Mechanika ogólna

Mechanika ogólna

1

1

Wykład nr 11

Wykład nr 11
Główne centralne

Główne centralne osie bezwładności.

osie bezwładności.

Charakterystyki geometryczne

Charakterystyki geometryczne

figur płaskich

figur płaskich –

– przykłady.

przykłady.

Obrót układu

Obrót układu

współrzędnych

współrzędnych

(1)

(1)

cos

sin

x



 







sin

cos

y



 



 





y



x

y





cos





cos

2

2

2

x

A

I

y dA





2

y

A

I

x dA





xy

A

I

xydA





dA









x

y

x

y











sin





cos





sin

Obrót układu

Obrót układu

współrzędnych

współrzędnych

(2)

(2)





2

2

2

2

2

2

sin

cos

sin

2

sin cos

cos

x

A

A

A

A

A

I

y dA

dA

dA

dA

dA



 



















 























3

3

2

2

sin

cos

2

sin cos

A

A

A

I

I

I

























2

2

2

2

2

2

2

2

cos

sin

cos

2

sin cos

sin

cos

sin

2

sin cos

y

A

A

A

A

A

I

x dA

dA

dA

dA

dA

I

I

I









 

























































Obrót układu

Obrót układu

współrzędnych

współrzędnych

(3)

(3)







2

2

sin

cos

cos

sin

cos

sin cos

xy

A

A

A

A

I

xy dA

dA

dA

dA



 

 

 















 





















4

4









2

2

2

2

sin cos

sin

sin cos

cos

sin

A

A

A

A

dA

dA

I

I

I











































Obrót układu

Obrót układu

współrzędnych

współrzędnych

(4)

(4)

2

1 cos 2

sin

2









2

1 cos 2

cos

2









2 sin cos

sin 2









5

5



 



1

1

cos 2

sin 2

2

2

x

I

I

I

I

I

I



























 



1

1

cos 2

sin 2

2

2

y

I

I

I

I

I

I





























1

sin 2

cos 2

2

xy

I

I

I

I





















Zerowanie się momentu

Zerowanie się momentu

odśrodkowego:

odśrodkowego:

Warunek

Warunek

0

I



6

6





Kąt obrotu osi:

Kąt obrotu osi:





0

0

1

sin 2

cos 2

0

2

I

I

I

















0

xy

I



0

2

2

tg2

I

I

I

I

I

I

























Warunek występowania

Warunek występowania

ekstremum

ekstremum





0

sin 2

2

cos 2

2

x

dI

I

I

I

I

d















 





 





0

sin 2

2

cos 2

2

y

dI

I

I

I

I























7

7





0

sin 2

2

cos 2

2

I

I

I

I

d























0

 



2

0

x

xy

dI

I

d



 



2

0

y

xy

dI

I

d







0

xy

I



x

I

y

I

, ekstremalne

, ekstremalne

Ekstremalne wartości

Ekstremalne wartości

momentów bezwładności

momentów bezwładności

0

2

tg2

I

I

I



















0

2

2

2

0

1

cos2

1 tg 2

4

I

I

I

I

I



























0

2

tg2

sin2

I













8

8





0

0

2

2

2

0

2

tg2

sin2

1 tg 2

4

I

I

I

I



























max
min

2

2

2

2

I

I

I

I

I

I

































Główne centralne osie

Główne centralne osie

bezwładności

bezwładności





Osie wzajemnie prostopadłe względem

Osie wzajemnie prostopadłe względem

których moment odśrodkowy równy

których moment odśrodkowy równy

jest 0 to osie główne bezwładności.

jest 0 to osie główne bezwładności.

9

9

jest 0 to osie główne bezwładności.

jest 0 to osie główne bezwładności.

Jeżeli są one osiami środkowymi, to są

Jeżeli są one osiami środkowymi, to są

to

to główne centralne osie

główne centralne osie

bezwładności

bezwładności..

0

xy

I



,

max

min

x

y

I I





Obrót z osi głównych

Obrót z osi głównych

na dowolne

na dowolne

cos

sin

x

y











sin

cos

x

y







 



y





ycos



10

10

sin

cos

x

y







 



x





ycos



ysin



xcos



xsin



2

2

2

2

sin

cos

2

sin cos

sin

cos

y

x

xy

y

x

I

I

I

I

I

I

























2

2

2

2

cos

sin

2

sin cos

cos

sin

y

x

xy

y

x

I

I

I

I

I

I

























Koło Mohra

Koło Mohra

(1)

(1)

B

I



om

en

ty

o

dś

ro

dk

ow

e

11

11





I



A

O

I

max

=I

y

I



I



(I +I )/2=(I +I )/2

x

y





I

min

=I

x

momenty bezwładności

m

o

Koło Mohra

Koło Mohra

(2)

(2)





Etapy graficznego wyznaczania

Etapy graficznego wyznaczania

momentów bezwładności względem

momentów bezwładności względem

środkowych osi głównych:

środkowych osi głównych:

–– zaznaczenie na układzie współrzędnych

zaznaczenie na układzie współrzędnych

12

12

–– zaznaczenie na układzie współrzędnych

zaznaczenie na układzie współrzędnych

punktów : A(

punktów : A(JJ



,

, --JJ





) i B(

) i B(JJ



,

, JJ





);

);

–– zaznaczenie środka okręgu O jako punktu

zaznaczenie środka okręgu O jako punktu

przecięcia osi rzędnych i linii łączącej

przecięcia osi rzędnych i linii łączącej

punkty AB;

punkty AB;

–– wyrysowanie okręgu o promieniu

wyrysowanie okręgu o promieniu OA

OA..

Koło Mohra

Koło Mohra

(3)

(3)





Punkty przecięcia okręgu i osi

Punkty przecięcia okręgu i osi

rzędnych wyznaczają wartości

rzędnych wyznaczają wartości

ekstremalnych momentów

ekstremalnych momentów

bezwładności względem środkowych

bezwładności względem środkowych

13

13

bezwładności względem środkowych

bezwładności względem środkowych

osi głównych.

osi głównych.





Kąt pomiędzy osią rzędnych; a linią AB

Kąt pomiędzy osią rzędnych; a linią AB

jest równy 2

jest równy 2



oo

..





Układ współrzędnych obracamy o kąt

Układ współrzędnych obracamy o kąt



oo

przeciwnie do wskazówek zegara.

przeciwnie do wskazówek zegara.

Wzory

Wzory

(1)

(1)

Figura,

Figura,
pole powierzchni

pole powierzchni

Współrzędne

Współrzędne
środka ciężkości

środka ciężkości

w układzie

w układzie





Momenty

Momenty
bezwładności

bezwładności

Momenty

Momenty
odśrodkowe

odśrodkowe

Prostokąt

Prostokąt

b





3

bh

I





2

2

b h

I





14

14

2

















b

h

2

h





3

I





3

3

hb

I





0

3

12

bh

I





0

3

12

hb

I





4

I





0 0

0

I

 



A

bh



Wzory

Wzory

(2)

(2)

Figura,

Figura,
pole powierzchni

pole powierzchni

Współrzędne

Współrzędne
środka ciężkości

środka ciężkości

w układzie

w układzie





Momenty

Momenty
bezwładności

bezwładności

Momenty

Momenty
odśrodkowe

odśrodkowe

Trójkąt

Trójkąt
prostokątny

prostokątny

b





3

bh

I





2

2

b h

I





15

15

prostokątny

prostokątny

3





3

h





12

I





3

12

hb

I





0

3

36

bh

I





0

3

36

hb

I





24

I





0 0

2

2

72

b h

I

 

 









b

h





2

bh

A



Wzory

Wzory

(3)

(3)

Figura,

Figura,
pole powierzchni

pole powierzchni

Współrzędne

Współrzędne
środka ciężkości

środka ciężkości

w układzie

w układzie





Momenty

Momenty
bezwładności

bezwładności

Momenty

Momenty
odśrodkowe

odśrodkowe

Koło

Koło

d

r



 

4

4

5

5

4

64

I

r

d











4

4

d

I

r











16

16

2

r



 

2

d

r



 

4

64

I

r

d











16

I

r









0 0

0

I

 















r

2

d

r



0

4

4

4

64

r

d

I











0

4

4

4

64

r

d

I











4

4

2

32

C

r

d

I









4

4

5

5

4

64

I

r

d











2

2

4

d

A

r









Wzory

Wzory

(4)

(4)

Figura,

Figura,
pole powierzchni

pole powierzchni

Współrzędne

Współrzędne
środka ciężkości

środka ciężkości

w układzie

w układzie





Momenty

Momenty
bezwładności

bezwładności

Momenty

Momenty
odśrodkowe

odśrodkowe

Półkole

Półkole

0





4

4

r

d

I











0

I





17

17

0





4

0, 4244

3

r

r









8

128

I







0

I





0 0

0

I

 



2

d

r



0

4

4

8

8

9

0,1098

I

r

r



























0

4

4

8

128

r

d

I











4

4

8

128

r

d

I





















r

2

2

2

8

r

d

A









Wzory

Wzory

(5)

(5)

Figura,

Figura,
pole powierzchni

pole powierzchni

Współrzędne

Współrzędne
środka ciężkości

środka ciężkości

w układzie

w układzie





Momenty

Momenty
bezwładności

bezwładności

Momenty

Momenty
odśrodkowe

odśrodkowe

Ćwiartka koła

Ćwiartka koła

4

0, 4244

r

r









4

4

16

256

r

d

I











4

r

I





18

18

0, 4244

3

r









4

0, 4244

3

r

r









16

256



8

I





0 0

4

4

1

4

8

9

0, 0165

I

r

r

 





















 

2

d

r



0

4

4

8

2

8

9

0, 0549

r

I

r



























0

4

4

8

2

8

9

0, 0549

r

I

r



























4

4

16

256

r

d

I











2

2

4

16

r

d

A

















r





Przykład 1

Przykład 1

19

19

Podział na figury proste

Podział na figury proste

r

6 cm



a

12 cm



b

6 cm



a

1

9 cm



a

2

3 cm



h

6 cm





C

1

C

2

20

20



A

B

C

C

Pole powierzchni

Pole powierzchni

A

A

 r

2



4



A

A

2.827

10

3





m

2



A

A

28.274cm

2



A

B

a b





A

B

7.200

10

3





m

2



A

B

72cm

2



21

21

A

C1

1

2

a

1

h





A

C1

2.700

10

3





m

2



A

C1

27cm

2



A

C2

1

2

a

2

h





A

C2

9.000

10

4





m

2



A

C2

9 cm

2



A

A

A

A

B



A

C1



A

C2





A

136.274cm

2



A

1.363

10

2





m

2



Momenty statyczne

Momenty statyczne

(1)

(1)

S

A



A

A

4

3



r







S

A



72cm

3



S

A



7.200

10

5





m

3



S

B



A

B

1

2



b





S

B



216cm

3



S

B



2.160

10

4





m

3



22

22

S



S

A



S

B





S

C1





S

C2







S



576cm

3



S



5.760

10

4





m

3



S

C1



A

C1

b

1

3

h

















S

C1



216cm

3



S

C1



2.160

10

4





m

3



S

C2



A

C2

b

1

3

h

















S

C2



72cm

3



S

C2



7.200

10

5





m

3



Momenty statyczne

Momenty statyczne

(2)

(2)

S

A



A

A

4

3



r

















S

A



72

 cm

3



S

A



7.200



10

5





m

3



S

B



A

B

1

2



a





S

B



432cm

3



S

B



4.320

10

4





m

3



23

23

2

S

C1



A

C1

2

3



a

1





S

C1



162cm

3



S

C1



1.620

10

4





m

3



S

C2



A

C2

a

1

1

3

a

2

















S

C2



90cm

3



S

C2



9.000

10

5





m

3



S



S

A



S

B





S

C1





S

C2







S



612cm

3



S



6.120

10

4





m

3



Współrzędne środka

Współrzędne środka

ciężkości

ciężkości



0

S



A





0

4.227cm





0

0.042m





0

S



A





0

4.491cm





0

4.491

10

2





m







24

24

A





A

B

C

1

C

2





Warianty transformacji

Warianty transformacji

momentów bezwładności

momentów bezwładności





Wariant A

Wariant A

–– Transformacja z osi własnych każdej z figur

Transformacja z osi własnych każdej z figur

składowych do osi dowolnych, a następnie z tych

składowych do osi dowolnych, a następnie z tych

osi dowolnych do osi własnych całej figury

osi dowolnych do osi własnych całej figury

25

25

osi dowolnych do osi własnych całej figury

osi dowolnych do osi własnych całej figury

złożonej.

złożonej.





Wariant B

Wariant B

–– Transformacja z osi własnych każdej z figur

Transformacja z osi własnych każdej z figur

składowych do osi własnych całej figury złożonej,

składowych do osi własnych całej figury złożonej,

które dla każdej z figur prostych są dowolnymi

które dla każdej z figur prostych są dowolnymi

(nie przechodzą przez ich środki ciężkości).

(nie przechodzą przez ich środki ciężkości).

Wariant A

Wariant A

Momenty bezwładności

Momenty bezwładności

(1)

(1)

I

A



 r

4



16



I

A



254.469cm

4



I

A



2.545

10

6





m

4



I

B



a b

3



3



I

B



864cm

4



I

B



8.640

10

6





m

4



26

26

I

C1



a

1

h

3



36

A

C1

b

1

3

h













2







I

C1



1782cm

4



I

C1



1.782

10

5





m

4



I

C2



a

2

h

3



36

A

C2

b

1

3

h













2







I

C2



594cm

4



I

C2



5.940

10

6





m

4



I



I

A



I

B





I

C1





I

C2







I



3494.469cm

4



I



3.494

10

5





m

4



Wariant A

Wariant A

Momenty bezwładności

Momenty bezwładności

(2)

(2)

I

A



 r

4



16



I

A



254.469cm

4



I

A



2.545

10

6





m

4



I

B



a

3

b



3



I

B



3456cm

4



I

B



3.456

10

5





m

4



3

2

27

27

I

C1



a

1

3

h



36

A

C1

2

3

a

1











2







I

C1



1093.5cm

4



I

C1



1.093

10

5





m

4



I

C2



a

2

3

h



36

A

C2

a

1

1

3

a

2













2







I

C2



904.5cm

4



I

C2



9.045

10

6





m

4



I



I

A



I

B





I

C1





I

C2







I



5708.469cm

4



I



5.708

10

5





m

4



Wariant A

Wariant A

Momenty odśrodkowe

Momenty odśrodkowe

(2)

(2)

I

A



r

4

8





I

A



162



cm

4



I

A



1.620



10

6





m

4



I

B



a

2

b

2



4



I

B



1296cm

4



I

B



1.296

10

5





m

4



28

28

I

C1



a

1

2

h

2



72

A

C1

2

3

 a

1

b

1

3

h

















I

C1



1336.5cm

4



I

C1



1.336

10

5





m

4



I

C2



a

2

2

h

2



72



A

C2

a

1

1

3

a

2













b

1

3

h

















I

C2



715.5cm

4



I

C2



7.155

10

6





m

4



I



I

A



I

B





I

C1





I

C2







I



3186cm

4



I



3.186

10

5





m

4



Momenty bezwładności

Momenty bezwładności

względem osi własnych

względem osi własnych

I

0

I



A



0

2







I

0

1059.851cm

4



I

0

1.060

10

5





m

4



29

29

I

0

I



A



0

2







I

0

2960.013cm

4



I

0

2.960

10

5





m

4



I

00

I



A



0





0







I

00

599.218cm

4



I

00

5.992

10

6





m

4



Wariant B

Wariant B

Momenty bezwładności

Momenty bezwładności

(1)

(1)

I

A

0

r

4

2



8

8

9

















A

A



0

4

3

r













2







I

A

0

150.951cm

4



I

A

0

2.545

10

6





m

4



I

B

0

a b

3



12

A

B



0

b

2











2







I

B

0

324.357cm

4



I

B

0

3.244

10

6





m

4



a

1

h

3



1









2

4

6



4

30

30

I

C1

0

a

1

h



36

A

C1



0

b

1

3

h























2







I

C1

0

438.407cm

4



I

C1

0

4.384

10

6





m

4



I

C2

0

a

2

h

3



36

A

C2



0

b

1

3

h























2







I

C2

0

146.136cm

4



I

C2

0

1.461

10

6





m

4



I

0

I

A

0

I

B

0



I

C1

0



I

C2

0





I

0

1059.851cm

4



I

0

1.060

10

5





m

4



Wariant B

Wariant B

Momenty bezwładności

Momenty bezwładności

(2)

(2)

I

A

0

r

4

2



8

8

9





















A

A



0

4

3



r























2







I

A

0

1471.417cm

4



I

A

0

1.471

10

5





m

4



I

B

0

a

3

b



12

A

B



0

a

2











2







I

B

0

1027.963cm

4



I

B

0

1.028

10

5





m

4



a

1

3

h



2





2

4

6



4

31

31

I

C1

0

a

1

h



36

A

C1



0

2

3

a

1











2







I

C1

0

182.986cm

4



I

C1

0

1.830

10

6





m

4



I

C2

0

a

2

3

h



36

A

C2



0

a

1

1

3

a

2























2







I

C2

0

277.648cm

4



I

C2

0

2.776

10

6





m

4



I

0

I

A

0

I

B

0



I

C1

0



I

C2

0





I

0

2960.013cm

4



I

0

2.960

10

5





m

4



Wariant B

Wariant B

Momenty odśrodkowe

Momenty odśrodkowe

I

A

00

1

8

4

9















r

4

A

A



0

4

3

r

















0

4

3



r





























I

A

00

355.688cm

4



I

A

00

3.557

10

6





m

4



I

B

00

0

A

B



0

b

2















0

a

2

















I

B

00

133.291



cm

4



I

B

00

1.333



10

6





m

4



32

32

2





2





I

C1

00

a

1

2

h

2



72

A

C1



0

b

1

3

h



























0

2

3

a

1

















I

C1

00

194.239cm

4



I

C1

00

1.942

10

6





m

4



I

C2

00

a

2

2

h

2



72



A

C2



0

b

1

3

h



























0

a

1

1

3

a

2





























I

C2

00

182.583cm

4



I

C2

00

1.826

10

6





m

4



I

00

I

A

00

I

B

00



I

C1

00



I

C2

00





I

00

599.218cm

4



I

00

5.992

10

6





m

4



Główne centralne osie

Główne centralne osie

bezwładności

bezwładności

(1)

(1)



2



0

 

0



atan

2I

00

I

0

I

0

















33

33



0.563rad





32.240deg





0



2





0

0.281rad





0

16.120deg



Główne centralne osie

Główne centralne osie

bezwładności

bezwładności

(2)

(2)



C

1

C

2





x

y

34

34



A

B





x

Ekstremalne wielkości

Ekstremalne wielkości

momentów bezwładności

momentów bezwładności

I

max

I

0

I

0



2

I

0

I

0



2













2

I

00

2







I

3133.193cm

4



I

3.133

10

5





m

4



35

35

I

max

3133.193cm

4



I

max

3.133

10

5





m

4



I

min

I

0

I

0



2

I

0

I

0



2













2

I

00

2







I

min

886.67cm

4



I

min

8.867

10

6





m

4



Koło Mohra

Koło Mohra

36

36

Przykład 2

Przykład 2

37

37

Podział na figury proste

Podział na figury proste



B

38

38



A

B

C

Pole powierzchni

Pole powierzchni

A

A

a b





A

A

4.000

10

3





m

2



A

A

40cm

2



A

B

 r

2



2



A

B

3.927

10

3





m

2



A

B

39.27cm

2



39

39

2

A

C

1

2

c d





A

C

6.000

10

4





m

2



A

C

6 cm

2



A

A

A

A

B



A

C





A

73.270cm

2



A

7.327

10

3





m

2



Momenty statyczne

Momenty statyczne

(1)

(1)

S

A



A

A

1

2



b





S

A



80cm

3



S

A



8.000

10

5





m

3



S

B



A

B

b

4

3

r

















S

B



240.413cm

3



S

B



2.404

10

4





m

3



40

40

3







S

C



A

C

1

3

d





S

C



6 cm

3



S

C



6.000

10

6





m

3



S



S

A



S

B





S

C







S



314.413cm

3



S



3.144

10

4





m

3



Momenty statyczne

Momenty statyczne

(2)

(2)

S

A



A

A

r





S

A



200cm

3



S

A



2.000

10

4





m

3



S

B



A

B

1

2



a





S

B



196.35cm

3



S

B



1.963

10

4





m

3



41

41

2

S

C



A

C

a

1

3

c















S

C



52cm

3



S

C



5.200

10

5





m

3



S



S

A



S

B





S

C







S



344.35cm

3



S



3.443

10

4





m

3



Współrzędne środka

Współrzędne środka

ciężkości

ciężkości









0

S



A





0

4.291cm





0

4.291

10

2





m





S





42

42



A

B

C







0



A





0

4.7cm





0

4.700

10

2





m



Wariant A

Wariant A

Momenty bezwładności

Momenty bezwładności

(1)

(1)

I

A



a b

3



3



I

A



213.333cm

4



I

A



2.133

10

6





m

4



I

B



r

4



8











A

B

b

4 r







2







I

B



1540.422cm

4



I

B



1.540

10

5





m

4



43

43

I

B



r

8

9

















A

B

b

3



















I

B



1540.422cm



I

B



1.540

10



m



I

C



c d

3



36

A

C

1

3

d









2







I

C



9 cm

4



I

C



9.000

10

8





m

4



I



I

A



I

B



I

C









I



1744.755cm

4



I



1.745

10

5





m

4



Wariant A

Wariant A

Momenty bezwładności

Momenty bezwładności

(2)

(2)

I

A



a

3

b



3



I

A



1333.333cm

4



I

A



1.333

10

5





m

4



I

B



 r

4



A

B

r

2







I

B



1227.185cm

4



I

B



1.227

10

5





m

4



44

44

I

B



 r



8

A

B

r

2







I

B



1227.185cm

4



I

B



1.227

10

5





m

4



I

C



c

3

d



36

A

C

a

1

3

c











2







I

C



456cm

4



I

C



4.560

10

6





m

4



I



I

A



I

B





I

C







I



2104.518cm

4



I



2.105

10

5





m

4



Wariant A

Wariant A

Momenty odśrodkowe

Momenty odśrodkowe

(2)

(2)

I

A



a

2

b

2



4



I

A



400cm

4



I

A



4.000

10

6





m

4



I

B



0

A

B

r



b

4

3

r



















I

B



1202.065cm

4



I

B



1.202

10

5





m

4



45

45

3







I

C



c

2

d

2



72

A

C

1

3

 d

a

1

3

c

















I

C



54cm

4



I

C



5.400

10

7





m

4



I



I

A



I

B





I

C







I



1548.065cm

4



I



1.548

10

5





m

4



Momenty bezwładności

Momenty bezwładności

względem osi własnych

względem osi własnych

I

0

I



A



0

2







I

0

395.559cm

4



I

0

3.956

10

6





m

4



I

I

A



2







I

486.165cm

4



I

4.862

10

6





m

4



46

46

I

0

I



A



0

2







I

0

486.165cm

4



I

0

4.862

10

6





m

4



I

00

I



A



0





0







I

00

70.406cm

4



I

00

7.041

10

7





m

4



Wariant B

Wariant B

Momenty bezwładności

Momenty bezwładności

(1)

(1)

I

A

0

a b

3



12

A

A



0

b

2











2







I

A

0

263.31cm

4



I

A

0

2.633

10

6





m

4



I

B

0

r

4



8

8

9

















A

B



0

b

4

3

r























2







47

47

8

9







3











I

B

0

200.239cm

4



I

B

0

2.002

10

6





m

4



I

C

0

c d

3



36

A

C



0

1

3

d











2







I

C

0

67.99cm

4



I

C

0

6.799

10

7





m

4



I

0

I

A

0

I

B

0

I

C

0







I

0

395.559cm

4



I

0

3.956

10

6





m

4



Wariant B

Wariant B

Momenty bezwładności

Momenty bezwładności

(2)

(2)

I

A

0

a

3

b

12

A

A



0

a

2











2







I

A

0

336.94cm

4



I

A

0

3.369

10

6





m

4



I

B

0



r

4

8

A

B



0

r







2







I

B

0

248.977cm

4



I

B

0

2.490

10

6





m

4



48

48

I

B

0



8

A

B



0

r













I

B

0

248.977cm



I

B

0

2.490

10



m



I

C

0

c

3

d



36

A

C



0

a

1

3

c





















2







I

C

0

99.752cm

4



I

C

0

9.975

10

7





m

4



I

0

I

A

0

I

B

0



I

C

0





I

0

486.165cm

4



I

0

4.862

10

6





m

4



Wariant B

Wariant B

Momenty odśrodkowe

Momenty odśrodkowe

I

A

00

0

A

A



0

b

2















0

a

2

















I

A

00

27.518



cm

4



I

A

00

2.752



10

7





m

4



I

B

00

0

A

B



0

b

4

3

r



























0

r













I

B

00

21.589cm

4



I

B

00

2.159

10

7





m

4



49

49

I

C

00

c

2

d

2



72

A

C



0

1

3

d















0

a

1

3

c



























I

C

00

76.335



cm

4



I

C

00

7.633



10

7





m

4



I

00

I

A

00

I

B

00



I

C

00





I

00

70.406cm

4



I

00

7.041

10

7





m

4



Główne centralne osie

Główne centralne osie

bezwładności

bezwładności

(1)

(1)



2



0

 

0



atan

2I

00

I

0

I

0

















50

50



0.999rad





57.241deg





0



2





0

0.500rad





0

28.620deg



Główne centralne osie

Główne centralne osie

bezwładności

bezwładności

(2)

(2)



B





x

y

51

51



A

B

C





Ekstremalne wielkości

Ekstremalne wielkości

momentów bezwładności

momentów bezwładności

I

max

I

0

I

0



2

I

0

I

0



2













2

I

00

2







4

6



4

52

52

I

max

524.583cm

4



I

max

5.246

10

6





m

4



I

min

I

0

I

0



2

I

0

I

0



2













2

I

00

2







I

min

357.14cm

4



I

min

3.571

10

6





m

4



Koło Mohra

Koło Mohra

53

53

Przykład 3

Przykład 3





Wyznaczyć położenie

Wyznaczyć położenie

głównych centralnych

głównych centralnych

osi bezwładności i

osi bezwładności i

główne momenty

główne momenty

y

c

y

k

y

1

54

54

główne momenty

główne momenty

bezwładności przekroju

bezwładności przekroju

złożonego z

złożonego z

kształtowników

kształtowników

walcowanych:

walcowanych:

x

c

x

k

x

1

kątownik 120x80x10

2

ceownik 200

2

Charakterystyki

Charakterystyki

geometryczne

geometryczne

x

y

c

ceownik 200

Ac

32.2cm

2



Ixc 1910cm

4



kątownik 120x80x10

Ak 19.1cm

2



Ixk 276cm

4



4

tg



0.435



Imaxk Ik



Ixyk tg Iyk Imaxk











4

Ixyk

9.535



10

7





m

4



55

55

x

c

x

k

y

k

Iyc

148cm

4



eyc

2.01cm



hc

200mm



Ixyc 0m

4



Iyk

98.1cm

4



k 56.8cm

4



Ik 317.3cm

4



exk 3.92cm



eyk

1.95cm



hk 120mm



Ixyk

95.352



cm

4



Ixyk

9.535



10

7





m

4







Pola powierzchni:

Pola powierzchni:





Współrzędne środków ciężkości:

Współrzędne środków ciężkości:

Momenty statyczne

Momenty statyczne

(1)

(1)

Af Ak Ac





Af 51.3cm

2



Af 5.13 10

3





m

2



y

c

x

k

y

k

y

1





Momenty statyczne:

Momenty statyczne:

56

56

y1k hc hk



exk





y1k 0.119m



y1k 11.92cm



y1c

hc

2



y1c 10cm



y1c 0.1m



Sx1c Ac y1c





Sx1c 322cm

3



Sx1c 3.22 10

4





m

3



Sx1k Ak y1k





Sx1k 227.672cm

3



Sx1k 2.277 10

4





m

3



Sx1f Sx1c Sx1k





Sx1f 549.672cm

3



Sx1f 5.497 10

4





m

3



x

c

x

k

x

1

Momenty statyczne

Momenty statyczne

(2)

(2)

x

y

c

x

k

y

k

y

1

x1k eyk



x1k 1.95cm



x1k 0.02m



x1c

eyc





x1c

0.02



m



x1c

2.01



cm







Współrzędne środków ciężkości:

Współrzędne środków ciężkości:

57

57

x

c

x

1

x1c

eyc





x1c

0.02



m



x1c

2.01



cm



Sy1c

Ac x1c





Sy1c

64.722



cm

3



Sy1c

6.472



10

5





m

3



Sy1k Ak x1k





Sy1k 37.245cm

3



Sy1k 3.725 10

5





m

3



Sy1f

Sy1c Sy1k





Sy1f

27.477



cm

3



Sy1f

2.748



10

5





m

3







Momenty statyczne:

Momenty statyczne:

Współrzędne środka

Współrzędne środka

ciężkości przekroju

ciężkości przekroju

y

c

y

k

y

1

y

0

x0

Sy1f

Af



58

58

x

c

x

k

x

1

x

1

x

1

x

1

x

0

y0

Sx1f

Af



y0 10.715cm



y0 0.107m



Af

x0

0.536



cm



x0

5.356



10

3





m



Momenty bezwładności

Momenty bezwładności

i moment odśrodkowy

i moment odśrodkowy

y

c

y

k

y

1

y

0

Ix0 Ixk Ak y1k y0







2





Ixc



Ac y1c y0







2







Ix0 2230.195cm

4



Ix0 2.23 10

5





m

4



I

I

A

x

x







2





I



A

x

x







2







59

59

x

c

x

k

x

1

x

1

x

1

x

1

x

0

Iy0

Iyk Ak x1k x0







2





Iyc



Ac x1c x0







2







Iy0 434.102cm

4



Iy0 4.341 10

6





m

4



Ix0y0 Ixyk Ak x1k x0









y1k y0











Ixyc Ac x1c x0









y1c y0

















Ix0y0

4.2



cm

4



Ix0y0

4.2



10

8





m

4



Główne centralne osie

Główne centralne osie

bezwładności

bezwładności

(1)

(1)

1



2Ix0y0





y

c

y

k

y

1

y

60

60



2



0





atan

2Ix0y0

Iy0 Ix0



















0.005rad





0.268deg





0



2





0

0.002rad





0

0.134deg



x

c

x

k

x

1

x

1

x

1

x

1

x

Ekstremalne wielkości

Ekstremalne wielkości

momentów bezwładności

momentów bezwładności

Imax

Ix0 Iy0



2

Ix0 Iy0



2













2

Ix0y0

2







I

2230.205cm

4



I

2.23

10

5





m

4



y

c

y

k

y

1

y

61

61

Imax 2230.205cm

4



Imax 2.23 10

5





m

4



Imin

Ix0 Iy0



2

Ix0 Iy0



2













2

Ix0y0

2







Imin 434.092cm

4



Imin 4.341 10

6





m

4



x

c

x

k

x

1

x

1

x

1

x

1

x

Koło Mohra

Koło Mohra

62

62