Mechanika ogólna
Mechanika ogólna
1
1
Wykład nr 11
Wykład nr 11
Główne centralne
Główne centralne osie bezwładności.
osie bezwładności.
Charakterystyki geometryczne
Charakterystyki geometryczne
figur płaskich
figur płaskich –
– przykłady.
przykłady.
Obrót układu
Obrót układu
współrzędnych
współrzędnych
(1)
(1)
cos
sin
x
sin
cos
y
y
x
y
cos
cos
2
2
2
x
A
I
y dA
2
y
A
I
x dA
xy
A
I
xydA
dA
x
y
x
y
sin
cos
sin
Obrót układu
Obrót układu
współrzędnych
współrzędnych
(2)
(2)
2
2
2
2
2
2
sin
cos
sin
2
sin cos
cos
x
A
A
A
A
A
I
y dA
dA
dA
dA
dA
3
3
2
2
sin
cos
2
sin cos
A
A
A
I
I
I
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
sin
cos
2
sin cos
sin
cos
sin
2
sin cos
y
A
A
A
A
A
I
x dA
dA
dA
dA
dA
I
I
I
Obrót układu
Obrót układu
współrzędnych
współrzędnych
(3)
(3)
2
2
sin
cos
cos
sin
cos
sin cos
xy
A
A
A
A
I
xy dA
dA
dA
dA
4
4
2
2
2
2
sin cos
sin
sin cos
cos
sin
A
A
A
A
dA
dA
I
I
I
Obrót układu
Obrót układu
współrzędnych
współrzędnych
(4)
(4)
2
1 cos 2
sin
2
2
1 cos 2
cos
2
2 sin cos
sin 2
5
5
1
1
cos 2
sin 2
2
2
x
I
I
I
I
I
I
1
1
cos 2
sin 2
2
2
y
I
I
I
I
I
I
1
sin 2
cos 2
2
xy
I
I
I
I
Zerowanie się momentu
Zerowanie się momentu
odśrodkowego:
odśrodkowego:
Warunek
Warunek
0
I
6
6
Kąt obrotu osi:
Kąt obrotu osi:
0
0
1
sin 2
cos 2
0
2
I
I
I
0
xy
I
0
2
2
tg2
I
I
I
I
I
I
Warunek występowania
Warunek występowania
ekstremum
ekstremum
0
sin 2
2
cos 2
2
x
dI
I
I
I
I
d
0
sin 2
2
cos 2
2
y
dI
I
I
I
I
7
7
0
sin 2
2
cos 2
2
I
I
I
I
d
0
2
0
x
xy
dI
I
d
2
0
y
xy
dI
I
d
0
xy
I
x
I
y
I
, ekstremalne
, ekstremalne
Ekstremalne wartości
Ekstremalne wartości
momentów bezwładności
momentów bezwładności
0
2
tg2
I
I
I
0
2
2
2
0
1
cos2
1 tg 2
4
I
I
I
I
I
0
2
tg2
sin2
I
8
8
0
0
2
2
2
0
2
tg2
sin2
1 tg 2
4
I
I
I
I
max
min
2
2
2
2
I
I
I
I
I
I
Główne centralne osie
Główne centralne osie
bezwładności
bezwładności
Osie wzajemnie prostopadłe względem
Osie wzajemnie prostopadłe względem
których moment odśrodkowy równy
których moment odśrodkowy równy
jest 0 to osie główne bezwładności.
jest 0 to osie główne bezwładności.
9
9
jest 0 to osie główne bezwładności.
jest 0 to osie główne bezwładności.
Jeżeli są one osiami środkowymi, to są
Jeżeli są one osiami środkowymi, to są
to
to główne centralne osie
główne centralne osie
bezwładności
bezwładności..
0
xy
I
,
max
min
x
y
I I
Obrót z osi głównych
Obrót z osi głównych
na dowolne
na dowolne
cos
sin
x
y
sin
cos
x
y
y
ycos
10
10
sin
cos
x
y
x
ycos
ysin
xcos
xsin
2
2
2
2
sin
cos
2
sin cos
sin
cos
y
x
xy
y
x
I
I
I
I
I
I
2
2
2
2
cos
sin
2
sin cos
cos
sin
y
x
xy
y
x
I
I
I
I
I
I
Koło Mohra
Koło Mohra
(1)
(1)
B
I
om
en
ty
o
dś
ro
dk
ow
e
11
11
I
A
O
I
max
=I
y
I
I
(I +I )/2=(I +I )/2
x
y
I
min
=I
x
momenty bezwładności
m
o
Koło Mohra
Koło Mohra
(2)
(2)
Etapy graficznego wyznaczania
Etapy graficznego wyznaczania
momentów bezwładności względem
momentów bezwładności względem
środkowych osi głównych:
środkowych osi głównych:
–– zaznaczenie na układzie współrzędnych
zaznaczenie na układzie współrzędnych
12
12
–– zaznaczenie na układzie współrzędnych
zaznaczenie na układzie współrzędnych
punktów : A(
punktów : A(JJ
,
, --JJ
) i B(
) i B(JJ
,
, JJ
);
);
–– zaznaczenie środka okręgu O jako punktu
zaznaczenie środka okręgu O jako punktu
przecięcia osi rzędnych i linii łączącej
przecięcia osi rzędnych i linii łączącej
punkty AB;
punkty AB;
–– wyrysowanie okręgu o promieniu
wyrysowanie okręgu o promieniu OA
OA..
Koło Mohra
Koło Mohra
(3)
(3)
Punkty przecięcia okręgu i osi
Punkty przecięcia okręgu i osi
rzędnych wyznaczają wartości
rzędnych wyznaczają wartości
ekstremalnych momentów
ekstremalnych momentów
bezwładności względem środkowych
bezwładności względem środkowych
13
13
bezwładności względem środkowych
bezwładności względem środkowych
osi głównych.
osi głównych.
Kąt pomiędzy osią rzędnych; a linią AB
Kąt pomiędzy osią rzędnych; a linią AB
jest równy 2
jest równy 2
oo
..
Układ współrzędnych obracamy o kąt
Układ współrzędnych obracamy o kąt
oo
przeciwnie do wskazówek zegara.
przeciwnie do wskazówek zegara.
Wzory
Wzory
(1)
(1)
Figura,
Figura,
pole powierzchni
pole powierzchni
Współrzędne
Współrzędne
środka ciężkości
środka ciężkości
w układzie
w układzie
Momenty
Momenty
bezwładności
bezwładności
Momenty
Momenty
odśrodkowe
odśrodkowe
Prostokąt
Prostokąt
b
3
bh
I
2
2
b h
I
14
14
2
b
h
2
h
3
I
3
3
hb
I
0
3
12
bh
I
0
3
12
hb
I
4
I
0 0
0
I
A
bh
Wzory
Wzory
(2)
(2)
Figura,
Figura,
pole powierzchni
pole powierzchni
Współrzędne
Współrzędne
środka ciężkości
środka ciężkości
w układzie
w układzie
Momenty
Momenty
bezwładności
bezwładności
Momenty
Momenty
odśrodkowe
odśrodkowe
Trójkąt
Trójkąt
prostokątny
prostokątny
b
3
bh
I
2
2
b h
I
15
15
prostokątny
prostokątny
3
3
h
12
I
3
12
hb
I
0
3
36
bh
I
0
3
36
hb
I
24
I
0 0
2
2
72
b h
I
b
h
2
bh
A
Wzory
Wzory
(3)
(3)
Figura,
Figura,
pole powierzchni
pole powierzchni
Współrzędne
Współrzędne
środka ciężkości
środka ciężkości
w układzie
w układzie
Momenty
Momenty
bezwładności
bezwładności
Momenty
Momenty
odśrodkowe
odśrodkowe
Koło
Koło
d
r
4
4
5
5
4
64
I
r
d
4
4
d
I
r
16
16
2
r
2
d
r
4
64
I
r
d
16
I
r
0 0
0
I
r
2
d
r
0
4
4
4
64
r
d
I
0
4
4
4
64
r
d
I
4
4
2
32
C
r
d
I
4
4
5
5
4
64
I
r
d
2
2
4
d
A
r
Wzory
Wzory
(4)
(4)
Figura,
Figura,
pole powierzchni
pole powierzchni
Współrzędne
Współrzędne
środka ciężkości
środka ciężkości
w układzie
w układzie
Momenty
Momenty
bezwładności
bezwładności
Momenty
Momenty
odśrodkowe
odśrodkowe
Półkole
Półkole
0
4
4
r
d
I
0
I
17
17
0
4
0, 4244
3
r
r
8
128
I
0
I
0 0
0
I
2
d
r
0
4
4
8
8
9
0,1098
I
r
r
0
4
4
8
128
r
d
I
4
4
8
128
r
d
I
r
2
2
2
8
r
d
A
Wzory
Wzory
(5)
(5)
Figura,
Figura,
pole powierzchni
pole powierzchni
Współrzędne
Współrzędne
środka ciężkości
środka ciężkości
w układzie
w układzie
Momenty
Momenty
bezwładności
bezwładności
Momenty
Momenty
odśrodkowe
odśrodkowe
Ćwiartka koła
Ćwiartka koła
4
0, 4244
r
r
4
4
16
256
r
d
I
4
r
I
18
18
0, 4244
3
r
4
0, 4244
3
r
r
16
256
8
I
0 0
4
4
1
4
8
9
0, 0165
I
r
r
2
d
r
0
4
4
8
2
8
9
0, 0549
r
I
r
0
4
4
8
2
8
9
0, 0549
r
I
r
4
4
16
256
r
d
I
2
2
4
16
r
d
A
r
Przykład 1
Przykład 1
19
19
Podział na figury proste
Podział na figury proste
r
6 cm
a
12 cm
b
6 cm
a
1
9 cm
a
2
3 cm
h
6 cm
C
1
C
2
20
20
A
B
C
C
Pole powierzchni
Pole powierzchni
A
A
r
2
4
A
A
2.827
10
3
m
2
A
A
28.274cm
2
A
B
a b
A
B
7.200
10
3
m
2
A
B
72cm
2
21
21
A
C1
1
2
a
1
h
A
C1
2.700
10
3
m
2
A
C1
27cm
2
A
C2
1
2
a
2
h
A
C2
9.000
10
4
m
2
A
C2
9 cm
2
A
A
A
A
B
A
C1
A
C2
A
136.274cm
2
A
1.363
10
2
m
2
Momenty statyczne
Momenty statyczne
(1)
(1)
S
A
A
A
4
3
r
S
A
72cm
3
S
A
7.200
10
5
m
3
S
B
A
B
1
2
b
S
B
216cm
3
S
B
2.160
10
4
m
3
22
22
S
S
A
S
B
S
C1
S
C2
S
576cm
3
S
5.760
10
4
m
3
S
C1
A
C1
b
1
3
h
S
C1
216cm
3
S
C1
2.160
10
4
m
3
S
C2
A
C2
b
1
3
h
S
C2
72cm
3
S
C2
7.200
10
5
m
3
Momenty statyczne
Momenty statyczne
(2)
(2)
S
A
A
A
4
3
r
S
A
72
cm
3
S
A
7.200
10
5
m
3
S
B
A
B
1
2
a
S
B
432cm
3
S
B
4.320
10
4
m
3
23
23
2
S
C1
A
C1
2
3
a
1
S
C1
162cm
3
S
C1
1.620
10
4
m
3
S
C2
A
C2
a
1
1
3
a
2
S
C2
90cm
3
S
C2
9.000
10
5
m
3
S
S
A
S
B
S
C1
S
C2
S
612cm
3
S
6.120
10
4
m
3
Współrzędne środka
Współrzędne środka
ciężkości
ciężkości
0
S
A
0
4.227cm
0
0.042m
0
S
A
0
4.491cm
0
4.491
10
2
m
24
24
A
A
B
C
1
C
2
Warianty transformacji
Warianty transformacji
momentów bezwładności
momentów bezwładności
Wariant A
Wariant A
–– Transformacja z osi własnych każdej z figur
Transformacja z osi własnych każdej z figur
składowych do osi dowolnych, a następnie z tych
składowych do osi dowolnych, a następnie z tych
osi dowolnych do osi własnych całej figury
osi dowolnych do osi własnych całej figury
25
25
osi dowolnych do osi własnych całej figury
osi dowolnych do osi własnych całej figury
złożonej.
złożonej.
Wariant B
Wariant B
–– Transformacja z osi własnych każdej z figur
Transformacja z osi własnych każdej z figur
składowych do osi własnych całej figury złożonej,
składowych do osi własnych całej figury złożonej,
które dla każdej z figur prostych są dowolnymi
które dla każdej z figur prostych są dowolnymi
(nie przechodzą przez ich środki ciężkości).
(nie przechodzą przez ich środki ciężkości).
Wariant A
Wariant A
Momenty bezwładności
Momenty bezwładności
(1)
(1)
I
A
r
4
16
I
A
254.469cm
4
I
A
2.545
10
6
m
4
I
B
a b
3
3
I
B
864cm
4
I
B
8.640
10
6
m
4
26
26
I
C1
a
1
h
3
36
A
C1
b
1
3
h
2
I
C1
1782cm
4
I
C1
1.782
10
5
m
4
I
C2
a
2
h
3
36
A
C2
b
1
3
h
2
I
C2
594cm
4
I
C2
5.940
10
6
m
4
I
I
A
I
B
I
C1
I
C2
I
3494.469cm
4
I
3.494
10
5
m
4
Wariant A
Wariant A
Momenty bezwładności
Momenty bezwładności
(2)
(2)
I
A
r
4
16
I
A
254.469cm
4
I
A
2.545
10
6
m
4
I
B
a
3
b
3
I
B
3456cm
4
I
B
3.456
10
5
m
4
3
2
27
27
I
C1
a
1
3
h
36
A
C1
2
3
a
1
2
I
C1
1093.5cm
4
I
C1
1.093
10
5
m
4
I
C2
a
2
3
h
36
A
C2
a
1
1
3
a
2
2
I
C2
904.5cm
4
I
C2
9.045
10
6
m
4
I
I
A
I
B
I
C1
I
C2
I
5708.469cm
4
I
5.708
10
5
m
4
Wariant A
Wariant A
Momenty odśrodkowe
Momenty odśrodkowe
(2)
(2)
I
A
r
4
8
I
A
162
cm
4
I
A
1.620
10
6
m
4
I
B
a
2
b
2
4
I
B
1296cm
4
I
B
1.296
10
5
m
4
28
28
I
C1
a
1
2
h
2
72
A
C1
2
3
a
1
b
1
3
h
I
C1
1336.5cm
4
I
C1
1.336
10
5
m
4
I
C2
a
2
2
h
2
72
A
C2
a
1
1
3
a
2
b
1
3
h
I
C2
715.5cm
4
I
C2
7.155
10
6
m
4
I
I
A
I
B
I
C1
I
C2
I
3186cm
4
I
3.186
10
5
m
4
Momenty bezwładności
Momenty bezwładności
względem osi własnych
względem osi własnych
I
0
I
A
0
2
I
0
1059.851cm
4
I
0
1.060
10
5
m
4
29
29
I
0
I
A
0
2
I
0
2960.013cm
4
I
0
2.960
10
5
m
4
I
00
I
A
0
0
I
00
599.218cm
4
I
00
5.992
10
6
m
4
Wariant B
Wariant B
Momenty bezwładności
Momenty bezwładności
(1)
(1)
I
A
0
r
4
2
8
8
9
A
A
0
4
3
r
2
I
A
0
150.951cm
4
I
A
0
2.545
10
6
m
4
I
B
0
a b
3
12
A
B
0
b
2
2
I
B
0
324.357cm
4
I
B
0
3.244
10
6
m
4
a
1
h
3
1
2
4
6
4
30
30
I
C1
0
a
1
h
36
A
C1
0
b
1
3
h
2
I
C1
0
438.407cm
4
I
C1
0
4.384
10
6
m
4
I
C2
0
a
2
h
3
36
A
C2
0
b
1
3
h
2
I
C2
0
146.136cm
4
I
C2
0
1.461
10
6
m
4
I
0
I
A
0
I
B
0
I
C1
0
I
C2
0
I
0
1059.851cm
4
I
0
1.060
10
5
m
4
Wariant B
Wariant B
Momenty bezwładności
Momenty bezwładności
(2)
(2)
I
A
0
r
4
2
8
8
9
A
A
0
4
3
r
2
I
A
0
1471.417cm
4
I
A
0
1.471
10
5
m
4
I
B
0
a
3
b
12
A
B
0
a
2
2
I
B
0
1027.963cm
4
I
B
0
1.028
10
5
m
4
a
1
3
h
2
2
4
6
4
31
31
I
C1
0
a
1
h
36
A
C1
0
2
3
a
1
2
I
C1
0
182.986cm
4
I
C1
0
1.830
10
6
m
4
I
C2
0
a
2
3
h
36
A
C2
0
a
1
1
3
a
2
2
I
C2
0
277.648cm
4
I
C2
0
2.776
10
6
m
4
I
0
I
A
0
I
B
0
I
C1
0
I
C2
0
I
0
2960.013cm
4
I
0
2.960
10
5
m
4
Wariant B
Wariant B
Momenty odśrodkowe
Momenty odśrodkowe
I
A
00
1
8
4
9
r
4
A
A
0
4
3
r
0
4
3
r
I
A
00
355.688cm
4
I
A
00
3.557
10
6
m
4
I
B
00
0
A
B
0
b
2
0
a
2
I
B
00
133.291
cm
4
I
B
00
1.333
10
6
m
4
32
32
2
2
I
C1
00
a
1
2
h
2
72
A
C1
0
b
1
3
h
0
2
3
a
1
I
C1
00
194.239cm
4
I
C1
00
1.942
10
6
m
4
I
C2
00
a
2
2
h
2
72
A
C2
0
b
1
3
h
0
a
1
1
3
a
2
I
C2
00
182.583cm
4
I
C2
00
1.826
10
6
m
4
I
00
I
A
00
I
B
00
I
C1
00
I
C2
00
I
00
599.218cm
4
I
00
5.992
10
6
m
4
Główne centralne osie
Główne centralne osie
bezwładności
bezwładności
(1)
(1)
2
0
0
atan
2I
00
I
0
I
0
33
33
0.563rad
32.240deg
0
2
0
0.281rad
0
16.120deg
Główne centralne osie
Główne centralne osie
bezwładności
bezwładności
(2)
(2)
C
1
C
2
x
y
34
34
A
B
x
Ekstremalne wielkości
Ekstremalne wielkości
momentów bezwładności
momentów bezwładności
I
max
I
0
I
0
2
I
0
I
0
2
2
I
00
2
I
3133.193cm
4
I
3.133
10
5
m
4
35
35
I
max
3133.193cm
4
I
max
3.133
10
5
m
4
I
min
I
0
I
0
2
I
0
I
0
2
2
I
00
2
I
min
886.67cm
4
I
min
8.867
10
6
m
4
Koło Mohra
Koło Mohra
36
36
Przykład 2
Przykład 2
37
37
Podział na figury proste
Podział na figury proste
B
38
38
A
B
C
Pole powierzchni
Pole powierzchni
A
A
a b
A
A
4.000
10
3
m
2
A
A
40cm
2
A
B
r
2
2
A
B
3.927
10
3
m
2
A
B
39.27cm
2
39
39
2
A
C
1
2
c d
A
C
6.000
10
4
m
2
A
C
6 cm
2
A
A
A
A
B
A
C
A
73.270cm
2
A
7.327
10
3
m
2
Momenty statyczne
Momenty statyczne
(1)
(1)
S
A
A
A
1
2
b
S
A
80cm
3
S
A
8.000
10
5
m
3
S
B
A
B
b
4
3
r
S
B
240.413cm
3
S
B
2.404
10
4
m
3
40
40
3
S
C
A
C
1
3
d
S
C
6 cm
3
S
C
6.000
10
6
m
3
S
S
A
S
B
S
C
S
314.413cm
3
S
3.144
10
4
m
3
Momenty statyczne
Momenty statyczne
(2)
(2)
S
A
A
A
r
S
A
200cm
3
S
A
2.000
10
4
m
3
S
B
A
B
1
2
a
S
B
196.35cm
3
S
B
1.963
10
4
m
3
41
41
2
S
C
A
C
a
1
3
c
S
C
52cm
3
S
C
5.200
10
5
m
3
S
S
A
S
B
S
C
S
344.35cm
3
S
3.443
10
4
m
3
Współrzędne środka
Współrzędne środka
ciężkości
ciężkości
0
S
A
0
4.291cm
0
4.291
10
2
m
S
42
42
A
B
C
0
A
0
4.7cm
0
4.700
10
2
m
Wariant A
Wariant A
Momenty bezwładności
Momenty bezwładności
(1)
(1)
I
A
a b
3
3
I
A
213.333cm
4
I
A
2.133
10
6
m
4
I
B
r
4
8
A
B
b
4 r
2
I
B
1540.422cm
4
I
B
1.540
10
5
m
4
43
43
I
B
r
8
9
A
B
b
3
I
B
1540.422cm
I
B
1.540
10
m
I
C
c d
3
36
A
C
1
3
d
2
I
C
9 cm
4
I
C
9.000
10
8
m
4
I
I
A
I
B
I
C
I
1744.755cm
4
I
1.745
10
5
m
4
Wariant A
Wariant A
Momenty bezwładności
Momenty bezwładności
(2)
(2)
I
A
a
3
b
3
I
A
1333.333cm
4
I
A
1.333
10
5
m
4
I
B
r
4
A
B
r
2
I
B
1227.185cm
4
I
B
1.227
10
5
m
4
44
44
I
B
r
8
A
B
r
2
I
B
1227.185cm
4
I
B
1.227
10
5
m
4
I
C
c
3
d
36
A
C
a
1
3
c
2
I
C
456cm
4
I
C
4.560
10
6
m
4
I
I
A
I
B
I
C
I
2104.518cm
4
I
2.105
10
5
m
4
Wariant A
Wariant A
Momenty odśrodkowe
Momenty odśrodkowe
(2)
(2)
I
A
a
2
b
2
4
I
A
400cm
4
I
A
4.000
10
6
m
4
I
B
0
A
B
r
b
4
3
r
I
B
1202.065cm
4
I
B
1.202
10
5
m
4
45
45
3
I
C
c
2
d
2
72
A
C
1
3
d
a
1
3
c
I
C
54cm
4
I
C
5.400
10
7
m
4
I
I
A
I
B
I
C
I
1548.065cm
4
I
1.548
10
5
m
4
Momenty bezwładności
Momenty bezwładności
względem osi własnych
względem osi własnych
I
0
I
A
0
2
I
0
395.559cm
4
I
0
3.956
10
6
m
4
I
I
A
2
I
486.165cm
4
I
4.862
10
6
m
4
46
46
I
0
I
A
0
2
I
0
486.165cm
4
I
0
4.862
10
6
m
4
I
00
I
A
0
0
I
00
70.406cm
4
I
00
7.041
10
7
m
4
Wariant B
Wariant B
Momenty bezwładności
Momenty bezwładności
(1)
(1)
I
A
0
a b
3
12
A
A
0
b
2
2
I
A
0
263.31cm
4
I
A
0
2.633
10
6
m
4
I
B
0
r
4
8
8
9
A
B
0
b
4
3
r
2
47
47
8
9
3
I
B
0
200.239cm
4
I
B
0
2.002
10
6
m
4
I
C
0
c d
3
36
A
C
0
1
3
d
2
I
C
0
67.99cm
4
I
C
0
6.799
10
7
m
4
I
0
I
A
0
I
B
0
I
C
0
I
0
395.559cm
4
I
0
3.956
10
6
m
4
Wariant B
Wariant B
Momenty bezwładności
Momenty bezwładności
(2)
(2)
I
A
0
a
3
b
12
A
A
0
a
2
2
I
A
0
336.94cm
4
I
A
0
3.369
10
6
m
4
I
B
0
r
4
8
A
B
0
r
2
I
B
0
248.977cm
4
I
B
0
2.490
10
6
m
4
48
48
I
B
0
8
A
B
0
r
I
B
0
248.977cm
I
B
0
2.490
10
m
I
C
0
c
3
d
36
A
C
0
a
1
3
c
2
I
C
0
99.752cm
4
I
C
0
9.975
10
7
m
4
I
0
I
A
0
I
B
0
I
C
0
I
0
486.165cm
4
I
0
4.862
10
6
m
4
Wariant B
Wariant B
Momenty odśrodkowe
Momenty odśrodkowe
I
A
00
0
A
A
0
b
2
0
a
2
I
A
00
27.518
cm
4
I
A
00
2.752
10
7
m
4
I
B
00
0
A
B
0
b
4
3
r
0
r
I
B
00
21.589cm
4
I
B
00
2.159
10
7
m
4
49
49
I
C
00
c
2
d
2
72
A
C
0
1
3
d
0
a
1
3
c
I
C
00
76.335
cm
4
I
C
00
7.633
10
7
m
4
I
00
I
A
00
I
B
00
I
C
00
I
00
70.406cm
4
I
00
7.041
10
7
m
4
Główne centralne osie
Główne centralne osie
bezwładności
bezwładności
(1)
(1)
2
0
0
atan
2I
00
I
0
I
0
50
50
0.999rad
57.241deg
0
2
0
0.500rad
0
28.620deg
Główne centralne osie
Główne centralne osie
bezwładności
bezwładności
(2)
(2)
B
x
y
51
51
A
B
C
Ekstremalne wielkości
Ekstremalne wielkości
momentów bezwładności
momentów bezwładności
I
max
I
0
I
0
2
I
0
I
0
2
2
I
00
2
4
6
4
52
52
I
max
524.583cm
4
I
max
5.246
10
6
m
4
I
min
I
0
I
0
2
I
0
I
0
2
2
I
00
2
I
min
357.14cm
4
I
min
3.571
10
6
m
4
Koło Mohra
Koło Mohra
53
53
Przykład 3
Przykład 3
Wyznaczyć położenie
Wyznaczyć położenie
głównych centralnych
głównych centralnych
osi bezwładności i
osi bezwładności i
główne momenty
główne momenty
y
c
y
k
y
1
54
54
główne momenty
główne momenty
bezwładności przekroju
bezwładności przekroju
złożonego z
złożonego z
kształtowników
kształtowników
walcowanych:
walcowanych:
x
c
x
k
x
1
kątownik 120x80x10
2
ceownik 200
2
Charakterystyki
Charakterystyki
geometryczne
geometryczne
x
y
c
ceownik 200
Ac
32.2cm
2
Ixc 1910cm
4
kątownik 120x80x10
Ak 19.1cm
2
Ixk 276cm
4
4
tg
0.435
Imaxk Ik
Ixyk tg Iyk Imaxk
4
Ixyk
9.535
10
7
m
4
55
55
x
c
x
k
y
k
Iyc
148cm
4
eyc
2.01cm
hc
200mm
Ixyc 0m
4
Iyk
98.1cm
4
k 56.8cm
4
Ik 317.3cm
4
exk 3.92cm
eyk
1.95cm
hk 120mm
Ixyk
95.352
cm
4
Ixyk
9.535
10
7
m
4
Pola powierzchni:
Pola powierzchni:
Współrzędne środków ciężkości:
Współrzędne środków ciężkości:
Momenty statyczne
Momenty statyczne
(1)
(1)
Af Ak Ac
Af 51.3cm
2
Af 5.13 10
3
m
2
y
c
x
k
y
k
y
1
Momenty statyczne:
Momenty statyczne:
56
56
y1k hc hk
exk
y1k 0.119m
y1k 11.92cm
y1c
hc
2
y1c 10cm
y1c 0.1m
Sx1c Ac y1c
Sx1c 322cm
3
Sx1c 3.22 10
4
m
3
Sx1k Ak y1k
Sx1k 227.672cm
3
Sx1k 2.277 10
4
m
3
Sx1f Sx1c Sx1k
Sx1f 549.672cm
3
Sx1f 5.497 10
4
m
3
x
c
x
k
x
1
Momenty statyczne
Momenty statyczne
(2)
(2)
x
y
c
x
k
y
k
y
1
x1k eyk
x1k 1.95cm
x1k 0.02m
x1c
eyc
x1c
0.02
m
x1c
2.01
cm
Współrzędne środków ciężkości:
Współrzędne środków ciężkości:
57
57
x
c
x
1
x1c
eyc
x1c
0.02
m
x1c
2.01
cm
Sy1c
Ac x1c
Sy1c
64.722
cm
3
Sy1c
6.472
10
5
m
3
Sy1k Ak x1k
Sy1k 37.245cm
3
Sy1k 3.725 10
5
m
3
Sy1f
Sy1c Sy1k
Sy1f
27.477
cm
3
Sy1f
2.748
10
5
m
3
Momenty statyczne:
Momenty statyczne:
Współrzędne środka
Współrzędne środka
ciężkości przekroju
ciężkości przekroju
y
c
y
k
y
1
y
0
x0
Sy1f
Af
58
58
x
c
x
k
x
1
x
1
x
1
x
1
x
0
y0
Sx1f
Af
y0 10.715cm
y0 0.107m
Af
x0
0.536
cm
x0
5.356
10
3
m
Momenty bezwładności
Momenty bezwładności
i moment odśrodkowy
i moment odśrodkowy
y
c
y
k
y
1
y
0
Ix0 Ixk Ak y1k y0
2
Ixc
Ac y1c y0
2
Ix0 2230.195cm
4
Ix0 2.23 10
5
m
4
I
I
A
x
x
2
I
A
x
x
2
59
59
x
c
x
k
x
1
x
1
x
1
x
1
x
0
Iy0
Iyk Ak x1k x0
2
Iyc
Ac x1c x0
2
Iy0 434.102cm
4
Iy0 4.341 10
6
m
4
Ix0y0 Ixyk Ak x1k x0
y1k y0
Ixyc Ac x1c x0
y1c y0
Ix0y0
4.2
cm
4
Ix0y0
4.2
10
8
m
4
Główne centralne osie
Główne centralne osie
bezwładności
bezwładności
(1)
(1)
1
2Ix0y0
y
c
y
k
y
1
y
60
60
2
0
atan
2Ix0y0
Iy0 Ix0
0.005rad
0.268deg
0
2
0
0.002rad
0
0.134deg
x
c
x
k
x
1
x
1
x
1
x
1
x
Ekstremalne wielkości
Ekstremalne wielkości
momentów bezwładności
momentów bezwładności
Imax
Ix0 Iy0
2
Ix0 Iy0
2
2
Ix0y0
2
I
2230.205cm
4
I
2.23
10
5
m
4
y
c
y
k
y
1
y
61
61
Imax 2230.205cm
4
Imax 2.23 10
5
m
4
Imin
Ix0 Iy0
2
Ix0 Iy0
2
2
Ix0y0
2
Imin 434.092cm
4
Imin 4.341 10
6
m
4
x
c
x
k
x
1
x
1
x
1
x
1
x
Koło Mohra
Koło Mohra
62
62