B. Oleś Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

10. Moment pędu. Zasada zachowania momentu pędu

.

p

r

L







Iloczyn wektorowy wektora i pędu cząstki
nazywamy

momentem pędu (krętem)

cząstki:

r



p



,

sin

|

||

|

|

|

p

r

L







Jego wartość:

Jest on z definicji prostopadły do płaszczyzny, w której leżą wektory i , a
zwrot jest określony przez regułę śruby prawoskrętnej (regułę prawej dłoni).

r



p



1

W układzie współrzędnych kartezjańskich możemy obliczyć
moment pędu obliczając wyznacznik:

z

y

x

p

p

p

z

y

x

k

j

i

L









k

yp

xp

j

xp

zp

i

p

z

yp

x

y

z

x

y

z







)

(

)

(

)

(

x

y

z

p



r



L



B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

2

W ruchu po okręgu wygodnie jest opisywać ruch cząstki

za pomocą

prędkości kątowej .

dt

d

|

|

,





Jest ona związana z prędkością
liniową zależnością:

.

r







v

v



r





r

v

Wyraźmy wektor momentu pędu poprzez prędkość kątową:

,

)

(

r

r

m

m

r

p

r

L

















v

- droga kątowa

w radianach

Korzystamy z tożsamości wektorowej:

,

)

(

)

(

)

(

b

a

c

c

a

b

c

b

a



















.

)

(

2

2















mr

r

r

m

r

m

L

Definiujemy

moment bezwładności

cząstki I:

(odpowiednik masy m, miara bezwładności)

2

mr

I

Dostajemy wówczas wyrażenie na moment pędu:

.





I

L

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

.

d

d

t

L

M





.

F

r

M







Moment siły

cząstki definiujemy wzorem:

Pomnóżmy obie strony równania przez wektor :

t

p

F

d

d





r



.

d

d

t

p

r

F

r









,

)

(

d

d

v









m

r

t

F

r

Dostajemy:

Otrzymaliśmy równanie ruchu: szybkość zmian w czasie momentu

pędu cząstki jest równa momentowi siły działającemu na tę cząstkę.

Równanie to jest szczególnie przydatne w ruchu

obrotowym i w ruchach krzywoliniowych.

Zauważmy, że moment siły , gdy brak oddziaływania,
tj. oraz gdy siła jest równoległa do wektora ,

0





F

0





M

.

|| r

F





r



3

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

4

4

Jeśli wypadkowy moment siły działający na cząstkę równa się zeru,

, to moment pędu cząstki nie ulega zmianie: .

0





M

const

L



Ze znikania momentu siły wynika: i

0

d

d





t

L

Podczas ruchu ciał w polu sił

centralnych,

np. w polu grawitacyjnym, jest

zachowany:

L



0

)

(

)

(













r

r

r

f

r

r

f

r

M

Ruch ciała odbywa się w

płaszczyźnie prostopadłej do .

L



Przykładem jest tu ruch Ziemi po eliptycznym torze wokół Słońca, a ze stałości
momentu pędu wynika drugie prawo Keplera, rządzące ruchem planet.

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10 5

Zasadę zachowania momentu pędu możemy rozszerzyć

na układ cząstek.

Moment pędu układu

jest zachowywany, jeśli wypadkowy

moment sił zewnętrznych jest równy zeru (momenty

sił wewnętrznych znoszą się).

iz

z

M

M





i

L

L





Jeśli moment pędu zapiszemy w postaci to widać, że

gdy ma być on zachowany, zmianie momentu bezwładności

musi towarzyszyć zmiana częstotliwości.

,





I

L

2006/07

const

L

L

k





0

Stop !

k

k

I

I





0

0

(Momenty bezwładności względem pewnych osi obrotu
ciał będących układami b. wielu cząstek, np. kuli, pręta,
etc., można obliczyć zastępując całkowaniem
sumowanie momentów bezwładności od
poszczególnych cząstek

)

.

1

2

n

i

i

i

r

m

I

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

6

Niszczycielska siła huraganów i trąb powietrznych może być w dużej mierze
wytłumaczona zasadą zachowania momentu pędu: kiedy powietrze jest zasysane
ku środkowi, jego prędkość kątowa rośnie.

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

7

Zasada zachowania momentu pędu

wytłumaczeniem powszechności

występowania dysków we Wszechświecie

.

Obłok materii międzygwiezdnej powoli
wiruje i zapada się pod wpływem własnej
grawitacji

I

maleje, wzrasta prędkość

rotacji.

NGC 4414, 6 10

7

lat św

W płaszczyźnie równikowej obłoku rotacja (siła
odśrodkowa) przeciwdziała sile grawitacji. Gaz z
dala od tej płaszczyzny przemieszcza się ku
centrum obłoku. Po pewnym czasie cała materia
obłoku znajdzie się w płaszczyźnie równikowej

.

Najodleglejsza galaktyka

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

8

Podsumowanie

na zakon’czenie omawiania praw zachowania

Za pomocą praw zachowania można uzyskać szereg

ważnych danych dotyczących zjawiska, bez konieczności

rozwiązywania równań ruchu.

Nie zależą one od charakteru występujących oddziaływań.

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK,

2009/10

9

SZCZEGÓLNA TEORIA

WZGLĘDNOŚCI CD.

11. Dynamika relatywistyczna

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

10

11.1. Pęd relatywistyczny

Symulacja efektu zderzenia

cząstek w LHC.

W mechanice klasycznej obserwatorzy w różnych inercjalnych
układach odniesienia obserwując zderzenie dwóch cząstek
wprawdzie zmierzą różne ich prędkości, ale każdy stwierdzi,
że jeśli na cząstki nie działają siły zewnętrzne, to pęd układu
jest zachowany.

W LHC protony będą rozpędzane do prędkości

relatywistycznych i poddawane zderzeniom.

Jeszcze w tym roku ma zostać podjęta
ponowna próba uruchomienia największego
na świecie akceleratora cząstek elementarnych,
tzw. Wielkiego Zderzacza Hadronów (LHC)
w CERN w pobliżu Genewy.

Czy przy takich prędkościach spełnione

jest prawo zachowania pędu?

Aby podczas zderzeń cząstek relatywistycznych pęd był
zachowany, należy zmienić jego definicję.

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

11

.

1

2

2

v

v

v







m

c

m

p

m

to

masa spoczynkowa cząstki

, tj.

zmierzona dla cząstki znajdującej się

w spoczynku.

Wprowadza się pojęcie

masy relatywistycznej:

m

rel

= m

.

v





rel

m

p

1

1

0,5

p

rel

=m

v

mc

p

c

v

v

m

p

klas

v





m

p

klas

v

0

Przy takiej definicji u prawo zachowania pędu jest spełnione.

Dla v<< c wzór przechodzi w definicję klasyczną:

Pęd w dynamice relatywistycznej definiujemy wzorem:

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

12

11.2. Uogólnienie drugiej zasady dynamiki

Przypomnijmy, że najbardziej ogólna postać drugiej zasady
dynamiki Newtona wyrażona jest poprzez zmianę pędu w czasie:

F

t

d

p

d





Doświadczenia potwierdzają słuszność tak sformułowanej zasady

dynamiki również w przypadkach relatywistycznych, pod warunkiem,

że występujący w niej pęd jest zdefiniowany wzorem :

.

1

2

2

F

c

m

t

d

d





v

v

Ponieważ relatywistyczny pęd nie jest wprost proporcjonalny do

prędkości, szybkość zmiany pędu w czasie nie jest wprost

proporcjonalna do przyspieszenia ( jak w przypadkach klasycznych):

,

)

(

t

d

d

m

a

m

t

d

d

m

t

d

d

m

m

t

d

d

v

v

v

v











W konsekwencji

stała siła nie powoduje stałego przyspieszenia

, a

w ogólnym przypadku przyspieszenie nie jest równoległe do siły

wypadkowej .

B. Oleś

13

Relatywistyczne pędy cząstki elementarne (elektron, proton)
osiągają w akceleratorach liniowych, przyspieszane polem
elektrycznym:

,

d

d

rel





q

t

p

gdzie - natężenie pola elektrycznego, a prędkość
początkowa równa zeru.



,

t

q

p

rel





3

m

q

a





Mamy tu do czynienia z przypadkiem siły równoległej

do prędkości, w którym przyspieszenie cząstki:

Wykład 6 Wydz.Chemii PK,

2009/10

Liniowy akcelerator w Stanford 3,2 km długości.

Dla elektronów poruszających się z prędkością

0,9999995c jego długość wynosi tylko 3,2 metra!

Służy do badania zderzeń wysoko-energetycznych

elektronów z atomami tarczy.

Widzimy, że w miarę wzrostu prędkości cząstki przyspieszenie wywołane
przez stałą siłę maleje! W konsekwencji cząstka o niezerowej masie
spoczynkowej nie może osiągnąć szybkości równej szybkości światła c.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c
3/Aps_linear_accelerator.jpg

http://www.daviddarling.info/images/SLAC_Linear_Collider.gif

Klasyczne podejście do zagadnienia ruchu cząstki pod wpływem
stałej siły nie narzuca żadnego ograniczenia – po dostateczni
długim czasie cząstka może uzyskać dowolną prędkość.

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

14

Podczas przyspieszania cząstek w akceleratorach kołowych, tory cząstek są zakrzywiane
polem magnetycznym, a pole elektryczne odpowiedzialne jest za wzrost prędkości.

Akcelerator w CERN-ie o obwodzie 27
km. Znajduje się w tunelu na głębokości

około 100 m.

Magnes nadprzewodzący.

www.cancercareyorkcounty.org/services.htm

Akceleratory znalazły zastosowanie do walki z rakiem.
Są źródłami promieniowania x, , protonów, neutronów
lub ciężkich jonów, stosowanych w diagnostyce
medycznej i terapii.

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

15

11.3. Energia relatywistyczna

Wiemy, że praca sił zmieniających prędkości cząstki jest równa przyrostowi jej
energii kinetycznej. Obliczając pracę wykonaną przez siłę rozpędzającą cząstkę
ze stanu spoczynku do relatywistycznej prędkości v znajdujemy

relatywistyczną energię kinetyczną

:

v

0

W

E

k

.

)

/

(

1

2

2

2

2

2

mc

mc

mc

c

mc

E

k

v

2

0

c

m

E

Wyrażenie

mc

2

to

energia spoczynkowa

, którą cząstka posiada będąc

w spoczynku:

Oznacza to, że każdej masie bezwładnej odpowiada

ściśle określona energia.

Całkowita energia

cząstki swobodnej będącej w ruchu jest sumą jej

energii kinetycznej i spoczynkowej:

,

2

mc

E

E

k

.

)

/

(

1

2

2

2

mc

c

mc

E

v

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

16

0

v

2

2

1

v

m

E

k

1

0,5

0,5

2

mc

E

k

c

v

klas

relat

.

4

2

2

2

2

c

m

c

p

E

2. Dla

v<< c

wzór relatywistyczny

na E

k

przechodzi w klasyczny:

Zapamiętaj, że

1. Energia relatywistyczna zawsze

dodatnia i ściśle określona.

3. Całkowita energia układu izolowanego

jest zachowywana (w danym układzie inercjalnym).

2

mc

E

4. Zależność między całkowitą energią a pędem dana jest wzorem:

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

17

11.4. Równoważność masy i energii

.

2

rel

c

m

E

Powróćmy do zrewidowanej zasady zachowania energii:

całkowita energia układu izolowanego nie ulega zmianie

.

Jeśli zatem zmaleje sumaryczna energia spoczynkowa takiego

układu cząstek, musi się pojawić energia w jakiejś innej postaci.

Z takimi sytuacjami mamy do czynienia podczas reakcji chemicznych lub
jądrowych

:

E

c

m

c

m

koń

pocz

2

2

gdzie E to energia reakcji powstała kosztem zmiany masy:

W gwiazdach

reakcja syntezy

, w której

dwa jądra wodoru łączą się w jedno jądro
wyzwala olbrzymie ilości energii powstałej
kosztem masy nowego jądra.

Niewielkie ilości materii mogą zamieniać

się w wielkie ilości energii!

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

18

Masa jądra atomowego jest mniejsza niż suma mas protonów i

neutronów o wielkość

E

b

/

c

2

, gdzie

E

b

jest energią wiązania jądra.

energia spoczynkowa protonu

p

: 938,272 MeV

energia spoczynkowa neutronu

n

: 939,565 MeV

energia spoczynkowa jądra deuteru

2

H: 187

5,613

MeV

suma energii spoczynkowych

p

i

n

: = 187

7,837

MeV

1 u

(atomowa jednostka masy)

= 1,66054 10

27

kg =

= 931,5 MeV /c

2

Energia wiązania jądra deuteru

E

b

=

2,22 MeV

Przykład

Obliczmy energię wiązania jądra deuteru (izotopu wodoru).

p

n

Energię kinetyczną elektronów, protonów, itd.
podaje się zwykle w

elektronowoltach

:

1 eV=1,60 10

19

J

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

19

II. DRGANIA I ZJAWISKA FALOWE

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

20

1. Drgania harmoniczne proste

Często drgania występujące w technice odgrywają

negatywną

rolę

, np. wibracje skrzydeł samolotu, drgania mostów.

Z drganiami mamy do czynienia w elektrycznej szczoteczce
do zębów, w zegarkach kwarcowych, w implantach usznych.

Ruch drgający to również ruch
wahadła (tu: wahadło Foucaulta)

Drganiami nazywamy zjawiska, które powtarzają się.

Możemy wyróżnić drgania mechaniczne, np. ruch

wahadła, drgania struny, drgania elektro-magnetyczne

w obwodach zawierających indukcyjność i pojemność

i in.

B. Oleś Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

21

Jeśli drgania zachodzą w układzie izolowanym, po uprzednim

wyprowadzeniu układu z położenia równowagi, nazywamy je

swobodnymi

(

własnymi

).

Drgania zachodzące pod wpływem zewnętrznej, periodycznej

siły wymuszającej nazywamy

wymuszonym

i.

Zajmiemy się drganiami :

mechanicznymi,

okresowymi, w których czas powtarzalności jest stały, a

najmniejszy odstęp czasu, po którym ruch się powtarza nosi

nazwę okresu drgań T (1/T=f – częstotliwość).

harmonicznymi (prostymi), w których wielkość

charakteryzująca ruch zmienia się sinusoidalnie lub

cosinusoidalnie w czasie.

x

t

T

f

t

f

x

t

x

m

/

1

,

)

π

2

sin(

)

(

T

m

x

t

f

π

2

- faza

f

π

2

- częstość kołowa

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

22

Ciała (lub układy) wykonujące drgania nazywamy

oscylatorami

(

oscylatorami harmonicznymi

, jeśli wykonują

drgania harmoniczne).

x

E

p

2

0

2

1

0

)

(

)

(

x

x

k

x

E

p

Położeniom

równowagi

oscylatora

odpowiadają minima energii potencjalnej E

p

.

Wychyleniu x z położenia równowagi towarzyszy

pojawienie się siły przywracającej równowagę:

.

d

d

)

(

i

x

E

x

F

p





.

)

,

,

(

grad

z

y

x

E

F

p



(Z ogólnego wzoru: )

Po przejściu przez stan równowagi oscylator kontynuuje dalej

ruch z powodu swej bezwładności (ruch opóźniony) i następuje

wychylenie w przeciwną stronę.

Jeśli dla małych wychyleń

możemy aproksymować

krzywą zależności E

p

od

wartości wychylenia

parabolą, to siła ma postać:

(

siła kwasisprężysta

)

.

r

k

F





B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

23

Rozważmy jako przykład oscylatora mechanicznego ciężarek

o masie

m

zawieszony na sprężynie o znikomej masie.

s

F



x

0

g

m



l

0

+

l

0

W położeniu równowagi (sprężyna wydłużona o

l

0

) siły: sprężystości i ciężkości równoważą się:

0

0







i

l

k

g

m

Po wychyleniu o x z położenia równowagi:

i

kx

i

x

l

k

g

m

F

wyp









)

(

0

Równanie ruchu

:

,

d

d

2

2

r

k

t

r

m





,

d

d

2

2

x

k

t

x

m

,

0

d

d

2

0

2

2

x

t

x

Równanie jednowymiarowego oscylatora harmonicznego nietłumionego:

ma rozwiązanie postaci:

m

k /

2

0

),

sin(

)

(

0

t

x

t

x

m

- faza początkowa,

m

x

amplituda drgań są

wyznaczane z warunków początkowych

.

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

24

),

sin(

)

(

0

t

x

t

x

m

m/k

T

π

2

/

π

2

0

t

T

Okres drgań:

Prędkość:

),

2

/

π

sin(

)

cos(

d

d

0

0

0

0

t

x

t

x

t

x

m

m

v

(wyprzedza w fazie x o /2)

Przyspieszenie:

),

π

sin(

)

sin(

d

d

0

2

0

0

2

0

t

x

t

x

t

m

m

v

a

.

/

)

(

tg

,

)

/

(

0

0

0

2

0

2

0

2

0

v

v

x

x

x

m

Z warunków początkowych (t=0,

, ) możemy obliczyć:

0

)

0

(

v

v

0

)

0

(

x

x

Jak wcześniej sprawdziliśmy,

energia mechaniczna oscylatora

harmonicznego jest zachowywana.

B. Oleś Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

25

3. Drgania tłumione

Na ruch realnego oscylatora harmonicznego mają

zawsze wpływ siły oporu ruchu.

Ogólnie możemy te siły zapisać:

v

v

v





)

(

op

f

F

Zbadajmy ruch tłumiony

tarciem wiskotycznym

(lepkość)

, występującym przy niezbyt dużych

szybkościach i ruchu ciał w cieczach, gazach.

.

v





b

F

op

b – stały współczynnik,

proporcjonalny do współczynnika

lepkości

Energia oscylatora tłumionego ulega nieodwra-

calnemu rozproszeniu w postaci ciepła. Są to

zatem

siły dyssypatywne

.

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

26

Równanie ruchu jednowymiarowego

oscylatora tłumionego

:

v.

b

kx

dt

x

d

m

2

2

Przy niezbyt silnym tłumieniu (

0

> ) rozwiązanie

ma postać:

,

)

sin( t

e

x

x

t

m

Obliczając:

....,

)]

sin(

[

....

)]

sin(

[

2

2

t

e

x

dt

d

t

e

x

dt

d

t

m

t

m

I wstawiając do równania z dostaniemy:

,

0

2

2

0

2

2

x

dt

dx

dt

x

d

współczynnik tłumienia,

m

b

2

m

k /

0

częstość drgań własnych

.

2

2

0

t

m

e

x

t

x

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

27

Tłumienie powoduje wzrost okresu drgań:

2

2

0

π

2

T

Kolejne maksymalne wychylenia, „amplitudy”, przyjmują wartości

określone ciągiem geometrycznym:

,

1

t

m

e

x

A

...

,

1

)

(

2

T

T

t

m

e

A

e

x

A

Dekrement tłumienia

:

.

)

(

)

(

T

e

T

t

A

t

A

,

)

(

)

(

ln

T

T

t

A

t

A

Logarytmiczny dekrement tłumienia

:

charakteryzuje drgający układ. Jego znajomość pozwala

wyznaczyć współczynnik tłumienia .

Czas, po którym amplituda A zmaleje

e-krotnie nazywamy

czasem relaksacji

:

1

,

)

(

)

(

e

e

t

A

t

A

A

1

A

2

A

3

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

28

Energia oscylatora tłumionego ulega rozproszeniu w postaci ciepła.

Szybkość zmiany energii oscylatora w czasie:

v,

v

v

dt

d

m

kx

m

kx

dt

d

dt

dE

)

(

2

2

1

2

2

1

.

2

v

b

dt

dE

Pochodna energii jest równa

mocy traconej na opory ruchu.

ale

,

x

k

x

dt

d

b

x

dt

d

m

2

2

0

)

0

(

0

)

0

(

0

)

0

(

v

v

v

Słabe tłumienie:

ruch periodyczny

)

sin( t

e

x

x

t

m

t

x

Moc chwilowa jest zdefiniowana jako
praca wykonana w jednostce czasu

:

Jeśli tłumienie jest silne,

0

< mamy do

czynienia z

ruchem aperiodycznym

.

t

d

W

d

P

.

v

v

v

















b

F

t

d

r

d

F

t

d

r

d

F

P

Moc związana z siłami oporu

:

B. Oleś

Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10

29

Szkodliwe dla konstrukcji drgania należy wytłumić, tak
jak w przypadku drgań konstrukcji budowli wywołanych
przez fale sejsmiczne. Służą temu amortyzatory
sejsmiczne.