Zestaw 2

Trygonometria

Strona 1

yrażenia

Zadanie 1. Długość boku x, zaznaczonego na rysunku wynosi:
A. 8

B. 10

C. 12

D. 15

Zadanie 2. Wartość w

4

4

cos

sin

α

α

−

dla 30

α

=

D

wynosi:

A. 0

B.

1
2

C.

1
2

− D.

1

Zadanie 3. Punkt A leży na jednym ramieniu kąta o mierze

w odległości 1 dm od drugiego ramienia tego

kąta. Odległość punktu A od wierzchołka tego kąta wynosi:

30

D

A. 20 cm

B. 3 dm

C.

40

3

dm

D.

2

3

dm

Zadanie 4. Jeżeli

α

jest kątem ostrym i tg

2

α

= , to:

A.

3 5

sin

5

α

=

B.

5

n

5

si

α

=

C.

5

cos

α

=

D.

5

3

co

α

=

5

s

5

Zadanie 5. Wartość wyrażenia

(

)

2

2

2 sin 15

cos 15

3tg30

2sin 45

+

−

D

D

D

D

jest równa:

A.

2 2

6

2

−

B.

2 3 3

2

−

C.

2 3 3

2

+

D.

2 2

6

2

+

30

D

Zadanie 6. Samolot startuje z lotniska pod kątem

do poziomu. Po przebyciu 3 km w linii prostej samolot

znajdzie się na wysokości:
A. 6 km

B. 3 km

C. 3

km

D. 1,5 km

3

Zadanie 7. Wyrażenie

2

1 sin

cos

α

α

−

można zapisać w postaci:

A.

sin

α

B.

1

C.

cos

α

D.

1

cos

α

Zadanie 8. Jeśli

3

sin

5

α

= i

α

jest kątem ostrym, to cos

α

jest równy:

A.

2
5

B.

3
5

C.

4

D.

25

4

5

Zadanie 9. Cosinus pewnego kąta ostrego

α

wynosi

12
13

. Wówczas sin

α

wynosi:

A.

12
13

B.

1

C.

13

5

13

D.

5

12

2

2

2

sin 30

cos 60

tg 45

+

−

D

D

D

Zadanie 10. Wartość wyrażenia

jest równa:

A. 1

B.

1
2

− C.

0

D.

3
4

−

Zadanie 11. Jeżeli

α

jest kątem ostrym i

2

sin

3

α

= , to wartość

(

)

cos 90

α

−

D

jest równa:

A.

2
3

B.

1

C.

3

5

D.

3

2

3

45

Zadanie 12. Jacek, leżąc na łące, widzi wierzchołek drzewa pod kątem

D

w stosunku do poziomu. Drzewo

ma wysokość 16 metrów. W odległości ilu metrów od drzewa znajduje się Jacek?
A. 8 m

B. 32 m

C. 16 m

D. 16 3 m

Zestaw 2

Trygonometria

Strona 2

Zadanie 13. Kąt

α

jest ostry i

1

cos

4

α

= . Wówczas:

A.

3

sin

4

α

< B.

3

sin

4

α

= C.

13

sin

4

α

>

D.

13

sin

4

α

=

Zadanie 14. Tymek leżąc w odległości 10 m od drzewa widzi jego wierzchołek pod kątem

. Drzewo ma

wysokość:

45

D

A. 5 m

B. 10 m

C. 5 3 m

D. 10 3 m

Zadanie 15. Wartość wyrażenia

3

2sin 30

tg 60

+

D

D

jest równa:

A. 2 3 B.

2

C.

3 3 D.

0

Zadanie 16. Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym

90

ACB

∠

=

D

oraz

BAC

α

∠

= . Mając dane

5,

13

AC

AB

=

=

, wartość tg

α

wynosi:

A.

13

5

B.

5

13

C.

12

5

D.

5

12

Zadanie 17. Wartość wyrażenia

wynosi:

sin 30

cos30 tg 30

−

⋅

D

D

D

A.

1
2

− B.

0

C.

1
3

D.

1
3

−

Zadanie 18. Po uproszczeniu wyrażenia

2

sin

sin cos

α

α

−

α

otrzymujemy:

A.

3

sin

α

B.

2

cos

α

C.

2

s

1 co

α

D.

sin

α

−

Zadanie 19. W trójkącie prostokątnym (patrz rysunek) tg

α

wynosi:

A. 2

B.

2 5

5

C.

5

5

D.

1
2

Zadanie 20. Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości 2,

2 3 . Tangens większego z kątów

ostrych w tym trójkącie wynosi:

A.

1
2

B.

3

C.

3

3

D.

2

3

Zadanie 21. Z dokładnością do jednego stopnia podaj miarę takiego kąta ostrego

α

, dla którego

1

23

α

=

D

D

D

67

α

=

D

tg

2

3

α

=

.

A.

B.

24

α

=

C.

66

α

=

D.

Zadanie 22. Z dokładnością do jednego stopnia podaj miarę takiego kąta ostrego

α

, że

2

41

α

=

D

D

D

23

α

=

D

D

43

40

D

cos

3

α

= .

A.

B.

42

α

=

C.

48

α

=

D.

49

α

=

D

Zadanie 23. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 3 cm i 7 cm. Podaj z dokładnością do
jednego stopnia miarę najmniejszego kąta tego trójkąta.
A.

B.

24

α

=

C.

42

α

=

D

D.

α

=

D

Zadanie 24. W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok ma 10, a najmniejszy kąt ma miarę

. Długość

średniego boku najdokładniej określa liczba:
A. 6,4

B. 6,5

C. 7,6

D. 7,7

Zadanie 25. O pewnym kącie ostrym

α

podano cztery informacje: I.

3

sin

α

5

= , II.

5

cos

α

=

4

, III.

3

tg

α

4

= i

IV.

4

ctg

α

=

3

. Fałszywą informacją jest:

A. I

B. II

C. III

D. IV

Zestaw 2

Trygonometria

Strona 3

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

Zadanie 1. Oblicz wartość wyrażenia:

2

cos 30

3tg30 tg 60

1 3tg 45

−

⋅

−

D

D

D

D

.

Zadanie 2. Oblicz

sin

α

(patrz rysunek).

Zadanie 3. Sprawdź, czy dla każdego kąta ostrego

α

zachodzi równość:

1

cos

tg

cos

1 sin

α

α

α

−

=

.

α

+

Zadanie 4. Wiadomo, że

α

jest kątem ostrym i tg

ctg

4

α

α

= . Oblicz

+

2

2

tg

ctg

α

α

+

Wskazówka:

1

ctg

tg

α

α

=

30

D

.

Zadanie 5. Drzewo rzuca cień długości 21 m. Oblicz wysokość drzewa wiedząc, że promienie słoneczne
padają na płaszczyznę poziomą pod kątem

. Wynik podaj z dokładnością do jednego metra.

Zadanie 6. W trójkącie prostokątnym sinus jednego z kątów ostrych ma wartość

4
5

. Oblicz długości

przyprostokątnych tego trójkąta wiedząc, że przeciwprostokątna ma długość 10 cm.

Zadanie 7. Boki trójkąta prostokątnego mają długości: 5, 12, 13. Jaką wartość przyjmuje wyrażenie

sin

cos

α

α

−

30

D

D

, jeżeli

α

jest najmniejszym kątem w tym trójkącie?

ZADANIA OTWARTE ROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI

Zadanie 8. Na morzu widać z żaglówki światło latarni morskiej pod kątem o mierze

do poziomu. Po

przepłynięciu 50 m w kierunku latarni światło latarni widać pod kątem o mierze 60 do poziomu. Oblicz
wysokość latarni. Wynik podaj z dokładnością do 0,1 m.

Zadanie 9. Uzasadnij, że nie istnieje kąt ostry

α

taki, że:

5

sin

cos

3

α

α

.

+

=

Zadanie 10. Wiedząc, że

α

jest kątem ostrym i

1

sin

cos

4

α

α

oblicz

−

=

sin

cos

α

⋅

α

.

Zadanie 11. Długość boku równoległoboku jest o 3 większa od wysokości opuszczonej na ten bok. Wyznacz

długości boków równoległoboku wiedząc, że jego pole jest równe 10 i

3

sin

4

α

= , gdzie

α

jest kątem ostrym

równoległoboku.