Wykład 13.

Elektryczność i magnetyzm. Prąd elektryczny

1. Energia pola elektrycznego

Pole elektryczne zawiera w sobie energię. Łatwo to wykazać na podstawie r

poprzednich rozważań. Ładunek q umieszczony w miejscu o potencjale φ( r ) posada energię potencjalną równą U ( r) = qφ( r) . Praca niezbędna do przemieszczenia ładunku między dwoma punktami o różnicy potencjałów φ

∆ ( r) jest równa:

W ( r → r ) = q φ

∆ = q(φ( r ) −φ( r ))

(1.1),

1

2

1

2

Przypadek dwóch ładunków jest prosty. Można uogólnić to na przypadek N

ładunków punktowych, każdy qi umieszczony w punkcie ri. Energia potencjalna takiego układu ładunków jest równa:

N

1

U =

∑ qV( r )

i

i

(1.2).

2 i

gdzie potencjał oznaczam tutaj konwencjonalnie przez V ( r) = φ( r) . Czynnik ½

występuj we wzorze 1.2, ponieważ dwukrotnie sumujemy po każdym ładunku.

W przypadku, gdy ładunków jest bardzo dużo, gdy mamy ciągły a nie dyskretny rozkład ładunków, energia potencjalna jest określona przez zależność:

1

U =

∫ ρ( r V

) ( r d 3

)

r

(1.3),

2

gdzie ρ( r) to gęstość ładunku, V(r) – potencjał pola elektrycznego w punkcie r, a całkowanie odbywa się po całej przestrzeni.

Korzystając z prawa Gaussa:

r

r

ρ ( r)

div E = ∇ E =

ε

(1.4),

można wykazać, że energia potencjalna ciągłego układu ładunków wynosi:

2

1

r

U = ∫ ε E d 3 r

(1.5),

2

1

przypominam – całkujemy po całej przestrzeni.

Wielkość występującą pod całką nazywamy gęstością energii pola

elektrycznego (energia na jednostkę objętości):

r 2

1

w =

ε E

(1.5).

2

2. Prąd elektryczny

W pewnej grupie materiałów, zwanych przewodnikami, przyłożone pole

elektryczne wywołuje przepływ elektronów, zgodnie z różnicą potencjałów (przyłożonym napięciem). Zjawisko to opisuje prawo Ohma:

U = I ⋅ R

(2.1).

U – napięcie (różnica potencjałów) [V - volt], I – natężenie prądu [A - amper], R – stała, opór w jednostkach [Ω - ohm]

Przykład

Układ zmiennoprądowy z kondensatorem. Schemat układu pokazuje rysunek.

Źródło jest zmiennoprądowe

Odpowiedź układy (opornika, rezystora) jest następująca:

2

Napięcie i natężenie prądu płynącego obwodzie są zgodne w fazie. Zwiążek między napięciem a natężeniem prądu podaje prawo Ohma:

U

I =

Z

gdzie Z – impedancja równa oporowi (rezystancji):

Z = R

Impedancja (opór) dla tego obwodu jest stały, nie zależy od kierunku prądu ani od częstości prądu (napięcia)!

Prąd elektryczny – uporządkowany ruch ładunków. Definiujemy go poprzez wielkość zwaną natężeniem prądu elektrycznego, który jest równa:

dQ

I =

(2.2),

dt

zmiana w czasie ładunku przepływającego przez powierzchnię prostopadłą do przewodnika. W przypadku, gdy płynący prąd jest stały równanie 2.2 sprowadza się do prostego ilorazu:

Q

I =

(2.3),

t

natężenie prądu jest równe ilorazowi ładunku elektrycznego, jaki przepłynął

przez powierzchnię, do czasu przepływu. W układzie SI jednostki są następujące: 1 C

1 A =

(2.4),

s

Równania 2.2 i 2.3 opisują prąd elektryczny makroskopowo, jest to prąd przepływający przez cały przekrój porzeczny przewodnika. Mikroskopowo opiszemy prąd definiując wektor gęstości prądu:

r

r

d I

j =

(2.4a),

dS

w jednostkach [A/m2]. Natężenie prądu jest wektorem o wartości określonej równaniem 2.3 (lub 2.4) a o zwrocie (i kierunku) płynącego prądu Historycznie rzecz ujmując, kierunek prądu wyznacza ruch dodatnich ładunków. W metalach, 3

jak miedź, aluminium, złoto, dodatnie jonu są nieruchome, a w przepływie prądu biorą udział tylko ujemnie naładowane elektrony (płynąc w przeciwnym kierunku). W wielu materiałach obserwujemy jednoczesny ruch dodatnich i ujemnych ładunków np.: elektrolity. Prąd w plaźmie to przepływ elektronów oraz dodatnich i ujemnych jonów. Są materiały, półprzewodniki typu p, w których prąd jest dobrze opisać jako ruch dodatnio naładowanych elektronów, tzw. „dziur” („holes”).

Prąd elektryczny w przewodniku, opisany prawem Ohma zmienia się, gdy zmienia się temperatura przewodnika. Dzieje się tak dlatego, iż opór R, nie jest stały, ale w istocie zmienia się liniowo w funkcji temperatury:

R( T ) = R 1

( + α ( T − T ))

0

0

,

(2.5),

gdzie R0 to opór materiału w temperaturze T0. Należy pamiętać, że zależność 2.5

jest tylko przybliżona i ma ograniczony zakres stosowalności dla przewodników jednorodnych, izotropowych i przy niewielkich wahaniach temperatur.

Dla przewodnika o długości l, przekroju poprzecznym S, jego opór R będzie równy:

l

R = ρ

,

(2.6),

S

gdzie ρ to opór właściwy [Ω m] wartość charakterystyczna materiału, z którego wykonano przewodnik.

Ze względu na opór właściwy materiały dzielimy na przewodniki,

półprzewodniki i izolatory.Wartość oporu właściwego dla kilku materiałów przedstawia tabela.

Tabela. Oporność właściwa niektórych materiałów

ρ [Ω m]

miedź (Cu)

1.68 x 10-8

aluminium (Al)

2.65 x 10-8

german (Ge)*

1 – 500 x 10-3

węgiel, grafit (C)*

3 – 60 x 10-5

krzem (Si)*

0.1 - 60 x 10-3

szkła

1 – 10000 x 109

kwarc (SiO2)

7.5 x 1017

* - opór właściwy półprzewodników silnie zależy od obecności i koncentracji domieszek. Własność wykorzystywana w fizyce ciała stałego i przemyśle półprzewodnikowym

4

Warto zwrócić uwagę, że oporność właściwa dla przewodnika i izolatora różnią się między sobą o 24 rzędy wielkości! Czy istnieją materiały, których opór jest równy zero?

Tak. Istnieją materiały, które nie mając oporu! Zjawisko nadprzewodnictwa.

Nadprzewodniki wysokotemperaturowe.

Wprowadzają przewodność właściwą, jako odwrotność oporu właściwego

σ 1

= ρ , oraz pamiętając, że U = El, zaś gęstość prądu j=I/S otrzymamy zależność:

r

r

j = σ ⋅ E ,

(2.7),

lub

r

r

E = ρ ⋅ j ,

(2.7a).

Jest to różniczkowa (mikroskopowa) postać prawa Ohma. Mówi ona, że gęstość prądu (pole elektryczne) jest proporcjonalna do pola elektrycznego (gęstości prądu) a współczynnikiem proporcjonalności jest opór (przewodność) właściwy.

W materiałach anizotropowych zarówno σ jak i ρ są tensorami (macierzami).

2.1 Praca i moc prądu

Opornik o oporze R przekształca energię elektryczną na ciepło. Praca wykonana przy przesunięciu ładunku dq przy napięci U wynosi:

dW = U ⋅ dq = U ⋅ I dt ,

(2.8).

Całkowita praca wykonana w czasie t będzie równa:

t

t

W = ∫ dW = ∫ U ⋅ I dt = U ⋅ I ⋅ t , (2.9).

0

0

Praca ta zamienia się w ciepło. Jest to ciepło Joula – Lentza. Moc prądu wynosi: dW

P =

= U ⋅ I ,

(2.9).

dt

5

Jednostką pracy (ciepła) jest 1J (Joul), jednostką mocy jest Wat (kilowat kW, gigawat GW), 1 W= 1 J/s = 1 V A.

2.2 Użyteczne prawa i zależności

Zazwyczaj mamy do czynienia z mniej lub bardziej skomplikowaną siecią elementów elektrycznych (oporników i innych). Do obliczeń sieci użyteczne są dwa prawa Kirchoffa.

I prawo Kirchoffa:

N

∑ I 0

i =

(2.2.1),

i

suma prądow wpływających i wypływających z węzła sieci jest równa zero.

II prawo Kirchoffa:

∑ε

I R

(2.2.2),

i + ∑

i ⋅

i = 0

W oczku sieci suma sił elektromotorycznych i spadków napięć jest równa zero (zasada zachowania energii)

Związek między siłą elektromotoryczną źródła prądu a napięciem U i natężeniem I jest następujący

U = ε − I ⋅ R

(2.2.3),

w

gdzie Rw – opór wewnętrzny źródła.

W wielu sieciach mamy do czynienia z wieloma opornikami połączonymi równolegle lub (i) szeregowo. Często musimy znaleźć oporność zastępczą układu

szeregowo

lub

równolegle

połączonych

oporników.

Łączenie szeregowe oporników

Opór zastępczy układu N szeregowo połączonych oporników jest równy:

N

R = ∑ Ri

(2.2.4),

i

Łączenie równolegle oporników

6

Opór zastępczy układu N równolegle połączonych oporników jest równy:

N

1 = ∑ 1

(2.2.5),

R

R

i

i

3. Kondensatory

Najprostszy przykład kondensatora – przykład kondensatora płaskiego pokazuje rys. 3.1

Rys. 3.1 Kondensator płaski

Podłączona bateria transportuje ładunki z jednej płyty kondensatora na drugą, dopóki napięcie między płytami kondensatora nie zrówna się z napięciem baterii.

Parametr charakteryzujący kondensator to pojemność kondensatora:

Q

C =

(2.2.5),

U

Jednostki 1 F – Farad = 1 Coulomb/ V

Kondensatory magazynują energię w postaci pola elektrycznego. Praca przy umieszczeniu ładunku dq na kondensatorze o napięciu U wynosi:

dW = U dq = CU dU

(2.2.6),

Dlatego energia naładowania kondensatora o pojemności C i napięciu U jest

równa:

7

2

U

1

2

1

Q

E = C

U dU

∫

= CU = QU =

(2.2.7),

0

2

2

C

2

Energia kondensatora jest równa pracy wykonanej przy ładowaniu kondensatora.

Przykład:

1. Kondensator płaski (rys. 3.1) o powierzchni okładek S, odległych o d, wypełniony dielektrykiem dielektrykiem ε ma pojemność:

S

C = ε0ε

(2.2.5),

d

2. Kondensator kulisty (rys. 3.1) o promieniach R1 i R2, wypełniony dielektrykiem dielektrykiem ε ma pojemność:

R R

1

2

C = 4πε ε

0

(2.2.5),

R − R

1

2

Łączenie równoległe kondensatorów:

Pojemność zastępcza układu N równolegle połączonych kondensatorów jest równa:

N

C = ∑ Ci

(2.2.4),

i

Łączenie szeregowe oporników

Opór zastępczy układu N szeregowo połączonych oporników jest równy:

N

1 = ∑ 1

(2.2.5),

C

C

i

i

8

3.1 Układ z kondensatorem

Rozpatrzmy układ składający się ze źródła (zmienne napięcie) i kondensatora (patrz rysunek).

Odpowiedź kondensatora jest następująca:

Napięcie jest przesunięte w fazie o 900 w stosunku do natężeni prądu. Związek między napięciem a natężeniem prądu jest następujący:

U

I =

(2.1).

X C

gdzie XC – impedancja równa:

1

X =

C

ω

(2.1).

C

Dla tego obwodu impedancja jest funkcją częstości, nie jest stała!

9