1 

Wykład 13. 

Elektryczność i magnetyzm. Prąd elektryczny 
 
1. Energia pola elektrycznego 
 
Pole  elektryczne  zawiera  w  sobie  energię.  Łatwo  to  wykazać  na  podstawie 
poprzednich  rozwaŜań.  Ładunek  q  umieszczony  w  miejscu  o  potencjale 

)

(r

r

φ

 

posada  energię  potencjalną  równą 

)

(

)

(

r

q

r

U

φ

=

.  Praca  niezbędna  do 

przemieszczenia  ładunku  między  dwoma  punktami  o  róŜnicy  potencjałów 

)

(r

φ

∆

 jest równa: 

 

))

(

)

(

(

)

(

2

1

2

1

r

r

q

q

r

r

W

φ

φ

φ

−

=

∆

=

→

 

(1.1), 

 
Przypadek  dwóch  ładunków  jest  prosty.  MoŜna  uogólnić  to  na  przypadek  N 
ładunków punktowych, kaŜdy q

i

 umieszczony w punkcie r

i

. Energia potencjalna 

takiego układu ładunków jest równa: 
 

∑

=

N

i

i

i

r

V

q

U

)

(

2

1

 

(1.2). 

 
gdzie  potencjał  oznaczam  tutaj  konwencjonalnie  przez 

)

(

)

(

r

r

V

φ

=

.  Czynnik  ½ 

występuj we wzorze 1.2, poniewaŜ dwukrotnie sumujemy po kaŜdym ładunku.  
W przypadku, gdy ładunków jest bardzo duŜo, gdy mamy ciągły a nie dyskretny 
rozkład ładunków, energia potencjalna jest określona przez zaleŜność: 
 

∫

=

r

d

r

V

r

U

3

)

(

)

(

2

1

ρ

 

(1.3), 

 
gdzie 

)

(r

ρ

to gęstość ładunku, V(r) – potencjał pola elektrycznego w punkcie r, 

a całkowanie odbywa się po całej przestrzeni.  
Korzystając z prawa Gaussa: 
 

ε

ρ

)

(r

E

E

div

=

∇

=

r

r

 

(1.4), 

 

moŜna wykazać, Ŝe energia potencjalna ciągłego układu ładunków wynosi: 
 

∫

=

r

d

E

U

3

2

2

1

r

ε

 

(1.5), 

 

 

2 

przypominam – całkujemy po całej przestrzeni.  
Wielkość  występującą  pod  całką  nazywamy  gęstością  energii  pola 
elektrycznego (energia na jednostkę objętości): 
 

2

2

1

E

w

r

ε

=

 

(1.5). 

 
2. Prąd elektryczny 
 
W  pewnej  grupie  materiałów,  zwanych  przewodnikami,  przyłoŜone  pole 
elektryczne  wywołuje  przepływ  elektronów,  zgodnie  z  róŜnicą  potencjałów 
(przyłoŜonym napięciem). Zjawisko to opisuje prawo Ohma: 
 

R

I

U

⋅

=

 

(2.1). 

 
U – napięcie (róŜnica potencjałów) [V - volt], I – natęŜenie prądu [A - amper], 
R – stała, opór w jednostkach [Ω - ohm] 
 
Przykład  
Układ zmiennoprądowy z kondensatorem. Schemat układu pokazuje rysunek. 
Ź

ródło jest zmiennoprądowe 

 

 

 
Odpowiedź układy (opornika, rezystora) jest następująca: 
 

 

 

3 

Napięcie  i  natęŜenie  prądu  płynącego    obwodzie  są  zgodne  w  fazie.  ZwiąŜek 
między napięciem a natęŜeniem prądu podaje prawo Ohma: 
 

Z

U

I

=

 

 

 
gdzie Z – impedancja równa oporowi (rezystancji): 
 

R

Z

=

 

 

 

Impedancja (opór) dla tego obwodu jest stały, nie zaleŜy od kierunku prądu ani 
od częstości prądu (napięcia)! 
 
 
Prąd  elektryczny  –  uporządkowany  ruch  ładunków.  Definiujemy  go  poprzez 
wielkość zwaną natęŜeniem prądu elektrycznego, który jest równa: 
 

dt

dQ

I

=

 

(2.2), 

 
zmiana  w  czasie  ładunku  przepływającego  przez  powierzchnię  prostopadłą  do 
przewodnika. W przypadku, gdy płynący prąd jest stały równanie 2.2 sprowadza 
się do prostego ilorazu: 
 

t

Q

I

=

 

(2.3), 

 
natęŜenie  prądu  jest  równe  ilorazowi  ładunku  elektrycznego,  jaki  przepłynął 
przez powierzchnię, do czasu przepływu. W układzie SI jednostki są następujące: 
 

s

C

A

1

1

=

 

(2.4), 

 

Równania  2.2  i  2.3  opisują  prąd  elektryczny  makroskopowo,  jest  to  prąd 
przepływający  przez  cały  przekrój  porzeczny  przewodnika.  Mikroskopowo 
opiszemy prąd definiując wektor gęstości prądu: 
 

dS

I

d

j

r

r

=

 

(2.4a), 

w  jednostkach  [A/m

2

].  NatęŜenie  prądu  jest  wektorem  o  wartości  określonej 

równaniem 2.3 (lub 2.4) a o zwrocie (i kierunku) płynącego prądu Historycznie 
rzecz ujmując, kierunek prądu wyznacza ruch dodatnich ładunków. W metalach, 

 

4 

jak  miedź,  aluminium,  złoto,  dodatnie  jonu  są  nieruchome,  a  w  przepływie 
prądu  biorą  udział  tylko  ujemnie  naładowane  elektrony  (płynąc  w  przeciwnym 
kierunku).  W  wielu  materiałach  obserwujemy  jednoczesny  ruch  dodatnich  i 
ujemnych  ładunków  np.:  elektrolity.  Prąd  w  plaźmie  to  przepływ  elektronów 
oraz  dodatnich  i  ujemnych  jonów.  Są  materiały,  półprzewodniki  typu  p,  w 
których  prąd  jest  dobrze  opisać  jako  ruch  dodatnio  naładowanych  elektronów, 
tzw. „dziur” („holes”). 
  
Prąd  elektryczny  w  przewodniku,  opisany  prawem  Ohma  zmienia  się,  gdy 
zmienia się temperatura przewodnika. Dzieje się tak dlatego, iŜ opór R, nie jest 
stały, ale w istocie zmienia się liniowo w funkcji temperatury: 
 

))

(

1

(

)

(

0

0

T

T

R

T

R

−

+

=

α

,  

(2.5), 

 
gdzie R

0

 to opór materiału w temperaturze T

0

. NaleŜy pamiętać, Ŝe zaleŜność 2.5 

jest tylko przybliŜona i ma ograniczony zakres stosowalności dla przewodników 
jednorodnych, izotropowych i przy niewielkich wahaniach temperatur.  
Dla  przewodnika  o  długości  l,  przekroju  poprzecznym  S,  jego  opór  R  będzie 
równy: 
 

S

l

R

ρ

=

,  

(2.6), 

 
gdzie ρ to opór właściwy [Ω m] wartość charakterystyczna materiału, z którego 
wykonano przewodnik. 
Ze  względu  na  opór  właściwy  materiały  dzielimy  na  przewodniki, 
półprzewodniki  i  izolatory.Wartość  oporu  właściwego  dla  kilku  materiałów 
przedstawia tabela.  
   
Tabela. Oporność właściwa niektórych materiałów 

 

ρ

 [Ω m] 

miedź (Cu) 

1.68 x 10

-8 

aluminium (Al) 

2.65 x 10

-8

 

german (Ge)* 

1 – 500 x 10

-3

 

węgiel, grafit (C)* 

3 – 60 x 10

-5

 

krzem (Si)* 

0.1 - 60 x 10

-3

 

szkła 

1 – 10000 x 10

9

 

kwarc (SiO

2

) 

7.5 x 10

17

 

 

* - opór właściwy półprzewodników silnie zaleŜy od obecności i koncentracji 
domieszek.  Własność  wykorzystywana  w  fizyce  ciała  stałego  i  przemyśle 
półprzewodnikowym 

 

5 

 
Warto zwrócić uwagę, Ŝe oporność właściwa dla przewodnika i izolatora róŜnią 
się między sobą o 24 rzędy wielkości! Czy istnieją materiały, których opór jest 
równy zero? 
Tak.  Istnieją  materiały,  które  nie  mając  oporu!  Zjawisko  nadprzewodnictwa. 
Nadprzewodniki wysokotemperaturowe.  
 
Wprowadzają  przewodność  właściwą,  jako  odwrotność  oporu  właściwego 

ρ

σ

1

=

,  oraz  pamiętając,  Ŝe  U  =  El,  zaś  gęstość  prądu  j=I/S  otrzymamy 

zaleŜność: 
 

E

j

r

r

⋅

=

σ

,  

(2.7), 

lub 
 

j

E

r

r

⋅

=

ρ

,  

(2.7a). 

 
Jest to róŜniczkowa (mikroskopowa) postać prawa Ohma. Mówi ona, Ŝe gęstość 
prądu  (pole  elektryczne)  jest  proporcjonalna  do  pola  elektrycznego  (gęstości 
prądu) a współczynnikiem proporcjonalności jest opór (przewodność) właściwy.  
W materiałach anizotropowych zarówno 

σ

 jak i 

ρ

są tensorami (macierzami). 

 
2.1 Praca i moc prądu 
 
Opornik o oporze R przekształca energię elektryczną na ciepło. Praca wykonana 
przy przesunięciu ładunku dq przy napięci U wynosi: 
 

dt

I

U

dq

U

dW

⋅

=

⋅

=

,  

(2.8). 

 
Całkowita praca wykonana w czasie t będzie równa: 
 

t

I

U

dt

I

U

dW

W

t

t

⋅

⋅

=

⋅

=

=

∫

∫

0

0

,  

(2.9). 

 
Praca ta zamienia się w ciepło. Jest to ciepło Joula – Lentza. Moc prądu wynosi: 
 

I

U

dt

dW

P

⋅

=

=

,  

(2.9). 

 
 

 

6 

Jednostką  pracy  (ciepła)  jest  1J  (Joul),  jednostką  mocy  jest  Wat  (kilowat  kW, 
gigawat GW), 1 W= 1 J/s = 1 V A.  
 
 
2.2 UŜyteczne prawa i zaleŜności  
 
Zazwyczaj  mamy  do  czynienia  z  mniej  lub  bardziej  skomplikowaną  siecią 
elementów elektrycznych (oporników i innych). Do obliczeń sieci uŜyteczne są 
dwa prawa Kirchoffa.  
 
I prawo Kirchoffa: 
 

∑

=

N

i

i

I

0

 

(2.2.1), 

 
suma prądow wpływających i wypływających z węzła sieci jest równa zero.  
 
II prawo Kirchoffa: 
 

0

=

⋅

+

∑

∑

i

i

i

R

I

ε

 

(2.2.2), 

 
W oczku sieci suma sił elektromotorycznych i spadków napięć jest równa zero 
(zasada zachowania energii) 
Związek  między  siłą  elektromotoryczną  źródła  prądu  a  napięciem  U  i 
natęŜeniem I jest następujący 
 

w

R

I

U

⋅

−

=

ε

 

(2.2.3), 

 
gdzie R

w

 – opór wewnętrzny źródła.  

 
W  wielu  sieciach  mamy  do  czynienia  z  wieloma  opornikami  połączonymi 
równolegle  lub  (i)  szeregowo.  Często  musimy  znaleźć  oporność  zastępczą 
układu 

szeregowo 

lub 

równolegle 

połączonych 

oporników. 

 
Łączenie szeregowe oporników 
 
Opór zastępczy układu N szeregowo połączonych oporników jest równy: 
 

∑

=

N

i

i

R

R

 

(2.2.4), 

 

Łączenie równolegle oporników 

 

7 

 
Opór zastępczy układu N równolegle połączonych oporników jest równy: 
 

∑

=

N

i

i

R

R

1

1

 

(2.2.5), 

 
 
3. Kondensatory 
 
Najprostszy przykład kondensatora – przykład kondensatora płaskiego pokazuje 
rys. 3.1 
 
 

 

Rys. 3.1 Kondensator płaski 

 
Podłączona  bateria  transportuje  ładunki  z  jednej  płyty  kondensatora  na  drugą, 
dopóki napięcie między płytami kondensatora nie zrówna się z napięciem baterii.  
Parametr charakteryzujący kondensator to pojemność kondensatora: 
 

U

Q

C

=

 

(2.2.5), 

 
Jednostki 1 F – Farad = 1 Coulomb/ V 
 
Kondensatory  magazynują  energię  w  postaci  pola  elektrycznego.  Praca  przy 
umieszczeniu ładunku dq na kondensatorze o napięciu U wynosi: 
 

dU

CU

dq

U

dW

=

=

 

(2.2.6), 

 
Dlatego energia naładowania kondensatora o pojemności C i napięciu U jest 
równa: 
 
 
 

 

8 

C

Q

QU

CU

dU

U

C

E

U

2

2

1

2

1

2

2

0

=

=

=

=

∫

 

(2.2.7), 

 
Energia kondensatora jest równa pracy wykonanej przy ładowaniu kondensatora.  
 
Przykład: 
1.  Kondensator  płaski  (rys.  3.1)  o  powierzchni  okładek  S,  odległych  o  d, 
wypełniony dielektrykiem dielektrykiem 

ε

ma pojemność: 

 

d

S

C

ε

ε

0

=

 

(2.2.5), 

 
2.  Kondensator  kulisty  (rys.  3.1)  o  promieniach  R

1

  i  R

2

,  wypełniony 

dielektrykiem dielektrykiem 

ε

ma pojemność: 

 

2

1

2

1

0

4

R

R

R

R

C

−

=

ε

πε

 

(2.2.5), 

 
 
Łączenie równoległe kondensatorów: 
 

 

 
Pojemność  zastępcza  układu  N  równolegle  połączonych  kondensatorów  jest 
równa: 
 

∑

=

N

i

i

C

C

 

(2.2.4), 

 
Łączenie szeregowe oporników 
 

 

 
Opór zastępczy układu N szeregowo połączonych oporników jest równy: 
 

∑

=

N

i

i

C

C

1

1

 

(2.2.5), 

 

9 

 
 
3.1 Układ z kondensatorem 
 
Rozpatrzmy  układ  składający  się  ze  źródła  (zmienne  napięcie)  i  kondensatora 
(patrz rysunek).  
 

 

 
Odpowiedź kondensatora jest następująca: 
 

 

 
Napięcie jest przesunięte w fazie o 90

0

 w stosunku do natęŜeni prądu. Związek 

między napięciem a natęŜeniem prądu jest następujący: 
 

C

X

U

I

=

 

(2.1). 

 
gdzie X

C

 – impedancja równa: 

 

C

X

C

ω

1

=

 

(2.1). 

Dla tego obwodu impedancja jest funkcją częstości, nie jest stała!