1

Wykład 13.

Elektryczność i magnetyzm. Prąd elektryczny

1. Energia pola elektrycznego

Pole elektryczne zawiera w sobie energię. Łatwo to wykazać na podstawie
poprzednich rozważań. Ładunek q umieszczony w miejscu o potencjale

)

(r

r

φ

posada energię potencjalną równą

)

(

)

(

r

q

r

U

φ

=

. Praca niezbędna do

przemieszczenia ładunku między dwoma punktami o różnicy potencjałów

)

(r

φ

∆

jest równa:

))

(

)

(

(

)

(

2

1

2

1

r

r

q

q

r

r

W

φ

φ

φ

−

=

∆

=

→

(1.1),

Przypadek dwóch ładunków jest prosty. Można uogólnić to na przypadek N
ładunków punktowych, każdy q

i

umieszczony w punkcie r

i

. Energia potencjalna

takiego układu ładunków jest równa:

∑

=

N

i

i

i

r

V

q

U

)

(

2

1

(1.2).

gdzie potencjał oznaczam tutaj konwencjonalnie przez

)

(

)

(

r

r

V

φ

=

. Czynnik ½

występuj we wzorze 1.2, ponieważ dwukrotnie sumujemy po każdym ładunku.
W przypadku, gdy ładunków jest bardzo dużo, gdy mamy ciągły a nie dyskretny
rozkład ładunków, energia potencjalna jest określona przez zależność:

∫

=

r

d

r

V

r

U

3

)

(

)

(

2

1

ρ

(1.3),

gdzie

)

(r

ρ

to gęstość ładunku, V(r) – potencjał pola elektrycznego w punkcie r,

a całkowanie odbywa się po całej przestrzeni.
Korzystając z prawa Gaussa:

ε

ρ

)

(r

E

E

div

=

∇

=

r

r

(1.4),

można wykazać, że energia potencjalna ciągłego układu ładunków wynosi:

∫

=

r

d

E

U

3

2

2

1

r

ε

(1.5),

2

przypominam – całkujemy po całej przestrzeni.
Wielkość występującą pod całką nazywamy gęstością energii pola
elektrycznego (energia na jednostkę objętości):

2

2

1

E

w

r

ε

=

(1.5).

2. Prąd elektryczny

W pewnej grupie materiałów, zwanych przewodnikami, przyłożone pole
elektryczne wywołuje przepływ elektronów, zgodnie z różnicą potencjałów
(przyłożonym napięciem). Zjawisko to opisuje prawo Ohma:

R

I

U

⋅

=

(2.1).

U – napięcie (różnica potencjałów) [V - volt], I – natężenie prądu [A - amper],
R – stała, opór w jednostkach [Ω - ohm]

Przykład
Układ zmiennoprądowy z kondensatorem. Schemat układu pokazuje rysunek.
Ź

ródło jest zmiennoprądowe

Odpowiedź układy (opornika, rezystora) jest następująca:

3

Napięcie i natężenie prądu płynącego obwodzie są zgodne w fazie. Zwiążek
między napięciem a natężeniem prądu podaje prawo Ohma:

Z

U

I

=

gdzie Z – impedancja równa oporowi (rezystancji):

R

Z

=

Impedancja (opór) dla tego obwodu jest stały, nie zależy od kierunku prądu ani
od częstości prądu (napięcia)!


Prąd elektryczny – uporządkowany ruch ładunków. Definiujemy go poprzez
wielkość zwaną natężeniem prądu elektrycznego, który jest równa:

dt

dQ

I

=

(2.2),

zmiana w czasie ładunku przepływającego przez powierzchnię prostopadłą do
przewodnika. W przypadku, gdy płynący prąd jest stały równanie 2.2 sprowadza
się do prostego ilorazu:

t

Q

I

=

(2.3),

natężenie prądu jest równe ilorazowi ładunku elektrycznego, jaki przepłynął
przez powierzchnię, do czasu przepływu. W układzie SI jednostki są następujące:

s

C

A

1

1

=

(2.4),

Równania 2.2 i 2.3 opisują prąd elektryczny makroskopowo, jest to prąd
przepływający przez cały przekrój porzeczny przewodnika. Mikroskopowo
opiszemy prąd definiując wektor gęstości prądu:

dS

I

d

j

r

r

=

(2.4a),

w jednostkach [A/m

2

]. Natężenie prądu jest wektorem o wartości określonej

równaniem 2.3 (lub 2.4) a o zwrocie (i kierunku) płynącego prądu Historycznie
rzecz ujmując, kierunek prądu wyznacza ruch dodatnich ładunków. W metalach,

4

jak miedź, aluminium, złoto, dodatnie jonu są nieruchome, a w przepływie
prądu biorą udział tylko ujemnie naładowane elektrony (płynąc w przeciwnym
kierunku). W wielu materiałach obserwujemy jednoczesny ruch dodatnich i
ujemnych ładunków np.: elektrolity. Prąd w plaźmie to przepływ elektronów
oraz dodatnich i ujemnych jonów. Są materiały, półprzewodniki typu p, w
których prąd jest dobrze opisać jako ruch dodatnio naładowanych elektronów,
tzw. „dziur” („holes”).

Prąd elektryczny w przewodniku, opisany prawem Ohma zmienia się, gdy
zmienia się temperatura przewodnika. Dzieje się tak dlatego, iż opór R, nie jest
stały, ale w istocie zmienia się liniowo w funkcji temperatury:

))

(

1

(

)

(

0

0

T

T

R

T

R

−

+

=

α

,

(2.5),

gdzie R

0

to opór materiału w temperaturze T

0

. Należy pamiętać, że zależność 2.5

jest tylko przybliżona i ma ograniczony zakres stosowalności dla przewodników
jednorodnych, izotropowych i przy niewielkich wahaniach temperatur.
Dla przewodnika o długości l, przekroju poprzecznym S, jego opór R będzie
równy:

S

l

R

ρ

=

,

(2.6),

gdzie ρ to opór właściwy [Ω m] wartość charakterystyczna materiału, z którego
wykonano przewodnik.
Ze względu na opór właściwy materiały dzielimy na przewodniki,
półprzewodniki i izolatory.Wartość oporu właściwego dla kilku materiałów
przedstawia tabela.

Tabela. Oporność właściwa niektórych materiałów

ρ

[Ω m]

miedź (Cu)

1.68 x 10

-8

aluminium (Al)

2.65 x 10

-8

german (Ge)*

1 – 500 x 10

-3

węgiel, grafit (C)*

3 – 60 x 10

-5

krzem (Si)*

0.1 - 60 x 10

-3

szkła

1 – 10000 x 10

9

kwarc (SiO

2

)

7.5 x 10

17

* - opór właściwy półprzewodników silnie zależy od obecności i koncentracji
domieszek. Własność wykorzystywana w fizyce ciała stałego i przemyśle
półprzewodnikowym

5

Warto zwrócić uwagę, że oporność właściwa dla przewodnika i izolatora różnią
się między sobą o 24 rzędy wielkości! Czy istnieją materiały, których opór jest
równy zero?
Tak. Istnieją materiały, które nie mając oporu! Zjawisko nadprzewodnictwa.
Nadprzewodniki wysokotemperaturowe.

Wprowadzają przewodność właściwą, jako odwrotność oporu właściwego

ρ

σ

1

=

, oraz pamiętając, że U = El, zaś gęstość prądu j=I/S otrzymamy

zależność:

E

j

r

r

⋅

=

σ

,

(2.7),

lub

j

E

r

r

⋅

=

ρ

,

(2.7a).

Jest to różniczkowa (mikroskopowa) postać prawa Ohma. Mówi ona, że gęstość
prądu (pole elektryczne) jest proporcjonalna do pola elektrycznego (gęstości
prądu) a współczynnikiem proporcjonalności jest opór (przewodność) właściwy.
W materiałach anizotropowych zarówno

σ

jak i

ρ

są tensorami (macierzami).

2.1 Praca i moc prądu

Opornik o oporze R przekształca energię elektryczną na ciepło. Praca wykonana
przy przesunięciu ładunku dq przy napięci U wynosi:

dt

I

U

dq

U

dW

⋅

=

⋅

=

,

(2.8).

Całkowita praca wykonana w czasie t będzie równa:

t

I

U

dt

I

U

dW

W

t

t

⋅

⋅

=

⋅

=

=

∫

∫

0

0

,

(2.9).

Praca ta zamienia się w ciepło. Jest to ciepło Joula – Lentza. Moc prądu wynosi:

I

U

dt

dW

P

⋅

=

=

,

(2.9).

6

Jednostką pracy (ciepła) jest 1J (Joul), jednostką mocy jest Wat (kilowat kW,
gigawat GW), 1 W= 1 J/s = 1 V A.


2.2 Użyteczne prawa i zależności

Zazwyczaj mamy do czynienia z mniej lub bardziej skomplikowaną siecią
elementów elektrycznych (oporników i innych). Do obliczeń sieci użyteczne są
dwa prawa Kirchoffa.

I prawo Kirchoffa:

∑

=

N

i

i

I

0

(2.2.1),

suma prądow wpływających i wypływających z węzła sieci jest równa zero.

II prawo Kirchoffa:

0

=

⋅

+

∑

∑

i

i

i

R

I

ε

(2.2.2),

W oczku sieci suma sił elektromotorycznych i spadków napięć jest równa zero
(zasada zachowania energii)
Związek między siłą elektromotoryczną źródła prądu a napięciem U i
natężeniem I jest następujący

w

R

I

U

⋅

−

=

ε

(2.2.3),

gdzie R

w

– opór wewnętrzny źródła.

W wielu sieciach mamy do czynienia z wieloma opornikami połączonymi
równolegle lub (i) szeregowo. Często musimy znaleźć oporność zastępczą
układu

szeregowo

lub

równolegle

połączonych

oporników.

Łączenie szeregowe oporników

Opór zastępczy układu N szeregowo połączonych oporników jest równy:

∑

=

N

i

i

R

R

(2.2.4),

Łączenie równolegle oporników

7

Opór zastępczy układu N równolegle połączonych oporników jest równy:

∑

=

N

i

i

R

R

1

1

(2.2.5),

3. Kondensatory

Najprostszy przykład kondensatora – przykład kondensatora płaskiego pokazuje
rys. 3.1

Rys. 3.1 Kondensator płaski

Podłączona bateria transportuje ładunki z jednej płyty kondensatora na drugą,
dopóki napięcie między płytami kondensatora nie zrówna się z napięciem baterii.
Parametr charakteryzujący kondensator to pojemność kondensatora:

U

Q

C

=

(2.2.5),

Jednostki 1 F – Farad = 1 Coulomb/ V

Kondensatory magazynują energię w postaci pola elektrycznego. Praca przy
umieszczeniu ładunku dq na kondensatorze o napięciu U wynosi:

dU

CU

dq

U

dW

=

=

(2.2.6),

Dlatego energia naładowania kondensatora o pojemności C i napięciu U jest
równa:

8

C

Q

QU

CU

dU

U

C

E

U

2

2

1

2

1

2

2

0

=

=

=

=

∫

(2.2.7),

Energia kondensatora jest równa pracy wykonanej przy ładowaniu kondensatora.

Przykład:
1. Kondensator płaski (rys. 3.1) o powierzchni okładek S, odległych o d,
wypełniony dielektrykiem dielektrykiem

ε

ma pojemność:

d

S

C

ε

ε

0

=

(2.2.5),

2. Kondensator kulisty (rys. 3.1) o promieniach R

1

i R

2

, wypełniony

dielektrykiem dielektrykiem

ε

ma pojemność:

2

1

2

1

0

4

R

R

R

R

C

−

=

ε

πε

(2.2.5),

Łączenie równoległe kondensatorów:

Pojemność zastępcza układu N równolegle połączonych kondensatorów jest
równa:

∑

=

N

i

i

C

C

(2.2.4),

Łączenie szeregowe oporników

Opór zastępczy układu N szeregowo połączonych oporników jest równy:

∑

=

N

i

i

C

C

1

1

(2.2.5),

9

3.1 Układ z kondensatorem

Rozpatrzmy układ składający się ze źródła (zmienne napięcie) i kondensatora
(patrz rysunek).

Odpowiedź kondensatora jest następująca:

Napięcie jest przesunięte w fazie o 90

0

w stosunku do natężeni prądu. Związek

między napięciem a natężeniem prądu jest następujący:

C

X

U

I

=

(2.1).

gdzie X

C

– impedancja równa:

C

X

C

ω

1

=

(2.1).

Dla tego obwodu impedancja jest funkcją częstości, nie jest stała!