Imperfekcje w obliczaniu stężeń  

hal stalowych 

według PN-EN 1993-1-1 [2] 

 
 
 
 
 
 
 
 

dr hab. inż. Walter Wuwer, prof. Pol. Śl. 

Eurokod [1] zwraca uwagę na wagę stężeń w kształtowaniu ustroju nośnego 
budowli. Należy jej zapewnić integralność strukturalną. 

 
Pręty stężeń należy, wg [2],  projektować na: 

−

 

tzw. równoważne obciążenia imperfekcyjne (tzn. obciążenia wywołane 
wstępnymi deformacjami elementów podpieranych), oraz  

−

 

obciążenia zewnętrzne występujące podczas eksploatacji obiektu.  

 

Należy  wziąć  pod  uwagę  trzy  rodzaje  imperfekcji  geometrycznych  ustroju 

nośnego: 

−

 

łukowe; 

−

 

przechyłowe; 

−

 

skrętne. 

Imperfekcje łukowe –  

uwzględnia  się  w  obliczaniu  poprzecznych 
dachowych  stężeń  połaciowych  oraz  piętrowych 
(tzn.  „dwukondygnacyjnych”)  pionowych  stężeń 
podłużnych słupów. 

 
Imperfekcje przechyłowe – 

uwzględnia  się  w  obliczaniu  pionowych  stężeń 
podłużnych  słupów  budynków  i  hal  (tzw.  stężeń 

ś

ciennych,  jeśli  znajdują  się  one  w  płaszczyźnie 

ś

cian zewnętrznych budynku). 

 
Imperfekcje skrętne –  

mają  znaczenie  w  przypadku  rygli  ram  o  dużej 
wysokości  konstrukcyjnej  i  małej  sztywności 
zgięciowej  z  płaszczyzny  dźwigara  (generują 
obciążenie  poziome  prostopadłe  do  płaszczyzny 
dźwigara (czego norma nie uwzględnia). 

Imperfekcje w stężeniach połaciowych poprzecznych 

W analizie stężeń, zapewniających stateczność boczną belkom lub elementom 

ś

ciskanym  (przykładowo  górnym  pasom  wiązarów),  wpływy  imperfekcji  zaleca 

się  uwzględniać  za  pomocą  zastępczej  imperfekcji  geometrycznej  elementów 
stężanych, w postaci wstępnej imperfekcji łukowej o strzałce e

0

 (Rysunek 5.6 wg 

[2]), której wartość należy obliczyć ze wzoru (5.12) w [2]: 

 

 

 

0

500

m

L

e

α

=

 

(5.12) 

 
gdzie:     
 L  

–  rozpiętość stężenia,         

 m   –  liczba elementów stężanych (wiązarów), 













+

=

m

m

1

1

5

,

0

α

 

 

Wstępne  łukowe  imperfekcje  elementów  stężanych  można  zastąpić  równoważną 
siłą stabilizującą q

d

 (por. Rysunek 5.6): 

 

 

 

∑

+

=

2

0

8

L

e

N

q

q

Ed

d

δ

, 

(5.13) 

 
gdzie:    
δ

q

  

– ugięcie  stężenia  od  oddziaływania  q  i  wszelkich  obciążeń  zewnętrznych 

(np.  wiatrem),  uzyskane  z  analizy  I  rzędu  (gdy  stosuje  się  teorię  II  rzędu 
można przyjąć δ

q

 = 0). 

 

q

d

  

– sumaryczne  ciągłe  oddziaływanie  m  dźwigarów  stężanych  przez  jeden 

tężnik;  zakłada  się,  że  pas  dźwigara  ściskany  jest  stałą  siłą  N

Ed

 

na  całej 

długości; równoważne obciążenie stabilizujące dla pojedynczego dźwigara 
wyniesie:  

 

 

0

,1

2

8

d

Ed

e

q

N

L

=

. 

W  przypadku,  gdy  stężenie  stabilizuje  ściskany  pas  zginanej  belki  o  stałej 

wysokości, to wartość siły ściskającej N

Ed

 można obliczyć ze wzoru (5.14) w [2] 

(Rys. 1): 
 

 

 

Ed

Ed

M

N

h

=

 

 (5.14) 

 
gdzie:   
M

Ed

   – maksymalny moment w belce,  

 h

  

– całkowita wysokość belki.  

 

Gdy  przekrój  belki  (przekrój  rygla  ramy)  jest  poddany  zewnętrznemu 

obciążeniu ściskającemu N, to siłę N

Ed

 należy powiększyć o stosowną część N

Ed

 

tego obciążenia, tj. o część przypadającą na pas ściskany wg wzoru (por. rys. 1b): 

 

.

2

f

Ed

w

f

A

N

N

A

A

∆

=

+

 

Obciążenie całkowite pasa rygla ramy wynosi wtedy: 

 

 

 

,

.

Ed

Ed calk

Ed

M

N

N

h

=

+ ∆

 

 

 

Rys. 1. Zginany i ściskany rygiel ramy przytrzymany prętami stężenia poprzecznego: 

a) schemat statyczny ramy oraz wykres momentów od obciążeń grawitacyjnych,  

b) siły ściskające górny pas rygla 

W  miejscach  styków  belek  lub  elementów  ściskanych,  powiązanych  z 

prętami stężeń, przyjmuje się lokalne oddziaływania równe 2

φ⋅

N

Ed

 

(Rysunek 5.7 

wg [2]), które powinny być przeniesione przez to stężenie. 

 

Ponieważ według wzoru (5.5) w [2]: 

 

 

0

0

1

200

h

m

m

m

φ φ α α

φ α

α

=

=

=

 

 

(w  przypadku  stężeń

 

α

h

  =1),  stąd  rozważane  oddziaływanie  należy  ostatecznie 

wyznaczyć z zależności: 

 

1

2

2

.

200

100

m

Ed

Ed

m

Ed

N

N

N

α

φ

α





=

=









 

 

Tak obliczone siły występujące w miejscach styków, np. styku montażowego -

1  w  górnym  pasie  wiązara  lub  w  stykach  belek  powinny  być  przeniesione  przez 
stężenie połaciowe poprzeczne (por. rysunek 5.7). 

 

W  stykach  należy  ponadto  uwzględnić  wpływ  wszystkich  obciążeń 

zewnętrznych,  natomiast  można  wtedy  pominąć  siły  od  wstępnej  imperfekcji 
łukowej o strzałce e

0

. 

 
 

Imperfekcje w obliczaniu pionowych stężeń słupów hali   

Dla układu podłużnego hali, obciążonego reakcjami wiązarów dachowych oraz 

przykładowo  poziomą  siłą  H

 

(Rys.  2)  obliczamy  imperfekcję  przechyłową  wg 

wzoru (5.5) w [2]: 
 

 

1

200

h

m

φ

α α

=

  

(5.5) 

 

 

 

Rys. 2. Stężenie ścienne słupów hali bez suwnic z imperfekcją przechyłową 

φ

 słupów  

Można pominąć imperfekcję przechyłową 

φ

 , gdy spełniony jest warunek: 

 

 

0,15

.

Ed

Ed

H

V

≥

 

(5.7) 

 

Przechył 

φ

  powoduje  konieczność  uwzględnienia  oddziaływania  poziomego 

H

Ed,

φ

,  którym  należy  dodatkowo  obciążyć  układ  podłużny  (por.  rys.  2).  Wartość 

siły H

Ed,

φ

  wyznacza się ze wzoru: 

 

,

1

.

200

Ed

Ed

h

m

Ed

H

V

V

φ

φ

α α

=

=

 

 
Układ podłużny należy ostatecznie obciążyć siłą poziomą: 
 

 

H

Ed

 = H + H

Ed,

φ

. 

 
Sprawdzenia wymaga określenie liczby  m słupów, które należy uwzględnić w 

obliczeniach,  aby  móc  wyznaczyć  współczynnik 

α

m

  wg  wcześniej  podanych 

wielkości, występujących we wzorze (5.5). 

Uwagi dodatkowe      

-  Należy 

przypomnieć, 

ż

e 

efekty 

lokalnych 

imperfekcji 

łukowych 

poszczególnych  elementów  (prętów  stężeń)  będą  dodatkowo  uwzględnione  w 
formułach  nośności  elementów  narażonych  na  wyboczenie  (za  pomocą 
współczynnika wyboczenia χ). 

-   Gdy  analiza  II  rzędu  ma  uwzględniać  zwichrzenie  elementów  zginanych,  to 

można przyjmować imperfekcje tych elementów jako 

 

k · e

0

 

 
gdzie:  
e

0

  

– zastępcza wstępna imperfekcja łukowa w płaszczyźnie najmniejszej 

bezwładności przekroju 

 

  (uwzględnianie dodatkowych imperfekcji skrętnych nie jest na ogół 

wymagane); 

k

  

– parametr (zaleca się k = 0,5). 

Stężenia pionowe międzywiązarowe 

 

 
Aby zabezpieczyć wiązary przed skręceniem lepsza byłaby geometria stężenia 

pionowego, którą tworzą trójkąty, jako figury geometrycznie niezmienne (rys. 3).  

 

 

 

Rys. 3. Geometria stężeń pionowych między wiązarami: 

a) płatew jako element stężenia, b) stężenie niezależne od płatwi,  

c) płatew kratowa stanowi stężenie 

Eurokod 3 nie podaje zasad rozmieszczania stężeń międzywiązarowych. 

 

Obliczenie równoważnych sił poziomych od imperfekcji skrętnych kratownic nie 
jest dotychczas ujęte w przepisach normowych. 
 
 

Blachy fałdowe jako stężenia ustrojów prętowych 

Jako  dachowe  stężenia  połaciowe  oraz  pionowe  stężenia  ścienne  można 

wykorzystać blachy fałdowe stanowiące elementy obudowy obiektu. 

Blachy  fałdowe  wraz  z  płatwiami  i  ryglami  oraz  innymi  uzupełniającymi 

elementami  tworzą  tarcze  zdolne  przenosić  obciążenia  w  płaszczyźnie  połaci 
dachu  oraz  w  płaszczyznach  ścian,  jednak  pod  warunkiem,  że  wzajemne 
połączenia  wspomnianych  elementów  zapewnią  wspomnianym  tarczom 
geometryczną niezmienność.  

 

Współpracę  wzajemną  między  arkuszami  blach  oraz  arkuszami  blach  a 

podpierającymi  je  elementami  prętowymi  powinny  zapewniać  w  tym  wypadku 
połączenia  sworzniowe  (kołki  wstrzeliwane,  np.  Hilti,  gwoździe  wstrzeliwane 
itp.)  o  odpowiedniej  nośności  na  ścinanie,  a  przede  wszystkim  na  docisk  z 
uwzględnieniem przepisów normowych, uwzględniających owalizację otworów). 

 
Pokrycie z blach fałdowych może stanowić geometrycznie niezmienną tarczę, 

jeśli  za  pomocą  odpowiednich  elementów  dystansowych  zapewni  się    po 
obwodzie  należyty  kontakt  czterech  krawędzi    pokrycia  (dachu)  z  konstrukcją 
podpierającą ! 
      

Zagadnieniom  tym  poświęcony  jest  odrębny  wykład.  Obliczanie  i 

konstruowanie  tarcz  stężających  z  blach  fałdowych  wymaga  odpowiedniego 
doświadczenia  projektowego  oraz  dużego  nakładu  pracy.  Przepisy  dotyczące 
obliczania i konstruowania takich konstrukcji zawarte są m. in.  w pozycjach [3], 
[4], [5]. 

 

Przykłady obliczeniowe 

Przykład 1 

Wyznaczyć  obciążenie  poprzecznych  stężeń  połaciowych  jako  podparć 

bocznych ściskanych pasów wiązarów dachowych. 
(Wykorzystać  przykład  z  książki  [6])  „Konstrukcje  Stalowe.  Przykłady  obliczeń 
według PN-EN 1993-1”, pod  redakcją Aleksandra Kozłowskiego, Rzeszów 2009 
- Przykład 8.1., str. 254) 
UWAGA: 
W  przykładzie  tym  błędnie  obliczono  ugięcie  tężnika  pod  całkowitym 
obciążeniem. Zastosowano uproszczony wzór na ugięcie, uwzględniający jedynie 
moment  zginający  a  pomijający  siłę  poprzeczną,  która  w  tym  przypadku  ma 
decydujący  wpływ  wartość  ugięcia.  Ugięcie  rzeczywiste  –  stanowiące  miarę 
podatności  tężnika  –  jest  kilkakrotnie  większe.  W  przykładzie  zaniżono  wiec 
ciągłe obciążenie tężnika równoważną siłą stabilizującą q

d

 (wzór 5.13). 

 
Należy także zapoznać się z przykładem P4.3 w [9], str. 190. 

Przykład 2 

Wyznaczyć  dodatkowe  obciążenie  poziome  tężnika  pionowego  układu  jak  na 

rys.  4,  spowodowane  przechyłem  słupów.  W  obliczeniach  uwzględnić  wpływ 
nachylenia terenu odpowiadającego III kategorii górniczej.

 

 
Dane: 
- obciążenie układu:   F = 475 kN (jak dla słupów wewnętrznego rzędu 

dwunawowej hali z ciężkim przekryciem),               

    

 

H = 49,0 kN, 

 
- nachylenie terenu:   T = 10 mm/m, 
 
- krzyżulce tężnika:   długość teoretyczna l

k

 = 9,37 m,  

 

 

pole przekroju: A

k

, 

 

 

stal S235 – f

y

 = 235 MPa, 

 
- wymiary:  

b = 6,0 m, 

 

 

h = 7,2 m. 

 

Rys. 4. Schemat ściany podłużnej – pionowe stężenie (ścienne) międzysłupowe 

 

a)

 

Wstępne sprawdzenie konieczności uwzględnienia imperfekcji 
przechyłowych – warunek normowy (5.7); 

 

H

Ed

 = H = 49,0 kN,  

V

Ed

 = 5·F = 5·475,0 = 2375,0 kN. 

H

Ed

 = 49,0 kN < 0,15·V

Ed

 = 0,15·2375,0 = 356,25 kN 

 

 

 

Imperfekcje  przechyłowe  powinny  być  uwzględnione  w  obliczeniach 
statycznych stężenia. 

b)

 

Obliczenie wstępnej imperfekcji przechyłowej – wg warunku (5.5) 
podanego w wykładzie pt. „Modelowanie konstrukcji w celu wykonania analizy 
globalnej ...”. 
 

0

,

h

m

φ φ α α

=

 

0

1

,

200

φ

=

 

2

2

0, 745,

7, 2

h

h

α

=

=

=

 

2

0, 667

0, 747

1, 0.

3

h

α

=

<

=

<

 

 
Sprawdzenie liczby 

m słupów, które należy uwzględnić w obliczeniach: 

- średnia siła w słupie: 

5

5 475, 0

395,8 kN,

6

6

6

i

śr

N

F

N

⋅

=

=

=

=

∑

 

- siła w najmniej wytężonym słupie:    N

Ed

 = 0,5F = 0,5·475,0 = 237,5 kN. 

     

Ponieważ  N

Ed

 = 237,5 kN > 0,5N

śr

 = 0,5·395,8 = 197,9 kN,  

stąd  
wszystkie słupy należy uwzględnić w obliczeniach i przyjąć m = 6: 

1

1

0,5 1

0,5 1

0, 764,

6

m

m

α









=

+

=

+

=

















 

0

1

0, 745 0, 764

0, 00284 rad

200

h

m

φ φ α α

=

=

⋅

⋅

=

 

 

c)

 

Obliczenie sił poziomych od wstępnej imperfekcji przechyłowej – Rysunek 
5.4  i  sprawdzenie  warunku  (5.7),  podanego  w  wykładzie  pt.  „

Modelowanie 

konstrukcji w celu wykonania analizy globalnej ...”. 
 

,

0, 00284 2375, 0

6, 75 kN,

d

Ed

H

V

φ

φ

=

=

⋅

=

 

,

49, 0 6, 75

55, 75 kN

0,15

0,15 2375, 0

356, 25 kN

55, 75 kN

0,15

356, 25 kN

Ed

d

Ed

Ed

Ed

H

H

H

V

H

V

φ

= +

=

+

=

=

⋅

=

=

<

=

 

 
Imperfekcje  przechyłowe  powinny  być  uwzględnione  w  obliczeniach 
statycznych stężenia pionowego. 

d)

 

Obliczenie  mnożnika  obciążenia  krytycznego  α

cr

  wg  warunku  (5.2)  w  [2], 

podanego w wykładzie pt. „Modelowanie konstrukcji w celu wykonania analizy 
globalnej ...”. 

 



























=

Ed

H

Ed

Ed

cr

h

V

H

,

δ

α

. 

 

Przy  obliczaniu  poziomego  przemieszczenia  układu  δ

H,Ed

  założono,  że  w 

przeniesieniu  obciążenia  poziomego  na  fundamenty  biorą  udział  tylko 
krzyżulce rozciągane, a występujące w nich naprężenia osiągać mogą wartości 
f

y

;  (K/A

k

  ≤  f

y

),  gdzie  K  i  A

k

  odpowiednio  siła  w  krzyżulcu  tężnika  i  pole  jego 

przekroju poprzecznego.  

Przy tych założeniach otrzymuje się: 
 

 

 

Rys. 5. Przemieszczenie poziome

 

δ

H,Ed

 

układu podłużnego hali: a) wydłużenie krzyżulca 

i,k

 ,  

b) przechył 

φ

0,T

 spowodowany III kategorią górniczą terenu 

 

- wydłużenie krzyżulca 

 

3

3

10

485

,

10

37

,

9

10

210

235

−

−

⋅

=

⋅

=

≤

⋅

⋅

=

∆

k

y

k

k

lk

l

E

f

A

E

l

K

 m, 

 

- przemieszczenie poziome układu 
 

3

,

,

3

,

,

10, 485 10

9, 37

sin

16, 374 10

m,

6, 0

i k

i k k

H Ed

H Ed

k

l

b

l

b

α

δ

δ

−

−

∆

∆

⋅

⋅

=

=

→

=

=

=

⋅

 

     oraz 

 

3

,

55, 745

7, 2

10, 32

10

2375, 0

16, 374 10

Ed

cr

Ed

H Ed

H

h

V

α

δ

−











 



=

=

=

>











 







⋅



 





 



. 

      
     Ponieważ α

cr

 > 10, toteż układ nie jest wrażliwy na efekty II rzędu. 

e)

 

Uwzględnienie nachylenia terenu T 

 

Uwzględniając  nachylenie  górnicze  terenu  i  przyjmując,  że  jest  ono  stałe  na 
długości 

układu, 

otrzymuje 

się 

dodatkowy 

przechył 

słupów  

φ

0,T

 = T = 0,010 rad, oraz: 

 

- wstępną imperfekcję przechyłową wg warunku (5.5) 

 

0

0,

1

10

0, 745 0, 764

0, 01285

200

1000

calk

h

m

T

φ

φ α α

φ

=

+

=

⋅

⋅

+

=

 rad. 

 
- siły poziome od imperfekcji przechyłowej oraz sprawdzenie warunku 

normowego (5.7) 

 

 

H

d,

φ

  = 

φ

 

V

Ed

 = 0,01284 · 2375,0 = 30,52 kN, 

 

H

Ed

 = 

H + H

d,

φ

 

 = 49,0 + 30,52 = 79,52 kN  

 

H

Ed

 = 79,52 kN  <  0,15·

V

Ed

 = 0,15·2375,0 = 356,25 kN 

Imperfekcje  przechyłowe  należy  uwzględnić  w  obliczeniach  statycznych 
stężenia. 

 

- mnożnik obciążenia krytycznego α

cr

 

 

 

3

,

79, 519

7, 2

14, 72

10

2375, 0

16, 374 10

Ed

cr

Ed

H Ed

H

h

V

α

δ

−















=

=

=

>



















⋅













 

 

Ponieważ α

cr

 > 10 układ nie jest wrażliwy na efekty II rzędu. 

 

f)

 

Ocena dodatkowego obciążenia poziomego tężnika H

d,

φ

   

 

- bez uwzględnienia nachylenia terenu (wg punktu c):  H

d,

φ

  =  6,75 kN; 

przyrost obciążenia poziomego (H

d,

φ

 /H) = 6,75/49,00 = 0,14 (wzrost 

obciążenia o 14%), 

 

- z uwzględnieniem nachylenia terenu (wg punktu e):  H

d,

φ

 = 30,52 kN; 

przyrost obciążenia poziomego H

d,

φ

 /H = 30,52/49,00 = 0,62 (wzrost 

obciążenia o 62%).       

Literatura 

[1]  PN-EN 1990: Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji 
[2]  PN-EN 1993-1-1: Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-1: Reguły 

ogólne i reguły dla budynków. 

[3]  J. Bródka, R. Garncarek, K. Miłaczewski, Blachy fałdowe w budownictwie stalowym,   

Warszawa Arkady, 1999 (i późniejsze), 

[4]  PN-EN 1993-1-3: Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych.  

Część 1-3: Reguły   ogólne. Reguły uzupełniające dla konstrukcji z kształtowników i blach 
profilowanych na zimno. 

[5]  European Recommendations for the Application of Metal Sheeting Acting as a Diaphragm. 

Stressed Skin Design. ECCS Committee TC7, TWG 7.5, May 1995.  

[6]  Praca zbiorowa: „Konstrukcje Stalowe. Przykłady obliczeń według PN-EN 1993-1”, pod    

redakcją Aleksandra Kozłowskiego, Rzeszów 2009. 

[7]  PN-90/B-03200: Konstrukcje stalowe. Obliczenia statyczne i projektowanie. 
[8]  A. Biegus, D. Mądry, Obliczanie stężeń hal stalowych według PN-EN 1993-1-3, Konstrukcje 

stalowe, 2007. 

[9]  Praca zbiorowa: Budownictwo ogólne, tom 5, „Stalowe konstrukcje budynków. 

Projektowanie według eurokodów z przykładami obliczeń” pod kierunkiem Mariana 
Giżejowskiego i Jerzego Ziółko, Arkady, Warszawa 2010.