Statystyka In˙zynierska

W2: Zmienna losowa dyskretna

dr hab. in˙z. Katarzyna Filipiak

Instytut Matematyki

Politechnika Pozna´

nska

9.10.2015

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

1 / 29

Zmienna losowa

Zmienn¸a losow¸a

X

nazywamy funkcj¸e

X = X(

ω)

okre´slon¸a na przestrzeni zdarze´n elementarnych

Ω

o

warto´sciach w zbiorze liczb rzeczywistych

R

Niech zmienna losowa

dyskretna

(skokowa)

X

przyjmuje

warto´sci

x

1

,

x

2

, . . .

odpowiednio z prawdopodobie´nstwami

p

1

,

p

2

, . . .

;

∑

∞

i=1

p

i

=

1

.

Rozk ladem prawdopodobie´nstwa

zmiennej losowej

dyskretnej

X

, nazywamy funkcj¸e przyporz¸adkowuj¸ac¸a

warto´sciom zmiennej

x

i

(

i = 1,2,...) prawdopodo-

bie´nstwa ich przyj¸ecia:

P(X = x

i

) =

P({ω : X(ω) = x

i

}) = p

i

.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

2 / 29

Przyk lad

W pewnym eksperymencie wykorzystano dwa automatyczne aparaty
fotograficzne w celu dokumentowania jego przebiegu. W danych
warunkach prawdopodobie´nstwo wykonania poprawnej fotografii dla
ka˙zdego aparatu jest takie samo i wynosi

p = 0,6. Podaj rozk lad

prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej oznaczaj¸acej licz¸e aparat´ow,
kt´ore udokumentowa ly przebieg eksperymentu.

X = 0,1,2

P(X = 0) = 0,4 · 0,4 = 0,16

P(X = 1) = 0,6 · 0,4 + 0,4 · 0,6 = 0,48

P(X = 2) = 0,6 · 0,6 = 0,36

rozk lad prawdopodobie´nstwa:

x

i

0

1

2

p

i

0,16 0,48 0,36 1

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

3 / 29

Dystrybuanta

Dystrybuant¸a zmiennej losowej

X

nazywamy funkcj¸e

F(X)

okre´slon¸a na zbiorze liczb rzeczywistych i

przyjmuj¸ac¸a warto´sci

F(x) = P(X < x) = P({ω : X(ω) < x}).

W lasno´sci:

0 ≤ F(x) ≤ 1
F(x)

jest niemalej¸aca

F(x)

jest lewostronnie ci¸ag la:

lim

x→x

−

0

F(x) = F(x

0

)

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

4 / 29

Dystrybuanta

Dystrybuanta i prawdopodobie´nstwo – dla dowolnych
liczb rzeczywistych

a

i

b

zachodzi:

P(X < a) = F(a)
P(X ≥ a) = 1 − F(a)
P(a ≤ X < b) = F(b) − F(a)

Dystrybuanta zmiennej losowej dyskretnej:

F(x) = P(X < x) =

∑

x

i

<

x

p(x

i

) =

∑

x

i

<

x

p

i

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

5 / 29

Przyk lad

W pewnym eksperymencie wykorzystano

trzy

automatyczne aparaty

fotograficzne w celu dokumentowania jego przebiegu. W danych
warunkach prawdopodobie´nstwo wykonania poprawnej fotografii dla
ka˙zdego aparatu jest takie samo i wynosi

p = 0,6. Oblicz

prawdopodobie´nstwo:
(a) nieudokumentowania eksperymentu;
(b) zarejestrowania eksperymentu przez co najmniej dwa aparaty.

rozk lad prawdopodobie´nstwa:

x

i

0

1

2

3

p

i

0,064 0,288 0,432 0,216 1

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

6 / 29

Przyk lad

x

i

0

1

2

3

p

i

0,064 0,288 0,432 0,216 1

dystrybuanta:

F(x) =























0

dla

x ≤ 0

0,064

dla

0 < x ≤ 1

0,064 + 0,288

dla

1 < x ≤ 2

0,064 + 0,288 + 0,432

dla

2 < x ≤ 3

0,064 + 0,288 + 0,432 + 0,216 dla

x > 3

P(X < 1) = F(1) = 0,064,

P(X ≥ 2) = 1 − P(X < 2) = 1 − F(2) = 1 − 0,352 = 0,648

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

7 / 29

Przyk lad

x

i

0

1

2

3

p

i

0,064 0,288 0,432 0,216 1

dystrybuanta:

F(x) =























0

dla

x ≤ 0

0,064

dla

0 < x ≤ 1

0,352

dla

1 < x ≤ 2

0,784

dla

2 < x ≤ 3

1

dla

x > 3

P(X < 1) = F(1) = 0,064

,

P(X ≥ 2) = 1 − P(X < 2) = 1 − F(2) = 1 − 0,352 = 0,648

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

8 / 29

Warto´s´c oczekiwana

Niech zmienna losowa dyskretna

X

przyjmuje warto´sci

x

1

,

x

2

, . . . ,

x

n

odpowiednio z prawdopodobie´nstwami

p

1

,

p

2

, . . . ,

p

n

.

Definicja

Warto´sci¸a oczekiwan¸a

zmiennej losowej

X

nazywamy

liczb¸e oznaczon¸a symbolem

E(X)

i okre´slon¸a wzorem

E(X) =

n

∑

i=1

x

i

p

i

.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

9 / 29

Warto´s´c oczekiwana

Niech zmienna losowa dyskretna

X

przyjmuje warto´sci

x

1

,

x

2

, . . .

odpowiednio z prawdopodobie´nstwami

p

1

,

p

2

, . . .

.

Definicja

Warto´sci¸a oczekiwan¸a

zmiennej losowej

X

nazywamy

liczb¸e oznaczon¸a symbolem

E(X)

i okre´slon¸a wzorem

E(X) =

∞

∑

i=1

x

i

p

i

o ile niesko´nczony szereg

∑

∞

i=1

x

i

p

i

jest zbie˙zny.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

10 / 29

W lasno´sci

E(X)

Niech

a,b ∈ R.

E(a) = a
E(bX) = b · E(X)
E(X + a) = E(X) + a

Niech

g : D → R

, gdzie

x

i

∈ D

,

i = 1,2,...

.

W´owczas

E[g(X)] =

∞

∑

i=1

g(x

i

)

· p

i

.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

11 / 29

Przyk lad

W pewnym eksperymencie wykorzystano trzy automatyczne aparaty
fotograficzne w celu dokumentowania jego przebiegu. W danych
warunkach prawdopodobie´nstwo wykonania poprawnej fotografii dla
ka˙zdego aparatu jest takie samo i wynosi

p = 0,6. Oblicz ile ´srednio

aparat´ow udokumentuje przebieg eksperymentu.

x

i

0

1

2

3

p

i

0,064 0,288 0,432 0,216 1

E(X) = 0 · 0,064 + 1 · 0,288 + 2 · 0,432 + 3 · 0,216

=

1,8 ≈ 2

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

12 / 29

Wariancja

Niech

µ = E(X)

.

Definicja

Wariancj¸a

dyskretnej zmiennej losowej

X

nazywamy

liczb¸e oznaczon¸a symbolem

D

2

(

X)

i okre´slon¸a wzorem

D

2

(

X) = E[(X − µ)

2

] =

E(X

2

)

− µ

2

.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

13 / 29

W lasno´sci

D

2

(

X)

Niech

a,b ∈ R.

D

2

(

X) ≥ 0

(

!ZAWSZE!

)

D

2

(

X + a) = D

2

(

X)

D

2

(

bX) = b

2

· D

2

(

X)

D

2

(

a + bX) = b

2

· D

2

(

X)

Definicja

Odchyleniem standardowym

zmiennej losowej

X

nazywamy liczb¸e oznaczon¸a symbolem

D(X)

i okre´slon¸a

wzorem

D(X) =

q

D

2

(

X).

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

14 / 29

Pr´oba Bernoulliego

(a)

Ka˙zda pr´oba ko´nczy si¸e jednym z dw´och wynik´ow:
sukcesem

S

lub pora˙zk¸a

F

.

(b)

Dla ka˙zdej pr´oby prawdopodobie´nstwa sukcesu

P(S) = p

oraz pora˙zki

P(F) = q = 1 − p

s¸a takie

same.

(c)

Pr´oby s¸a niezale˙zne – prawdopodobie´nstwo sukcesu
w jednej pr´obie nie zale˙zy od wynik´ow uzyskanych w
innych pr´obach.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

15 / 29

Rozk lad zero-jedynkowy

ZJ(p)

Zmienna losowa

X = 0,1

P(X = k) =



p

dla

k = 1

1 − p

dla

k = 0,

p ∈ [0, 1]

.

Charakterystyki liczbowe:

E(X) = p,

D

2

(

X) = p(1 − p) = pq

Rozk lad zero-jedynkowy = rozk lad Bernoulliego

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

16 / 29

Przyk lad

W pewnym eksperymencie wykorzystano trzy automatyczne aparaty
fotograficzne w celu dokumentowania jego przebiegu. W danych
warunkach prawdopodobie´nstwo wykonania poprawnej fotografii dla
ka˙zdego aparatu jest takie samo i wynosi

p = 0,6. Wyznacz rozk lad

prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej

Y oznaczaj¸acej

zarejestrowanie lub niezarejestrowanie przebiegu eksperymentu.

Y = 0,1

(

0 – niezarejestrowanie, 1 – zarejestrowanie)

x

i

0

1

p

i

0,064 0,936 1

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

17 / 29

Rozk lad r´ownomierny

R(x

1

,

x

n

)

Zmienna losowa

X = x

1

, . . . ,

x

n

P(X = k) =

1
n

.

Charakterystyki liczbowe:

E(X) =

x

1

+

x

n

2

,

D

2

(

X) =

n

2

− 1

12

Rozk lad r´ownomierny = discrete uniform distribution

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

18 / 29

Przyk lad

Eksperyment polega na rzucie kostk¸a do gry. Wyznacz rozk lad
prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej

X oznaczaj¸acej liczb¸e

wyrzuconych oczek.

X = 1,2,3,4,5,6

x

i

1

2

3

4

5

6

p

i

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

19 / 29

Rozk lad dwumianowy

B(n,p)

Zmienna losowa

X = 0,1,2,...,n

P(X = k) =

n

k



p

k

q

n−k

,

q = 1 − p

,

p ∈ [0, 1]

.

Charakterystyki liczbowe:

E(X) = np,

D

2

(

X) = npq

Rozk lad dwumianowy = binomial distribution

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

20 / 29

Przyk lad

W pewnym eksperymencie wykorzystano trzy automatyczne aparaty
fotograficzne w celu dokumentowania jego przebiegu. W danych
warunkach prawdopodobie´nstwo wykonania poprawnej fotografii dla
ka˙zdego aparatu jest takie samo i wynosi

p = 0,6. Podaj rozk lad

prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej oznaczaj¸acej licz¸e aparat´ow,
kt´ore udokumentowa ly przebieg eksperymentu.

X = 0,1,2,3,

p = 0,6,

q = 1 − p = 0,4

P(X = 0) =

3

0

· 0,6

0

· 0,4

3

=

0,064

P(X = 1) =

3

1

· 0,6

1

· 0,4

2

=

3 · 0,6 · 0,16 = 0,288

P(X = 2) =

3

2

· 0,6

2

· 0,4

1

=

3 · 0,36 · 0,4 = 0,432

P(X = 3) =

3

3

· 0,6

2

· 0,4

0

=

0,216

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

21 / 29

Rozk lad geometryczny

Zmienna losowa

X = 1,2,...

oznacza liczb¸e pr´ob

poprzedzaj¸acych pierwszy sukces

P(X = k) = p · q

k−1

,

q = 1 − p

,

p ∈ [0, 1]

.

Charakterystyki liczbowe:

E(X) =

1
p

,

D

2

(

X) =

q

p

2

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

22 / 29

Przyk lad

W pewnym eksperymencie wykorzystano trzy automatyczne aparaty
fotograficzne w celu dokumentowania jego przebiegu. W danych
warunkach prawdopodobie´nstwo wykonania poprawnej fotografii dla
ka˙zdego aparatu jest takie samo i wynosi

p = 0,6. Eksperyment jest

powtarzany tak d lugo, a˙z nie zostanie zarejestrowany co najmniej
dwoma aparatami. Jaki jest rozk lad prawdopodobie´nstwa zmiennej
losowej

Y oznaczaj¸acej liczb¸e wykonanych eksperyment´ow do

pierwszego zarejestrowania eksperymentu co najmniej dwoma
aparatami? Ile przeci¸etnie eksperyment´ow nale˙zy wykona´c?

Y = 1,2,3,...,

p = 0,648,

q = 1 − p = 0,352

P(Y = 1) = 0,648 · 0,352

0

=

0,648

P(Y = 2) = 0,648 · 0,352

1

=

0,228

. . .

E(Y) =

1

0,648

=

1,543 ≈ 2

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

23 / 29

Rozk lad Pascala

NB(m,p)

Zmienna losowa

X = m,m + 1,...

oznacza liczb¸e pr´ob

poprzedzaj¸acych

m

-ty sukces

P(X = k) =

 k−1

m − 1



p

m

· q

k−m

,

q = 1 − p

,

p ∈ [0, 1]

.

Charakterystyki liczbowe:

E(X) =

m

p

,

D

2

(

X) =

mq

p

2

Rozk lad Pascala – szczeg´olny przypadek rozk ladu
ujemnie dwumianowego (negative binomial distribution )

Rozk lad Pascala

NB(1,p) = rozk lad geometryczny

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

24 / 29

Przyk lad

W pewnym eksperymencie wykorzystano trzy automatyczne aparaty
fotograficzne w celu dokumentowania jego przebiegu. W danych
warunkach prawdopodobie´nstwo wykonania poprawnej fotografii dla
ka˙zdego aparatu jest takie samo i wynosi

p = 0,6. Eksperyment jest

powtarzany tak d lugo, a˙z nie zostanie zarejestrowany co najmniej
dwoma aparatami. Jaki jest rozk lad prawdopodobie´nstwa zmiennej
losowej

Z oznaczaj¸acej liczb¸e wykonanych eksperyment´ow do

dwukrotnego zarejestrowania eksperymentu co najmniej dwoma
aparatami?

Z = 2,3,...,

p = 0,648,

q = 1 − p = 0,352

P(Z = 2) =

1

1

p

2

q

0

=

0,648

2

=

0,42

P(Z = 3) =

2

1

p

2

q

1

=

2 · 0,648

2

· 0,352 = 0,296

P(Z = 4) =

3

1

p

2

q

2

=

3 · 0,648

2

· 0,352

2

=

0,156

. . .

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

25 / 29

Rozk lad hipergeometryczny

H(N,M,n)

Zmienna losowa

X = max{0,M − N + n},...,min{M,n}

gdzie:

N

- liczba element´ow populacji

M

– liczba element´ow wyr´o˙znionych

n

– liczebno´s´c pr´oby (losujemy bez zwracania)

P(X = k) =

M

k

·

N−M

n−k

N

n

.

Charakterystyki liczbowe:

E(X) = np, D

2

(

X) =

npq(N − n)

(

N − 1)

(

p = M/N, q = 1−p)

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

26 / 29

Przyk lad

Na egzaminie ze statystyki student losuje trzy pytania.
Egzaminuj¸acy przedstawi l do przygotowania 20 pyta´n. Student zna
prawid lowe odpowiedzi na 15 podanych pyta´n. Jaki jest rozk lad
prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej

X oznaczaj¸acej liczb¸e

poprawnych odpowiedzi na egzaminie? Jakie jest
prawdopodobie´nstwo, ˙ze student zda egzamin, czyli odpowie co
najmniej na 2 pytania?

N = 20,

M = 15,

n = 3,

X = 0,1,2,3

P(X = 0) = (

15

0

)

·

(

5

3

)

(

20

3

)

=

1

114

,

P(X = 1) = (

15

1

)

·

(

5

2

)

(

20

3

)

=

5

38

,

P(X = 2) = (

15

2

)

·

(

5

1

)

(

20

3

)

=

35

76

,

P(X = 3) = (

15

3

)

·

(

5

0

)

(

20

3

)

=

91

228

P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) =

49

57

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

27 / 29

Rozk lad Poissona

PO(

λ)

Zmienna losowa

X = 0,1,2,...

P(X = k) =

λ

k

k!

e

−λ

,

λ > 0

– ´srednia liczba wyst¸apie´n wyr´o˙znionych zdarze´n

Charakterystyki liczbowe:

E(X) =

λ,

D

2

(

X) =

λ

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

28 / 29

Przyk lad

Oblicz prawdopodobie´nstwo, ˙ze w serii 1000 wyprodukowanych
element´ow znajduje si¸e co najwy˙zej jeden wybrakowany, je˙zeli
wiadomo, ˙ze przeci¸etny procent brak´ow to

0,3.

n = 1000,

p = 0,003,

E(X) =

λ = np = 3

P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) =

3

0

0!

e

−3

+

3

1

1!

e

−3

=

e

−3

+

3e

−3

=

4e

−3

≈ 0,199

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

29 / 29