
(y)2
2σ2
dy�
(5)
0
x� =
1
σ√2π
�X ∫ e
−
(y)2
2σ2
+∞
−∞
dy�
(6)
𝜎√2𝜋
Stąd 𝒙� = 𝑿
Wyn ika z tego , że wartość prawdziwa wielkości mierzonej dla nieskończonej liczby powtórzeń
równa się wartości średniej.
x
x+dx
x
f(x)
x
a
b
4
Odchylenie standardowe przy nieskończonej liczbie powtórzeń wyraża się równaniem:
σ
x
2
= ∫ (x − x �)
2
+∞
−∞
f
X,σ
(x)dx
(7)
Ponieważ X = x � oraz podstawiając x - X= y i y/σ = z , a następnie całkując przez części
otrzymamy:
σ
x
2
= σ
2
.
(8)
O
znacza, że dla nieskończonej ilości pomiarów szerokość funkcji Gaussa jest równa odchyleniu
standardowemu.
Równania 2 i 7 oznacza
ją również to, że znając funkcję f(x) potrafimy obliczyć średnią x � oraz
odchylenie standardowe σ
x
dla nieskończenie długiej serii pomiarów, czyli poznalibyśmy wartość
prawdziwą X.
W rzeczywistości dysponujemy skończoną liczbą pomiarów: x
1
, x
2,
..., x
N.
Jak
określić zatem
najlepsze przybliżenie wartości prawdziwej X oraz szerokości rozkładu σ?
Jeżeli wyniki pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu f
X,
σ
(x) to możemy określić
prawdopodobieństwo otrzymania wyniku w pobliżu x
1,
mieszczącego się w przedziale dx
1.
Wynosi
ono [1]:
P(x w przedziale od x
1
do x
1
+dx
1
)=
1
σ√2π
e
−
(x1−X)2
2σ2
dx
1
(9)
Prawdopodobieństwo otrzymania wyniku w pobliżu x
2
wynosi:
P(x w przedziale od x
2
do x
2
+dx
2
)=
1
σ√2π
e
−
(x2−X)2
2σ2
dx
2
(10)
Prawdopodobieństwo otrzymania wyniku w pobliżu x
N
wynosi:
P(x w przedziale od x
N
do x
N
+dx
N
)=
1
σ√2π
e
−
�xN−X�
2
2σ2
dx
N
(11)
Prawdopodobieństwo, że otrzymamy cały zbiór N wartości jest iloczynem poszczególnych
prawdo
podobieństw i wyraża się równaniem:
P
X,σ
(x1,…,x
N
)= P(x
1
)P(x
2
)…P(x
N
).
(12)
Można zatem napisać, że :
P
X,σ
(x1,…,x
N
)~
1
σ
N
e
− ∑(x
i
−X)
2
/2σ
2
(13)
Za najlepsze przyb
liżenie X i σ przyjmujemy takie , które daje największe prawdopodobieństwo
wynikające z równania (13).
Równanie to osiąga maksimum gdy ∑(x
i
− X)
2
/2σ
2
ma wa
rtość minimalną. Po obliczeniu
pochodnej po X i przyrównaniu jej do 0 otrzymamy:
1
2σ
2
�∑ x
i
N
i=1
− NX� = 0
(14)
i dalej
X =
∑
x
i
N
i=1
N
(15)
5
Oznacza to, że najlepszym przybliżeniem wartości prawdziwej X jest średnia z N pomiarów.
W celu znalezienia najlepszego przybliżenia
σ należy dokonać operacji pochodnej równania
13
względem σ i przyrównania ją do zera,. Po obliczeniach otrzymamy:
σ = �
1
N−1
∑ (x
i
− x�)
2
N
i=1
(16)
Szerokość rozkładu określa, zatem odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru.
Podsumowując, jeżeli dysponujemy zbiorem N mierzonych wartości x
1,
x
2
,…x
N
najlepszym
przybliżeniem wartości prawdziwej jest średnia wyników, a najlepszym przybliżeniem
szerokości rozkładu Gaussa jest odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru.
Obliczmy dalej jakie jest prawdopodobieństwo, że wynik pojedynczego pomiaru leży w przedziale
jednego odchylenia standardowego σ od wartości prawdziwej X jeżeli rozkładem granicznym jest
funkcja Gaussa f
X,σ
(x).
Prawdopodobieństwo to wyraża równanie:
P(w promieniu σ) = ∫
f
X,σ
(x)
X+σ
X−σ
=
1
σ√2π
∫
e
−(x−X)
2
/2σ
2
X+σ
X−σ
dx
(17)
Graficzną interpretację całki z równania (17) pokazuje rysunek 4.
f(x)
X-
σ X X+σ
Rys.4. Prawdopodobieństwo otrzymania wyniku pomiaru w przedziale X±σ
Podstawiając z = (x-X)/σ otrzymamy dz = dx/σ oraz:
P(w promieniu σ) = =
1
√2π
∫ e
−z
2
/2
1
−1
dz
(18)
Ogólnie
prawdopodobieństwa znalezienia się pojedynczego wyniku pomiaru w promieniu tσ, gdzie t
jest dowolną liczbą stała przedstawia równanie:
P(w promieniu tσ) =
1
√2π
∫ e
−z
2
/2
t
−t
dz ,
(19)
którego i
nterpretację przedstawia rysunek 5.
f(x)
x
X-
tσ X X+tσ
Rys.5.
Prawdopodobieństwo otrzymania wyniku pomiaru w przedziale X±σ
x
6
Całka w równaniu (19) nazywa się funkcją błędu i nie można ją obliczyć arytmetyczne. Graficzne
jej r
ozwiązanie jej przedstawia rysunek 6 oraz zamieszczona po nim tabela.
t
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
2,5
3
3,5
4
P,%
0
20
38
55
68
79
87
92
95,4 98,8 99,7 99,95 99,99
Rys.
6. Rozwiązanie równania (19) [1]
Z rysunku 6
wynika, że prawdopodobieństwo uzyskania wyniku pojedynczego pomiaru w przedziale
o promieniu
σ wynosi 68% a o promieniu 3σ wynosi 99,7%. Inaczej mówiąc, jeżeli wykonamy na
przykład 10 pomiarów pewnej wielkości fizycznej i obliczymy wartość średnią i odchylenie
standardowe, a
następnie wykonamy 11 pomiar to możemy stwierdzić z prawdopodobieństwem
równym 68%,
że znajdzie się on w przedziale wartość średnia ± σ albo z prawdopodobieństwem
99,7%, że znajdzie się on w przedziale wartość średnia ± 3σ.
3. R
OZKŁAD GAUSSA DLA ŚREDNIEJ [1,2,3]
Zakładamy, że wykonujemy wielokrotnie serię N pomiarów tej samej wielkości fizycznej ,
tzn. otrzymamy zbiory wyników pomiarów:
{x
11
, x
12
, x
13,
…,x
1N
}
{x
21
, x
22
, x
23,
…,x
2N
}
{x
31
, x
32
, x
33,
…,x
3N
}
……………………………….
{x
M1
, x
M2
, x
M3,
…,x
MN
}
Każda seria opisana jest przez rozkład normalny o wartości prawdziwej X i szerokości rozkładu σ.
Obliczymy ile wynosi
średnia x �oraz odchylenie standardowe sredniej σ
x�
.
Średnia z tak przeprowadzonych pomiarów wyraża się równaniem:
x� =
x�
1
+x�
2
+x�
3
+⋯+x�
N
N
=
NX
N
= X
(20)
w którym:
x�
i
– srednia dla i-tej serii pomiarowej.
Odchylenie standardowe
średniej σ
x�
,
zgodnie z regułą kwadratowego przenoszenia błędów, wyraża
się ogólnym równaniem:
σ
x�
= ��
∂x
∂x
11
σ
x
11
�
2
+ �
∂x
∂x
12
σ
x
12
�
2
+ ⋯ + �
∂x
∂x
1N
σ
x
1N
�
2
(21)
100%
68%
50%
1
2
3
4
95,4%
99,7%
t
0,67
P
7
w którym:
σ
x
1i
– odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru.
Po przekształceniach otrzymamy:
σ
x�
= ��
1
N
σ
x
11
�
2
+ �
1
N
σ
x
12
�
2
+ ⋯ + �
1
N
σ
x
1N
�
2
(22)
Ponieważ szerokości rozkładów są takie same: σ
x
11
=
σ
x
12
=
σ
x
13
=…=
σ
x
1N
= σ to otrzymamy:
σ
x�
= ��
1
N
σ�
2
+ �
1
N
σ�
2
+ ⋯ + �
1
N
σ�
2
(23)
i dalej:
σ
x�
= �N �
1
N
σ�
2
=
σ
√N
(24)
Oznacza to, że w wyniku wielokrotnego powtarzania pomiaru wartości średniej podlegają
rozkładowi normalnemu z wartością prawdziwą X i szerokością rozkładu
σ
√N
, w którym
σ
wyznaczone jest równaniem (17).
Równanie Gaussa
dla średniej ma zatem postać:
f
X,σ
(x) =
1
σ√2π
e
−(x−X)
2
/2�
σ
√N
�
2
(25)
I
nterpretację którego przedstawia rysunek 7 dla N=10 [1]
Rys.7. Funkcje Gaussa dla pojedynczego pomiaru i
średniej z 10 pomiarów [1]
Jeżeli zatem wielokrotnie obliczymy średnią z 10 pomiarów do średniej opisane będą przez
rozkład normalny wokół X z szerokością 𝛔
𝐱�
=
𝛔
√𝐍
. Albo i inaczej
jeżeli znamy rozkład
średniej i następnie jednokrotnie wyznaczymy średnią na podstawie N pomiarów to możemy z
68% prawdopodobieństwem stwierdzić, że średnia znajduje się w przedziale X±𝛔
𝐱�
.
4. N
IEPEWNOŚĆ STANDARDOWA TYPU A u
A
Jeżeli wyniki pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu to niepewność standardowa tupu
A jest odchyleniem standardowe średniej i wyznacza je równanie:
u
A
=
σ
√N
= �
1
N(N−1)
∑ (x
i
− x�)
2
N
i=1
(26)
W którym: N- liczba pomiarów, x
i
– pojedynczy pomiar,
x�- wartość średnia N pomiarów
8
5. S
POSÓB REALIZACJI ĆWICZENIA
1. Z
mierzyć za pomocą stopera 30 razy czas wyłączenia świecącej lampy za pomocą, stopera
2.
Narysować histogram otrzymanych wyników pomiarowych przyjmując przedział na osi
czasu δt= 0,2 s.
3.
Policzyć średnią oraz odchylenie standardowe średniej oraz pojedynczego pomiaru.
4.
Narysować funkcję Gaussa dla pojedynczego pomiaru i średniej oraz przedstawić
analitycznie równanie Gaussa
5. Z
aznaczyć obszar wewnątrz którego znajduje się 95% wszystkich wyników dla
pojedynczego pomiaru i
średniej i zapisać poprawnie wynik.
6. P
RZYKŁADOWE PYTANIA SPRAWDZAJĄCE
1. Równanie Gaussa
dla pojedynczego pomiaru i znaczenie wielkości wchodzących w skład
tego równania
2. Naryso
wać przykładową funkcje Gaussa i zaznaczyć częstość pomiarów w przedziale <a b>
3. Interpretacja fizyczna równania Gaussa
4.
Różnica miedzy krzywą Gaussa dla pojedynczego pomiaru i średniej
5. Interpretacja fizyczna równania Gaussa dla
średniej
6. Co oznacza odchyleni
e standardowe σ, 2σ, 3σ dla pojedynczego pomiaru
7.
Co to jest niepewność standardowa typu A
7. LITERATURA
1. John.R. Taylor:
Wstęp do analizy błędu pomiarowego, PWN, Warszawa 1999
2. Danuta Turzeniecka:
Ocena niepewności wyniku pomiaru, Wydawnictwo Politechniki
Poznańskiej 1977
3. Jerzy Arendarski:
Niepewność pomiarów, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej 2006
Data wykonania instrukcji:
18.10.2010