B. Oleś Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
10. Moment pędu. Zasada zachowania momentu pędu
.
p
r
L
Iloczyn wektorowy wektora i pędu cząstki
nazywamy
momentem pędu (krętem)
cząstki:
r
p
,
sin
|
||
|
|
|
p
r
L
Jego wartość:
Jest on z definicji prostopadły do płaszczyzny, w której leżą wektory i , a
zwrot jest określony przez regułę śruby prawoskrętnej (regułę prawej dłoni).
r
p
1
W układzie współrzędnych kartezjańskich możemy obliczyć
moment pędu obliczając wyznacznik:
z
y
x
p
p
p
z
y
x
k
j
i
L
k
yp
xp
j
xp
zp
i
p
z
yp
x
y
z
x
y
z
)
(
)
(
)
(
x
y
z
p
r
L
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
2
W ruchu po okręgu wygodnie jest opisywać ruch cząstki
za pomocą
prędkości kątowej .
dt
d
|
|
,
Jest ona związana z prędkością
liniową zależnością:
.
r
v
v
r
r
v
Wyraźmy wektor momentu pędu poprzez prędkość kątową:
,
)
(
r
r
m
m
r
p
r
L
v
- droga kątowa
w radianach
Korzystamy z tożsamości wektorowej:
,
)
(
)
(
)
(
b
a
c
c
a
b
c
b
a
.
)
(
2
2
mr
r
r
m
r
m
L
Definiujemy
moment bezwładności
cząstki I:
(odpowiednik masy m, miara bezwładności)
2
mr
I
Dostajemy wówczas wyrażenie na moment pędu:
.
I
L
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
.
d
d
t
L
M
.
F
r
M
Moment siły
cząstki definiujemy wzorem:
Pomnóżmy obie strony równania przez wektor :
t
p
F
d
d
r
.
d
d
t
p
r
F
r
,
)
(
d
d
v
m
r
t
F
r
Dostajemy:
Otrzymaliśmy równanie ruchu: szybkość zmian w czasie momentu
pędu cząstki jest równa momentowi siły działającemu na tę cząstkę.
Równanie to jest szczególnie przydatne w ruchu
obrotowym i w ruchach krzywoliniowych.
Zauważmy, że moment siły , gdy brak oddziaływania,
tj. oraz gdy siła jest równoległa do wektora ,
0
F
0
M
.
|| r
F
r
3
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
4
4
Jeśli wypadkowy moment siły działający na cząstkę równa się zeru,
, to moment pędu cząstki nie ulega zmianie: .
0
M
const
L
Ze znikania momentu siły wynika: i
0
d
d
t
L
Podczas ruchu ciał w polu sił
centralnych,
np. w polu grawitacyjnym, jest
zachowany:
L
0
)
(
)
(
r
r
r
f
r
r
f
r
M
Ruch ciała odbywa się w
płaszczyźnie prostopadłej do .
L
Przykładem jest tu ruch Ziemi po eliptycznym torze wokół Słońca, a ze stałości
momentu pędu wynika drugie prawo Keplera, rządzące ruchem planet.
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10 5
Zasadę zachowania momentu pędu możemy rozszerzyć
na układ cząstek.
Moment pędu układu
jest zachowywany, jeśli wypadkowy
moment sił zewnętrznych jest równy zeru (momenty
sił wewnętrznych znoszą się).
iz
z
M
M
i
L
L
Jeśli moment pędu zapiszemy w postaci to widać, że
gdy ma być on zachowany, zmianie momentu bezwładności
musi towarzyszyć zmiana częstotliwości.
,
I
L
2006/07
const
L
L
k
0
Stop !
k
k
I
I
0
0
(Momenty bezwładności względem pewnych osi obrotu
ciał będących układami b. wielu cząstek, np. kuli, pręta,
etc., można obliczyć zastępując całkowaniem
sumowanie momentów bezwładności od
poszczególnych cząstek
)
.
1
2
n
i
i
i
r
m
I
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
6
Niszczycielska siła huraganów i trąb powietrznych może być w dużej mierze
wytłumaczona zasadą zachowania momentu pędu: kiedy powietrze jest zasysane
ku środkowi, jego prędkość kątowa rośnie.
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
7
Zasada zachowania momentu pędu
wytłumaczeniem powszechności
występowania dysków we Wszechświecie
.
Obłok materii międzygwiezdnej powoli
wiruje i zapada się pod wpływem własnej
grawitacji
I
maleje, wzrasta prędkość
rotacji.
NGC 4414, 6 10
7
lat św
W płaszczyźnie równikowej obłoku rotacja (siła
odśrodkowa) przeciwdziała sile grawitacji. Gaz z
dala od tej płaszczyzny przemieszcza się ku
centrum obłoku. Po pewnym czasie cała materia
obłoku znajdzie się w płaszczyźnie równikowej
.
Najodleglejsza galaktyka
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
8
Podsumowanie
na zakon’czenie omawiania praw zachowania
Za pomocą praw zachowania można uzyskać szereg
ważnych danych dotyczących zjawiska, bez konieczności
rozwiązywania równań ruchu.
Nie zależą one od charakteru występujących oddziaływań.
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK,
2009/10
9
SZCZEGÓLNA TEORIA
WZGLĘDNOŚCI CD.
11. Dynamika relatywistyczna
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
10
11.1. Pęd relatywistyczny
Symulacja efektu zderzenia
cząstek w LHC.
W mechanice klasycznej obserwatorzy w różnych inercjalnych
układach odniesienia obserwując zderzenie dwóch cząstek
wprawdzie zmierzą różne ich prędkości, ale każdy stwierdzi,
że jeśli na cząstki nie działają siły zewnętrzne, to pęd układu
jest zachowany.
W LHC protony będą rozpędzane do prędkości
relatywistycznych i poddawane zderzeniom.
Jeszcze w tym roku ma zostać podjęta
ponowna próba uruchomienia największego
na świecie akceleratora cząstek elementarnych,
tzw. Wielkiego Zderzacza Hadronów (LHC)
w CERN w pobliżu Genewy.
Czy przy takich prędkościach spełnione
jest prawo zachowania pędu?
Aby podczas zderzeń cząstek relatywistycznych pęd był
zachowany, należy zmienić jego definicję.
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
11
.
1
2
2
v
v
v
m
c
m
p
m
to
masa spoczynkowa cząstki
, tj.
zmierzona dla cząstki znajdującej się
w spoczynku.
Wprowadza się pojęcie
masy relatywistycznej:
m
rel
= m
.
v
rel
m
p
1
1
0,5
p
rel
=m
v
mc
p
c
v
v
m
p
klas
v
m
p
klas
v
0
Przy takiej definicji u prawo zachowania pędu jest spełnione.
Dla v<< c wzór przechodzi w definicję klasyczną:
Pęd w dynamice relatywistycznej definiujemy wzorem:
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
12
11.2. Uogólnienie drugiej zasady dynamiki
Przypomnijmy, że najbardziej ogólna postać drugiej zasady
dynamiki Newtona wyrażona jest poprzez zmianę pędu w czasie:
F
t
d
p
d
Doświadczenia potwierdzają słuszność tak sformułowanej zasady
dynamiki również w przypadkach relatywistycznych, pod warunkiem,
że występujący w niej pęd jest zdefiniowany wzorem :
.
1
2
2
F
c
m
t
d
d
v
v
Ponieważ relatywistyczny pęd nie jest wprost proporcjonalny do
prędkości, szybkość zmiany pędu w czasie nie jest wprost
proporcjonalna do przyspieszenia ( jak w przypadkach klasycznych):
,
)
(
t
d
d
m
a
m
t
d
d
m
t
d
d
m
m
t
d
d
v
v
v
v
W konsekwencji
stała siła nie powoduje stałego przyspieszenia
, a
w ogólnym przypadku przyspieszenie nie jest równoległe do siły
wypadkowej .
B. Oleś
13
Relatywistyczne pędy cząstki elementarne (elektron, proton)
osiągają w akceleratorach liniowych, przyspieszane polem
elektrycznym:
,
d
d
rel
q
t
p
gdzie - natężenie pola elektrycznego, a prędkość
początkowa równa zeru.
,
t
q
p
rel
3
m
q
a
Mamy tu do czynienia z przypadkiem siły równoległej
do prędkości, w którym przyspieszenie cząstki:
Wykład 6 Wydz.Chemii PK,
2009/10
Liniowy akcelerator w Stanford 3,2 km długości.
Dla elektronów poruszających się z prędkością
0,9999995c jego długość wynosi tylko 3,2 metra!
Służy do badania zderzeń wysoko-energetycznych
elektronów z atomami tarczy.
Widzimy, że w miarę wzrostu prędkości cząstki przyspieszenie wywołane
przez stałą siłę maleje! W konsekwencji cząstka o niezerowej masie
spoczynkowej nie może osiągnąć szybkości równej szybkości światła c.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c
3/Aps_linear_accelerator.jpg
http://www.daviddarling.info/images/SLAC_Linear_Collider.gif
Klasyczne podejście do zagadnienia ruchu cząstki pod wpływem
stałej siły nie narzuca żadnego ograniczenia – po dostateczni
długim czasie cząstka może uzyskać dowolną prędkość.
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
14
Podczas przyspieszania cząstek w akceleratorach kołowych, tory cząstek są zakrzywiane
polem magnetycznym, a pole elektryczne odpowiedzialne jest za wzrost prędkości.
Akcelerator w CERN-ie o obwodzie 27
km. Znajduje się w tunelu na głębokości
około 100 m.
Magnes nadprzewodzący.
www.cancercareyorkcounty.org/services.htm
Akceleratory znalazły zastosowanie do walki z rakiem.
Są źródłami promieniowania x, , protonów, neutronów
lub ciężkich jonów, stosowanych w diagnostyce
medycznej i terapii.
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
15
11.3. Energia relatywistyczna
Wiemy, że praca sił zmieniających prędkości cząstki jest równa przyrostowi jej
energii kinetycznej. Obliczając pracę wykonaną przez siłę rozpędzającą cząstkę
ze stanu spoczynku do relatywistycznej prędkości v znajdujemy
relatywistyczną energię kinetyczną
:
v
0
W
E
k
.
)
/
(
1
2
2
2
2
2
mc
mc
mc
c
mc
E
k
v
2
0
c
m
E
Wyrażenie
mc
2
to
energia spoczynkowa
, którą cząstka posiada będąc
w spoczynku:
Oznacza to, że każdej masie bezwładnej odpowiada
ściśle określona energia.
Całkowita energia
cząstki swobodnej będącej w ruchu jest sumą jej
energii kinetycznej i spoczynkowej:
,
2
mc
E
E
k
.
)
/
(
1
2
2
2
mc
c
mc
E
v
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
16
0
v
2
2
1
v
m
E
k
1
0,5
0,5
2
mc
E
k
c
v
klas
relat
.
4
2
2
2
2
c
m
c
p
E
2. Dla
v<< c
wzór relatywistyczny
na E
k
przechodzi w klasyczny:
Zapamiętaj, że
1. Energia relatywistyczna zawsze
dodatnia i ściśle określona.
3. Całkowita energia układu izolowanego
jest zachowywana (w danym układzie inercjalnym).
2
mc
E
4. Zależność między całkowitą energią a pędem dana jest wzorem:
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
17
11.4. Równoważność masy i energii
.
2
rel
c
m
E
Powróćmy do zrewidowanej zasady zachowania energii:
całkowita energia układu izolowanego nie ulega zmianie
.
Jeśli zatem zmaleje sumaryczna energia spoczynkowa takiego
układu cząstek, musi się pojawić energia w jakiejś innej postaci.
Z takimi sytuacjami mamy do czynienia podczas reakcji chemicznych lub
jądrowych
:
E
c
m
c
m
koń
pocz
2
2
gdzie E to energia reakcji powstała kosztem zmiany masy:
W gwiazdach
reakcja syntezy
, w której
dwa jądra wodoru łączą się w jedno jądro
wyzwala olbrzymie ilości energii powstałej
kosztem masy nowego jądra.
Niewielkie ilości materii mogą zamieniać
się w wielkie ilości energii!
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
18
Masa jądra atomowego jest mniejsza niż suma mas protonów i
neutronów o wielkość
E
b
/
c
2
, gdzie
E
b
jest energią wiązania jądra.
energia spoczynkowa protonu
p
: 938,272 MeV
energia spoczynkowa neutronu
n
: 939,565 MeV
energia spoczynkowa jądra deuteru
2
H: 187
5,613
MeV
suma energii spoczynkowych
p
i
n
: = 187
7,837
MeV
1 u
(atomowa jednostka masy)
= 1,66054 10
27
kg =
= 931,5 MeV /c
2
Energia wiązania jądra deuteru
E
b
=
2,22 MeV
Przykład
Obliczmy energię wiązania jądra deuteru (izotopu wodoru).
p
n
Energię kinetyczną elektronów, protonów, itd.
podaje się zwykle w
elektronowoltach
:
1 eV=1,60 10
19
J
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
19
II. DRGANIA I ZJAWISKA FALOWE
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
20
1. Drgania harmoniczne proste
Często drgania występujące w technice odgrywają
negatywną
rolę
, np. wibracje skrzydeł samolotu, drgania mostów.
Z drganiami mamy do czynienia w elektrycznej szczoteczce
do zębów, w zegarkach kwarcowych, w implantach usznych.
Ruch drgający to również ruch
wahadła (tu: wahadło Foucaulta)
Drganiami nazywamy zjawiska, które powtarzają się.
Możemy wyróżnić drgania mechaniczne, np. ruch
wahadła, drgania struny, drgania elektro-magnetyczne
w obwodach zawierających indukcyjność i pojemność
i in.
B. Oleś Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
21
Jeśli drgania zachodzą w układzie izolowanym, po uprzednim
wyprowadzeniu układu z położenia równowagi, nazywamy je
swobodnymi
(
własnymi
).
Drgania zachodzące pod wpływem zewnętrznej, periodycznej
siły wymuszającej nazywamy
wymuszonym
i.
Zajmiemy się drganiami :
mechanicznymi,
okresowymi, w których czas powtarzalności jest stały, a
najmniejszy odstęp czasu, po którym ruch się powtarza nosi
nazwę okresu drgań T (1/T=f – częstotliwość).
harmonicznymi (prostymi), w których wielkość
charakteryzująca ruch zmienia się sinusoidalnie lub
cosinusoidalnie w czasie.
x
t
T
f
t
f
x
t
x
m
/
1
,
)
π
2
sin(
)
(
T
m
x
t
f
π
2
- faza
f
π
2
- częstość kołowa
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
22
Ciała (lub układy) wykonujące drgania nazywamy
oscylatorami
(
oscylatorami harmonicznymi
, jeśli wykonują
drgania harmoniczne).
x
E
p
2
0
2
1
0
)
(
)
(
x
x
k
x
E
p
Położeniom
równowagi
oscylatora
odpowiadają minima energii potencjalnej E
p
.
Wychyleniu x z położenia równowagi towarzyszy
pojawienie się siły przywracającej równowagę:
.
d
d
)
(
i
x
E
x
F
p
.
)
,
,
(
grad
z
y
x
E
F
p
(Z ogólnego wzoru: )
Po przejściu przez stan równowagi oscylator kontynuuje dalej
ruch z powodu swej bezwładności (ruch opóźniony) i następuje
wychylenie w przeciwną stronę.
Jeśli dla małych wychyleń
możemy aproksymować
krzywą zależności E
p
od
wartości wychylenia
parabolą, to siła ma postać:
(
siła kwasisprężysta
)
.
r
k
F
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
23
Rozważmy jako przykład oscylatora mechanicznego ciężarek
o masie
m
zawieszony na sprężynie o znikomej masie.
s
F
x
0
g
m
l
0
+
l
0
W położeniu równowagi (sprężyna wydłużona o
l
0
) siły: sprężystości i ciężkości równoważą się:
0
0
i
l
k
g
m
Po wychyleniu o x z położenia równowagi:
i
kx
i
x
l
k
g
m
F
wyp
)
(
0
Równanie ruchu
:
,
d
d
2
2
r
k
t
r
m
,
d
d
2
2
x
k
t
x
m
,
0
d
d
2
0
2
2
x
t
x
Równanie jednowymiarowego oscylatora harmonicznego nietłumionego:
ma rozwiązanie postaci:
m
k /
2
0
),
sin(
)
(
0
t
x
t
x
m
- faza początkowa,
m
x
amplituda drgań są
wyznaczane z warunków początkowych
.
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
24
),
sin(
)
(
0
t
x
t
x
m
m/k
T
π
2
/
π
2
0
t
T
Okres drgań:
Prędkość:
),
2
/
π
sin(
)
cos(
d
d
0
0
0
0
t
x
t
x
t
x
m
m
v
(wyprzedza w fazie x o /2)
Przyspieszenie:
),
π
sin(
)
sin(
d
d
0
2
0
0
2
0
t
x
t
x
t
m
m
v
a
.
/
)
(
tg
,
)
/
(
0
0
0
2
0
2
0
2
0
v
v
x
x
x
m
Z warunków początkowych (t=0,
, ) możemy obliczyć:
0
)
0
(
v
v
0
)
0
(
x
x
Jak wcześniej sprawdziliśmy,
energia mechaniczna oscylatora
harmonicznego jest zachowywana.
B. Oleś Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
25
3. Drgania tłumione
Na ruch realnego oscylatora harmonicznego mają
zawsze wpływ siły oporu ruchu.
Ogólnie możemy te siły zapisać:
v
v
v
)
(
op
f
F
Zbadajmy ruch tłumiony
tarciem wiskotycznym
(lepkość)
, występującym przy niezbyt dużych
szybkościach i ruchu ciał w cieczach, gazach.
.
v
b
F
op
b – stały współczynnik,
proporcjonalny do współczynnika
lepkości
Energia oscylatora tłumionego ulega nieodwra-
calnemu rozproszeniu w postaci ciepła. Są to
zatem
siły dyssypatywne
.
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
26
Równanie ruchu jednowymiarowego
oscylatora tłumionego
:
v.
b
kx
dt
x
d
m
2
2
Przy niezbyt silnym tłumieniu (
0
> ) rozwiązanie
ma postać:
,
)
sin( t
e
x
x
t
m
Obliczając:
....,
)]
sin(
[
....
)]
sin(
[
2
2
t
e
x
dt
d
t
e
x
dt
d
t
m
t
m
I wstawiając do równania z dostaniemy:
,
0
2
2
0
2
2
x
dt
dx
dt
x
d
współczynnik tłumienia,
m
b
2
m
k /
0
częstość drgań własnych
.
2
2
0
t
m
e
x
t
x
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
27
Tłumienie powoduje wzrost okresu drgań:
2
2
0
π
2
T
Kolejne maksymalne wychylenia, „amplitudy”, przyjmują wartości
określone ciągiem geometrycznym:
,
1
t
m
e
x
A
...
,
1
)
(
2
T
T
t
m
e
A
e
x
A
Dekrement tłumienia
:
.
)
(
)
(
T
e
T
t
A
t
A
,
)
(
)
(
ln
T
T
t
A
t
A
Logarytmiczny dekrement tłumienia
:
charakteryzuje drgający układ. Jego znajomość pozwala
wyznaczyć współczynnik tłumienia .
Czas, po którym amplituda A zmaleje
e-krotnie nazywamy
czasem relaksacji
:
1
,
)
(
)
(
e
e
t
A
t
A
A
1
A
2
A
3
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
28
Energia oscylatora tłumionego ulega rozproszeniu w postaci ciepła.
Szybkość zmiany energii oscylatora w czasie:
v,
v
v
dt
d
m
kx
m
kx
dt
d
dt
dE
)
(
2
2
1
2
2
1
.
2
v
b
dt
dE
Pochodna energii jest równa
mocy traconej na opory ruchu.
ale
,
x
k
x
dt
d
b
x
dt
d
m
2
2
0
)
0
(
0
)
0
(
0
)
0
(
v
v
v
Słabe tłumienie:
ruch periodyczny
)
sin( t
e
x
x
t
m
t
x
Moc chwilowa jest zdefiniowana jako
praca wykonana w jednostce czasu
:
Jeśli tłumienie jest silne,
0
< mamy do
czynienia z
ruchem aperiodycznym
.
t
d
W
d
P
.
v
v
v
b
F
t
d
r
d
F
t
d
r
d
F
P
Moc związana z siłami oporu
:
B. Oleś
Wykład 6 Wydz.Chemii PK, 2009/10
29
Szkodliwe dla konstrukcji drgania należy wytłumić, tak
jak w przypadku drgań konstrukcji budowli wywołanych
przez fale sejsmiczne. Służą temu amortyzatory
sejsmiczne.