Modele VAR

Modele VEqCM

Modele VAR i VEqCM  zagadnienia praktyczne

Ekonometria Szeregów Czasowych

Karolina Konopczak

17 kwietnia 2010

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM

Modele VAR

Modele VEqCM

Plan prezentacji

1

Modele VAR

2

Modele VEqCM

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM

Modele VAR

Modele VEqCM

Plan prezentacji

1

Modele VAR

2

Modele VEqCM

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM

Modele VAR

Modele VEqCM

Modele VAR - wprowadzenie (1)

Modele VAR pojawiªy si¦ w ekonometrii w latach osiemdziesi¡tych

(Sims, 1980) jako odpowied¹ na wady wielkich modeli

strukturalnych:

apriorycznie (na podstawie teorii) okre±lony podziaª na zmienne

endogeniczne i egzogeniczne
apriorycznie okre±lana struktura dynamiczna (rz¡d opó¹nie«) systemu

[zwykle niewystarczaj¡ca dynamizacja systemu]
problem identykacji równa« w modelu wielorównaniowym [wª¡czanie

zmiennych do równa« lub nakªadanie restrykcji zerowych wyª¡cznie celem

osi¡gni¦cia identykowalno±ci systemu]
sªabe wªasno±ci prognostyczne [ nierzadko gorsze pod wzgl¦dem ±rednich

bª¦dów prognozy od prognoz naiwnych]

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM

Modele VAR

Modele VEqCM

Modele VAR - wprowadzenie (2)

Wªasno±ci modeli VAR:

brak podziaªu a priori na zmienne endogeniczne i egzogeniczne [nie ma

potrzeby narzucania struktury powi¡za« mi¦dzy zmiennymi]
ateoretyczno±¢ [uwaga skupiona na dynamicznych wªasno±ciach szeregów],

aczkolwiek sam wybór zmiennych do modelu podyktowany jest teori¡
bardzo dobre wªasno±ci prognostyczne w krótkim okresie
parametry w zasadzie nieinterpretowalne, za± ze wzgl¦du na siln¡

wspóªliniowo±¢, istotno±ci zmiennych nie mo»na testowa¢ za pomoc¡

standardowych statystyk t-Studenta

w zwi¡zku z tym przydatno±¢ modelu VAR do analizy okre±lana jest na

podstawie innych  specycznych dla modeli VAR  kryteriów:

ksztaªt oraz znak funkcji reakcji na impuls

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM

Modele VAR

Modele VEqCM

Modele VAR - posta¢ zredukowana (1)

VAR(p):

y

t

=

A

0

D

t

+

A

1

y

t−1

+

A

2

y

t−2

+ ... +

A

p

y

t−p

+ ε

t

y

t

= [

y

1t

y

t2

...

y

tk

]

T

- wektor zmiennych endogenicznych

D

t

- wektor zmiennych deterministycznych (staªa, trend, zmienne 0-1, zmienne

sezonowe)
A

0

- macierz parametrów przy zmiennych deterministycznych

A

i

i = 1, ..., p - macierz parametrów (kxk) przy i-ych opó¹nieniach zmiennych

endogenicznych
ε

t

- k-wymiarowy wektor skªadników losowych (zaªo»enie o biaªoszumowo±ci)

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM

Modele VAR

Modele VEqCM

Modele VAR - posta¢ zredukowana (2)

Model VAR(p) dla k zmiennych endogenicznych skªada si¦ z k

równa« o identycznej strukturze  w ka»dym równaniu w roli

zmiennych obja±niaj¡cych wyst¦puje p opó¹nie« wszystkich

zmiennych w systemie (oraz zmienne deterministyczne):
i-te równanie modelu:

y

it

=

a

0

D

t

+

a

1,i1

y

1,t−1

+

a

1,i2

y

2,t−1

+ ... +

a

1,ik

y

k,t−1

+

+

a

2,i1

y

1,t−2

+

a

2,i2

y

2,t−2

+ ... +

a

2,ik

y

k,t−2

+ ...

... +

a

p,i1

y

1,t−p

+

a

p,i2

y

2,t−p

+ ... +

a

p,ik

y

k,t−p

+ ε

it

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM

Modele VAR

Modele VEqCM

Estymacja modeli VAR (1)

w przypadku zredukowanej postaci modelu VAR (posta¢ bez

równoczesnych powi¡za« pomi¦dzy zmiennymi) nie wyst¦puje

problem endogeniczno±ci (skorelowania zmiennych

obja±niaj¡cych ze skªadnikiem losowym, które skutkuje

niezgodno±ci¡ estymatorów)
z tego wzgl¦du model mo»e by¢ szacowany za pomoc¡ KMNK

(ka»de równanie oddzielnie)
w przypadku, gdy macierz wariancji-kowariancji skªadnika

losowego jest diagonalna (brak autokorelacji skªadnika

losowego) estymator MNW (metody najwi¦kszej

wiarygodno±ci) jest identyczny z estymatorem KMNK

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM

Modele VAR

Modele VEqCM

Rz¡d opó¹nienia modelu VAR (1)

Standardowe testy istotno±ci parametrów (t-Studenta) nie

powinny by¢ stosowane ze wzgl¦du na du»y stopie«

wspóªliniowo±ci zmiennych w modelu
Rz¡d opó¹nienia modelu VAR dobieramy na podstawie:

kryteriow informacyjnych (Akaike, Schwarza, Hannana-Quinna)



wybieramy opó¹nienie, dla którego warto±¢ kryteriów jest

najmniejsza

w przypadku niekonkluzywno±ci wskaza« kryteriów

informacyjnych nale»y wybra¢ ten rz¡d opó¹nie«, który

gwarantuje brak autokorelacji oraz normalno±¢ skªadnika

losowego

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM

Modele VAR

Modele VEqCM

Rz¡d opó¹nienia modelu VAR (2)

Rz¡d opó¹nienia modelu VAR dobieramy na podstawie (c.d.):

testu ilorazu wiarygodno±ci

 test ª¡cznej istotno±ci kolejnych (od

ko«ca) opó¹nie« wszystkich zmiennych w poszczególnych

równaniach:

H

0

:

dane potwierdzaj¡ zasadno±¢ naªo»onych restrykcji

LR = T (logL

R

−

logL

U

) ∼ χ

2

liczba_restrykcji

logL

R

- logarytm naturalny funkcji wiarygodno±ci modelu z

restrykcjami [restrykcje zerowe naªo»one na ostatnie opó¹nienie]

logL

U

- logarytm naturalny funkcji wiarygodno±ci modelu bez

restrykcji

liczba restrykcji = liczba parametrów, na które naªo»ono

restrykcj¦ zerow¡

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM

Modele VAR

Modele VEqCM

Stabilno±¢ modelu VAR

Podej±cie analogiczne do badania stacjonarno±ci modelu

jednowymiarowego (AR):

A(L)y

t

= ε

t

A(L) = (I

k

−

A

1

L − A

2

L

2

− ... −

A

p

L

p

)

Wielomian charakterystyczny:

Π(

z) = (I

k

−

A

1

z − A

2

z

2

− ... −

A

p

z

p

)

|Π(

z)|=0

Model VAR jest stabilny (a zarazem wszystkie zmienne endogeniczne s¡

stacjonarne), je»eli wszystkie warto±ci wªasne macierzy (pierwiastki

wielomianu charakterystycznego) s¡ co do moduªu wieksze od jedno±ci.

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM

Modele VAR

Modele VEqCM

Autokorelacja skªadnika losowego (1)

brak autokorelacji skªadnika losowego jest bardzo wa»nym

zaªo»eniem modelu VAR
wyst¦powanie autokorelacji ±wiadczy o niedostatecznej

dynamizacji modelu (a uwzgl¦dnienie wªasno±ci dynamicznych

procesów jest jednym z gªównych atutów modeli VAR)
z tego wzgl¦du zaªo»enie to nale»y bezwzgl¦dnie testowa¢ i w

przypadku wykrycia autokorelacji dokona¢ respecykacji

modelu (np. poprzez zwi¦kszenie rz¦du opó¹nie«)

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM

Modele VAR

Modele VEqCM

Autokorelacja skªadnika losowego (2)

Test Breuscha-Godfrey'a

H

0

: brak autokorelacji skªadnika losowego do danego rz¦du (q) wª¡cznie

[C

1

=

C

2

= ... =

C

q

=

0]

Regresja testowa:
ε

t

=

B

1

y

t−1

+

B

2

y

t−2

+ ... +

B

p

y

t−p

+

C

1

ε

t−1

+

C

2

ε

t−2

+ ... +

C

q

ε

t−q

+ ζ

t

Statystyka testowa:

LR = T [logL

R

−

logL

U

] ∼ χ

2

liczba_restrykcji

Liczba restrykcji: q*k*k

U [Unrestricted] - model bez ogranicze«

R [Restricted] - model z ograniczeniami

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM

Modele VAR

Modele VEqCM

Normalno±¢ skªadnika losowego

normalno±¢ rozkªadu skªadnika losowego nie stanowi zaªo»enia schematu

Gaussa-Markova (nie wpªywa na wªasno±ci estymatora KMNK)
tym niemniej, normalno±¢ gwarantuje nam, i» statystyki testowe maj¡

odpowiednie rozkªady (np. statystyki ilorazu wiarygodno±ci)
na podstawie wskaza« testów badacz podejmuje kluczowe dla dalszej

analizy decyzje (np. okre±lenie rz¦du opó¹nienia modelu czy

wnioskowanie na temat wyst¦powania autokorelacji skªadnika losowego)
wielowymiarowe uogólnienie testu Jarque-Bery  test Dornika-Hansena

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM

Modele VAR

Modele VEqCM

Plan prezentacji

1

Modele VAR

2

Modele VEqCM

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM

Modele VAR

Modele VEqCM

Model VEqCM

Model korekty równowag¡ (VEqCM)

Wyprowadzenie analogiczne do modelu ECM:

VAR(p) [zbudowany na zmiennych niestacjonarnych]:

y

t

=

A

0

D

t

+

A

1

y

t−1

+

A

2

y

t−2

+ ... +

A

p

y

t−p

+ ε

t

Przej±cie od modelu VAR do VEqCM:

y

t

=

A

1

y

t−1

+

A

2

y

t−2

+ ... +

A

p

y

t−p

+ ε

t

+

+

y

t−1

−

y

t−1

+ (

A

1

−

I )y

t−2

− (

A

1

−

I )y

t−2

+

+(

A

1

+

A

2

−

I )y

t−3

− (

A

1

+

A

2

−

I )y

t−3

+ ...

Model VEqCM (Vector Equilibrium Correction Model):
∆

y

t

=

P

p−1

i=1

Π

i

∆

y

t−i

+ Π

y

t−1

+ 

t

Π =

P

p

i=1

A

i

−

I

Π

i

= −

P

p

j=i+1

A

j

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM

Modele VAR

Modele VEqCM

Badanie kointegracji w ramach modelu VEqCM

Rz¡d macierzy Q jest równy liczbie niezale»nych wektorów

kointegruj¡cych:

rz Q = 0 ⇐⇒ Q = 0  brak kointegracji mi¦dzy zmiennymi w

systemie [szacowany jest model VAR na przyrostach]

rz Q = k  wszystkie zmienne w systemie s¡ stacjonarne

[szacowany jest model VAR na poziomach]

0 < rz Q < k  liczba wektorów kointegruj¡cych w systemie

(wymiar przestrzeni kointegruj¡cej) = rz Q

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM

Modele VAR

Modele VEqCM

Badanie rz¦du macierzy Q

Rz¡d macierzy jest równy liczbie jej niezerowych warto±ci wªanych,

a wi¦c testy rz¦du kointegracji polegaj¡ na badaniu, czy wartosci

wlasne macierzy Q s¡ istotnie ró»ne od zera [bo dysponujemy

jedynie oszacowaniem macierzy].

1

Test ±ladu:

H

0

:

R = r

H

1

:

R > r

TRACE = −T P

k

i=r+1

ln(1 − ˆ

λ

i

) ∼ χ

2

liczba restrykcji

2

Test najwi¦kszej warto±ci wªasnej:

H

0

:

R = r

H

1

:

R = r + 1

MAX = −Tln(1 − ˆ

λ

r+1

) ∼ χ

2

liczba restrykcji

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM

Modele VAR

Modele VEqCM

Dekompozycja macierzy Q

do zbadania rz¦du kointegracji potrzeba jedynie oszacowa¢

oraz zbada¢ rz¡d macierzy Q
do wyznaczenia interpretowalnych ekonomicznie relacji

kointegruj¡cych nale»y dokona¢ dekompozycji macierzy Q:

Q = αβ

T

β

- macierz wektorów kointegruj¡cych (kxr)

α

- macierz dostosowa« (kxr)

do tego, aby zdekomponowa¢ macierz Q nale»y naªo»y¢ r

2

restrykcji na wektory kointegruj¡ce (w przypadku jednego

wektora kointegruj¡cego wystarczy restrykcja normalizacyjna,

w przypadku wi¦kszej liczby wektorów  konieczne s¡ jeszcze

inne restrykcje)

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM

Modele VAR

Modele VEqCM

Restrykcje w modelu VEqCM

restrykcje nakªadane na parametry wektorów kointegruj¡cych

(normalizacja, restrykcje zerowe, restrykcje zgodne z teori¡

ekonomii)
sªaba egzogeniczno±¢ k-ej zmiennej (k-a zmienna nie

dostosowuje si¦ do trajektorii dªugookresowych wynikaj¡cych z

relacji kointegracyjnych):

H

0

: α

k1

= α

k2

= ... = α

kr

H

1

: ∃

s

α

ks

6=

0, s = 1, ..., r

mocna egzogeniczno±¢ = sªaba egzogeniczno±¢ + brak

przyczynowo±ci w sensie Grangera

Denicja

Zmienna x jest przyczyn¡ w sensie Grangera zmiennej y, je»eli bie»¡ce warto±ci

zmiennej y mo»na wyprognozowa¢ z wi¦ksz¡ dokªadno±ci¡ (mniejszy bª¡d prognozy)

korzystaj¡c z przeszªych warto±ci zmiennej x ni» nie korzystaj¡c z nich.

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM

Modele VAR

Modele VEqCM

Testowanie restrykcji w modelu VEqCM

W przypadku nadidentykowalno±ci systemu, mo»emy testowa¢

zasadno±¢ naªo»onych restrykcji.

Test ilorazu wiarygodno±ci:

H

0

:

wprowadzenie restrykcji byªo zasadne

Statystyka testowa:

LR = T [logL

R

−

logL

U

] ∼ χ

2

liczba_restrykcji

U [Unrestricted] - model bez ogranicze«

R [Restricted] - model z ograniczeniami

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM

Modele VAR

Modele VEqCM

Przykªad

Zmienne w systemie:

mp  realna poda» pieni¡dza [M1]

Dp  deator konsumpcji (inacja)

i  realna konsumpcja

Rnet  stopa procentowa netto = stopa od aktywów niepieni¦»nych

- stopa od aktywów pieni¦»nych (wkªady pªatne na »¡danie)

Karolina Konopczak

VAR i VEqCM