Imperfekcje w obliczaniu stężeń

hal stalowych

według PN-EN 1993-1-1 [2]

dr hab. inż. Walter Wuwer, prof. Pol. Śl.

Eurokod [1] zwraca uwagę na wagę stężeń w kształtowaniu ustroju nośnego
budowli. Należy jej zapewnić integralność strukturalną.

Pręty stężeń należy, wg [2], projektować na:

−

tzw. równoważne obciążenia imperfekcyjne (tzn. obciążenia wywołane
wstępnymi deformacjami elementów podpieranych), oraz

−

obciążenia zewnętrzne występujące podczas eksploatacji obiektu.

Należy wziąć pod uwagę trzy rodzaje imperfekcji geometrycznych ustroju

nośnego:

−

łukowe;

−

przechyłowe;

−

skrętne.

Imperfekcje łukowe –

uwzględnia się w obliczaniu poprzecznych
dachowych stężeń połaciowych oraz piętrowych
(tzn. „dwukondygnacyjnych”) pionowych stężeń
podłużnych słupów.

Imperfekcje przechyłowe –

uwzględnia się w obliczaniu pionowych stężeń
podłużnych słupów budynków i hal (tzw. stężeń

ś

ciennych, jeśli znajdują się one w płaszczyźnie

ś

cian zewnętrznych budynku).

Imperfekcje skrętne –

mają znaczenie w przypadku rygli ram o dużej
wysokości konstrukcyjnej i małej sztywności
zgięciowej z płaszczyzny dźwigara (generują
obciążenie poziome prostopadłe do płaszczyzny
dźwigara (czego norma nie uwzględnia).

Imperfekcje w stężeniach połaciowych poprzecznych

W analizie stężeń, zapewniających stateczność boczną belkom lub elementom

ś

ciskanym (przykładowo górnym pasom wiązarów), wpływy imperfekcji zaleca

się uwzględniać za pomocą zastępczej imperfekcji geometrycznej elementów
stężanych, w postaci wstępnej imperfekcji łukowej o strzałce e

0

(Rysunek 5.6 wg

[2]), której wartość należy obliczyć ze wzoru (5.12) w [2]:

0

500

m

L

e

α

=

(5.12)

gdzie:
L

– rozpiętość stężenia,

m – liczba elementów stężanych (wiązarów),













+

=

m

m

1

1

5

,

0

α

Wstępne łukowe imperfekcje elementów stężanych można zastąpić równoważną
siłą stabilizującą q

d

(por. Rysunek 5.6):

∑

+

=

2

0

8

L

e

N

q

q

Ed

d

δ

,

(5.13)

gdzie:
δ

q

– ugięcie stężenia od oddziaływania q i wszelkich obciążeń zewnętrznych

(np. wiatrem), uzyskane z analizy I rzędu (gdy stosuje się teorię II rzędu
można przyjąć δ

q

= 0).

q

d

– sumaryczne ciągłe oddziaływanie m dźwigarów stężanych przez jeden

tężnik; zakłada się, że pas dźwigara ściskany jest stałą siłą N

Ed

na całej

długości; równoważne obciążenie stabilizujące dla pojedynczego dźwigara
wyniesie:

0

,1

2

8

d

Ed

e

q

N

L

=

.

W przypadku, gdy stężenie stabilizuje ściskany pas zginanej belki o stałej

wysokości, to wartość siły ściskającej N

Ed

można obliczyć ze wzoru (5.14) w [2]

(Rys. 1):

Ed

Ed

M

N

h

=

(5.14)

gdzie:
M

Ed

– maksymalny moment w belce,

h

– całkowita wysokość belki.

Gdy przekrój belki (przekrój rygla ramy) jest poddany zewnętrznemu

obciążeniu ściskającemu N, to siłę N

Ed

należy powiększyć o stosowną część N

Ed

tego obciążenia, tj. o część przypadającą na pas ściskany wg wzoru (por. rys. 1b):

.

2

f

Ed

w

f

A

N

N

A

A

∆

=

+

Obciążenie całkowite pasa rygla ramy wynosi wtedy:

,

.

Ed

Ed calk

Ed

M

N

N

h

=

+ ∆

Rys. 1. Zginany i ściskany rygiel ramy przytrzymany prętami stężenia poprzecznego:

a) schemat statyczny ramy oraz wykres momentów od obciążeń grawitacyjnych,

b) siły ściskające górny pas rygla

W miejscach styków belek lub elementów ściskanych, powiązanych z

prętami stężeń, przyjmuje się lokalne oddziaływania równe 2

φ⋅

N

Ed

(Rysunek 5.7

wg [2]), które powinny być przeniesione przez to stężenie.

Ponieważ według wzoru (5.5) w [2]:

0

0

1

200

h

m

m

m

φ φ α α

φ α

α

=

=

=

(w przypadku stężeń

α

h

=1), stąd rozważane oddziaływanie należy ostatecznie

wyznaczyć z zależności:

1

2

2

.

200

100

m

Ed

Ed

m

Ed

N

N

N

α

φ

α





=

=









Tak obliczone siły występujące w miejscach styków, np. styku montażowego -

1 w górnym pasie wiązara lub w stykach belek powinny być przeniesione przez
stężenie połaciowe poprzeczne (por. rysunek 5.7).

W stykach należy ponadto uwzględnić wpływ wszystkich obciążeń

zewnętrznych, natomiast można wtedy pominąć siły od wstępnej imperfekcji
łukowej o strzałce e

0

.

Imperfekcje w obliczaniu pionowych stężeń słupów hali

Dla układu podłużnego hali, obciążonego reakcjami wiązarów dachowych oraz

przykładowo poziomą siłą H

(Rys. 2) obliczamy imperfekcję przechyłową wg

wzoru (5.5) w [2]:

1

200

h

m

φ

α α

=

(5.5)

Rys. 2. Stężenie ścienne słupów hali bez suwnic z imperfekcją przechyłową

φ

słupów

Można pominąć imperfekcję przechyłową

φ

, gdy spełniony jest warunek:

0,15

.

Ed

Ed

H

V

≥

(5.7)

Przechył

φ

powoduje konieczność uwzględnienia oddziaływania poziomego

H

Ed,

φ

, którym należy dodatkowo obciążyć układ podłużny (por. rys. 2). Wartość

siły H

Ed,

φ

wyznacza się ze wzoru:

,

1

.

200

Ed

Ed

h

m

Ed

H

V

V

φ

φ

α α

=

=

Układ podłużny należy ostatecznie obciążyć siłą poziomą:

H

Ed

= H + H

Ed,

φ

.

Sprawdzenia wymaga określenie liczby m słupów, które należy uwzględnić w

obliczeniach, aby móc wyznaczyć współczynnik

α

m

wg wcześniej podanych

wielkości, występujących we wzorze (5.5).

Uwagi dodatkowe

- Należy

przypomnieć,

ż

e

efekty

lokalnych

imperfekcji

łukowych

poszczególnych elementów (prętów stężeń) będą dodatkowo uwzględnione w
formułach nośności elementów narażonych na wyboczenie (za pomocą
współczynnika wyboczenia χ).

- Gdy analiza II rzędu ma uwzględniać zwichrzenie elementów zginanych, to

można przyjmować imperfekcje tych elementów jako

k · e

0

gdzie:
e

0

– zastępcza wstępna imperfekcja łukowa w płaszczyźnie najmniejszej

bezwładności przekroju

(uwzględnianie dodatkowych imperfekcji skrętnych nie jest na ogół

wymagane);

k

– parametr (zaleca się k = 0,5).

Stężenia pionowe międzywiązarowe

Aby zabezpieczyć wiązary przed skręceniem lepsza byłaby geometria stężenia

pionowego, którą tworzą trójkąty, jako figury geometrycznie niezmienne (rys. 3).

Rys. 3. Geometria stężeń pionowych między wiązarami:

a) płatew jako element stężenia, b) stężenie niezależne od płatwi,

c) płatew kratowa stanowi stężenie

Eurokod 3 nie podaje zasad rozmieszczania stężeń międzywiązarowych.

Obliczenie równoważnych sił poziomych od imperfekcji skrętnych kratownic nie
jest dotychczas ujęte w przepisach normowych.

Blachy fałdowe jako stężenia ustrojów prętowych

Jako dachowe stężenia połaciowe oraz pionowe stężenia ścienne można

wykorzystać blachy fałdowe stanowiące elementy obudowy obiektu.

Blachy fałdowe wraz z płatwiami i ryglami oraz innymi uzupełniającymi

elementami tworzą tarcze zdolne przenosić obciążenia w płaszczyźnie połaci
dachu oraz w płaszczyznach ścian, jednak pod warunkiem, że wzajemne
połączenia wspomnianych elementów zapewnią wspomnianym tarczom
geometryczną niezmienność.

Współpracę wzajemną między arkuszami blach oraz arkuszami blach a

podpierającymi je elementami prętowymi powinny zapewniać w tym wypadku
połączenia sworzniowe (kołki wstrzeliwane, np. Hilti, gwoździe wstrzeliwane
itp.) o odpowiedniej nośności na ścinanie, a przede wszystkim na docisk z
uwzględnieniem przepisów normowych, uwzględniających owalizację otworów).

Pokrycie z blach fałdowych może stanowić geometrycznie niezmienną tarczę,

jeśli za pomocą odpowiednich elementów dystansowych zapewni się po
obwodzie należyty kontakt czterech krawędzi pokrycia (dachu) z konstrukcją
podpierającą !

Zagadnieniom tym poświęcony jest odrębny wykład. Obliczanie i

konstruowanie tarcz stężających z blach fałdowych wymaga odpowiedniego
doświadczenia projektowego oraz dużego nakładu pracy. Przepisy dotyczące
obliczania i konstruowania takich konstrukcji zawarte są m. in. w pozycjach [3],
[4], [5].

Przykłady obliczeniowe

Przykład 1

Wyznaczyć obciążenie poprzecznych stężeń połaciowych jako podparć

bocznych ściskanych pasów wiązarów dachowych.
(Wykorzystać przykład z książki [6]) „Konstrukcje Stalowe. Przykłady obliczeń
według PN-EN 1993-1”, pod redakcją Aleksandra Kozłowskiego, Rzeszów 2009
- Przykład 8.1., str. 254)
UWAGA:
W przykładzie tym błędnie obliczono ugięcie tężnika pod całkowitym
obciążeniem. Zastosowano uproszczony wzór na ugięcie, uwzględniający jedynie
moment zginający a pomijający siłę poprzeczną, która w tym przypadku ma
decydujący wpływ wartość ugięcia. Ugięcie rzeczywiste – stanowiące miarę
podatności tężnika – jest kilkakrotnie większe. W przykładzie zaniżono wiec
ciągłe obciążenie tężnika równoważną siłą stabilizującą q

d

(wzór 5.13).

Należy także zapoznać się z przykładem P4.3 w [9], str. 190.

Przykład 2

Wyznaczyć dodatkowe obciążenie poziome tężnika pionowego układu jak na

rys. 4, spowodowane przechyłem słupów. W obliczeniach uwzględnić wpływ
nachylenia terenu odpowiadającego III kategorii górniczej.

Dane:
- obciążenie układu: F = 475 kN (jak dla słupów wewnętrznego rzędu

dwunawowej hali z ciężkim przekryciem),

H = 49,0 kN,

- nachylenie terenu: T = 10 mm/m,

- krzyżulce tężnika: długość teoretyczna l

k

= 9,37 m,

pole przekroju: A

k

,

stal S235 – f

y

= 235 MPa,

- wymiary:

b = 6,0 m,

h = 7,2 m.

Rys. 4. Schemat ściany podłużnej – pionowe stężenie (ścienne) międzysłupowe

a)

Wstępne sprawdzenie konieczności uwzględnienia imperfekcji
przechyłowych – warunek normowy (5.7);

H

Ed

= H = 49,0 kN,

V

Ed

= 5·F = 5·475,0 = 2375,0 kN.

H

Ed

= 49,0 kN < 0,15·V

Ed

= 0,15·2375,0 = 356,25 kN

Imperfekcje przechyłowe powinny być uwzględnione w obliczeniach
statycznych stężenia.

b)

Obliczenie wstępnej imperfekcji przechyłowej – wg warunku (5.5)
podanego w wykładzie pt. „Modelowanie konstrukcji w celu wykonania analizy
globalnej ...”.

0

,

h

m

φ φ α α

=

0

1

,

200

φ

=

2

2

0, 745,

7, 2

h

h

α

=

=

=

2

0, 667

0, 747

1, 0.

3

h

α

=

<

=

<

Sprawdzenie liczby

m słupów, które należy uwzględnić w obliczeniach:

- średnia siła w słupie:

5

5 475, 0

395,8 kN,

6

6

6

i

śr

N

F

N

⋅

=

=

=

=

∑

- siła w najmniej wytężonym słupie: N

Ed

= 0,5F = 0,5·475,0 = 237,5 kN.

Ponieważ N

Ed

= 237,5 kN > 0,5N

śr

= 0,5·395,8 = 197,9 kN,

stąd
wszystkie słupy należy uwzględnić w obliczeniach i przyjąć m = 6:

1

1

0,5 1

0,5 1

0, 764,

6

m

m

α









=

+

=

+

=

















0

1

0, 745 0, 764

0, 00284 rad

200

h

m

φ φ α α

=

=

⋅

⋅

=

c)

Obliczenie sił poziomych od wstępnej imperfekcji przechyłowej – Rysunek
5.4 i sprawdzenie warunku (5.7), podanego w wykładzie pt. „

Modelowanie

konstrukcji w celu wykonania analizy globalnej ...”.

,

0, 00284 2375, 0

6, 75 kN,

d

Ed

H

V

φ

φ

=

=

⋅

=

,

49, 0 6, 75

55, 75 kN

0,15

0,15 2375, 0

356, 25 kN

55, 75 kN

0,15

356, 25 kN

Ed

d

Ed

Ed

Ed

H

H

H

V

H

V

φ

= +

=

+

=

=

⋅

=

=

<

=

Imperfekcje przechyłowe powinny być uwzględnione w obliczeniach
statycznych stężenia pionowego.

d)

Obliczenie mnożnika obciążenia krytycznego α

cr

wg warunku (5.2) w [2],

podanego w wykładzie pt. „Modelowanie konstrukcji w celu wykonania analizy
globalnej ...”.



























=

Ed

H

Ed

Ed

cr

h

V

H

,

δ

α

.

Przy obliczaniu poziomego przemieszczenia układu δ

H,Ed

założono, że w

przeniesieniu obciążenia poziomego na fundamenty biorą udział tylko
krzyżulce rozciągane, a występujące w nich naprężenia osiągać mogą wartości
f

y

; (K/A

k

≤ f

y

), gdzie K i A

k

odpowiednio siła w krzyżulcu tężnika i pole jego

przekroju poprzecznego.

Przy tych założeniach otrzymuje się:

Rys. 5. Przemieszczenie poziome

δ

H,Ed

układu podłużnego hali: a) wydłużenie krzyżulca 

i,k

,

b) przechył

φ

0,T

spowodowany III kategorią górniczą terenu

- wydłużenie krzyżulca

3

3

10

485

,

10

37

,

9

10

210

235

−

−

⋅

=

⋅

=

≤

⋅

⋅

=

∆

k

y

k

k

lk

l

E

f

A

E

l

K

m,

- przemieszczenie poziome układu

3

,

,

3

,

,

10, 485 10

9, 37

sin

16, 374 10

m,

6, 0

i k

i k k

H Ed

H Ed

k

l

b

l

b

α

δ

δ

−

−

∆

∆

⋅

⋅

=

=

→

=

=

=

⋅

oraz

3

,

55, 745

7, 2

10, 32

10

2375, 0

16, 374 10

Ed

cr

Ed

H Ed

H

h

V

α

δ

−











 



=

=

=

>











 







⋅



 





 



.

Ponieważ α

cr

> 10, toteż układ nie jest wrażliwy na efekty II rzędu.

e)

Uwzględnienie nachylenia terenu T

Uwzględniając nachylenie górnicze terenu i przyjmując, że jest ono stałe na
długości

układu,

otrzymuje

się

dodatkowy

przechył

słupów

φ

0,T

= T = 0,010 rad, oraz:

- wstępną imperfekcję przechyłową wg warunku (5.5)

0

0,

1

10

0, 745 0, 764

0, 01285

200

1000

calk

h

m

T

φ

φ α α

φ

=

+

=

⋅

⋅

+

=

rad.

- siły poziome od imperfekcji przechyłowej oraz sprawdzenie warunku

normowego (5.7)

H

d,

φ

=

φ

V

Ed

= 0,01284 · 2375,0 = 30,52 kN,

H

Ed

=

H + H

d,

φ

= 49,0 + 30,52 = 79,52 kN

H

Ed

= 79,52 kN < 0,15·

V

Ed

= 0,15·2375,0 = 356,25 kN

Imperfekcje przechyłowe należy uwzględnić w obliczeniach statycznych
stężenia.

- mnożnik obciążenia krytycznego α

cr

3

,

79, 519

7, 2

14, 72

10

2375, 0

16, 374 10

Ed

cr

Ed

H Ed

H

h

V

α

δ

−















=

=

=

>



















⋅













Ponieważ α

cr

> 10 układ nie jest wrażliwy na efekty II rzędu.

f)

Ocena dodatkowego obciążenia poziomego tężnika H

d,

φ

- bez uwzględnienia nachylenia terenu (wg punktu c): H

d,

φ

= 6,75 kN;

przyrost obciążenia poziomego (H

d,

φ

/H) = 6,75/49,00 = 0,14 (wzrost

obciążenia o 14%),

- z uwzględnieniem nachylenia terenu (wg punktu e): H

d,

φ

= 30,52 kN;

przyrost obciążenia poziomego H

d,

φ

/H = 30,52/49,00 = 0,62 (wzrost

obciążenia o 62%).

Literatura

[1] PN-EN 1990: Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji
[2] PN-EN 1993-1-1: Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-1: Reguły

ogólne i reguły dla budynków.

[3] J. Bródka, R. Garncarek, K. Miłaczewski, Blachy fałdowe w budownictwie stalowym,

Warszawa Arkady, 1999 (i późniejsze),

[4] PN-EN 1993-1-3: Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych.

Część 1-3: Reguły ogólne. Reguły uzupełniające dla konstrukcji z kształtowników i blach
profilowanych na zimno.

[5] European Recommendations for the Application of Metal Sheeting Acting as a Diaphragm.

Stressed Skin Design. ECCS Committee TC7, TWG 7.5, May 1995.

[6] Praca zbiorowa: „Konstrukcje Stalowe. Przykłady obliczeń według PN-EN 1993-1”, pod

redakcją Aleksandra Kozłowskiego, Rzeszów 2009.

[7] PN-90/B-03200: Konstrukcje stalowe. Obliczenia statyczne i projektowanie.
[8] A. Biegus, D. Mądry, Obliczanie stężeń hal stalowych według PN-EN 1993-1-3, Konstrukcje

stalowe, 2007.

[9] Praca zbiorowa: Budownictwo ogólne, tom 5, „Stalowe konstrukcje budynków.

Projektowanie według eurokodów z przykładami obliczeń” pod kierunkiem Mariana
Giżejowskiego i Jerzego Ziółko, Arkady, Warszawa 2010.