Modele VAR
Wst¦p do ekonometrii szeregów czasowych ¢wiczenia 5
Andrzej Torój
19 marca 2010
Andrzej Torój
Plan prezentacji
1
2
3
4
5
Andrzej Torój
Plan prezentacji
1
2
3
4
5
Andrzej Torój
Modele VAR - wprowadzenie (1)
Modele VAR pojawiªy si¦ w ekonometrii w latach osiemdziesi¡tych
(
Sims, 1980
) jako odpowied¹ na wady wielkich modeli
strukturalnych:
apriorycznie (na podstawie teorii) okre±lony podziaª na zmienne
endogeniczne i egzogeniczne
apriorycznie okre±lana struktura dynamiczna (rz¡d opó¹nie«) systemu
[zwykle niewystarczaj¡ca dynamizacja systemu]
problem identy kacji równa« w modelu wielorównaniowym [wª¡czanie
zmiennych do równa« lub nakªadanie restrykcji zerowych wyª¡cznie celem
osi¡gni¦cia identy kowalno±ci systemu]
sªabe wªasno±ci prognostyczne [nierzadko gorsze pod wzgl¦dem ±rednich
bª¦dów prognozy od prognoz naiwnych]
Andrzej Torój
Modele VAR - wprowadzenie (2)
Wªasno±ci modeli VAR:
brak podziaªu a priori na zmienne endogeniczne i egzogeniczne [nie ma
potrzeby narzucania struktury powi¡za« mi¦dzy zmiennymi]
ateoretyczno±¢ [uwaga skupiona na dynamicznych wªasno±ciach szeregów],
aczkolwiek sam wybór zmiennych do modelu podyktowany jest teori¡
bardzo dobre wªasno±ci prognostyczne w krótkim okresie
parametry w zasadzie nieinterpretowalne, za± ze wzgl¦du na siln¡
wspóªliniowo±¢, istotno±ci zmiennych nie mo»na testowa¢ za pomoc¡
standardowych statystyk t-Studenta
w zwi¡zku z tym przydatno±¢ modelu VAR do analizy okre±lana jest
na podstawie innych specy cznych dla modeli VAR kryteriów:
ksztaªt oraz znak funkcji reakcji na impuls
kryteria informacyjne (rozstrzyganie mi¦dzy konkurencyjnymi
modelami najcz¦±ciej rz¦dami opó¹nie«)
Andrzej Torój
Plan prezentacji
1
2
3
4
5
Andrzej Torój
Modele VAR - posta¢ zredukowana (1)
VAR(p):
y
t
=
A
0
D
t
+
A
1
y
t−1
+
A
2
y
t−2
+ ... +
A
p
y
t−p
+ ε
t
y
t
= [
y
1t
y
t2
...
y
tk
]
T
- wektor zmiennych endogenicznych
D
t
wektor zmiennych deterministycznych (staªa, trend, zmienne 0-1, zmienne
sezonowe)
A
0
macierz parametrów (k × k) przy zmiennych deterministycznych
A
i
i = 1, ..., p macierz parametrów (k × k) przy i-tych opó¹nieniach
zmiennych endogenicznych
ε
t
k-wymiarowy wektor skªadników losowych (zaªo»enie o biaªoszumowo±ci)
Andrzej Torój
Modele VAR - posta¢ zredukowana (2)
Model VAR(p) dla k zmiennych endogenicznych skªada si¦ z k
równa« o identycznej strukturze w ka»dym równaniu w roli
zmiennych obja±niaj¡cych wyst¦puje p opó¹nie« wszystkich
zmiennych w systemie (oraz zmienne deterministyczne):
i-te równanie modelu:
y
it
=
a
0
D
t
+
a
1,i1
y
1,t−1
+
a
1,i2
y
2,t−1
+ ... +
a
1,ik
y
k,t−1
+
+
a
2,i1
y
1,t−2
+
a
2,i2
y
2,t−2
+ ... +
a
2,ik
y
k,t−2
+ ...
... +
a
p,i1
y
1,t−p
+
a
p,i2
y
2,t−p
+ ... +
a
p,ik
y
k,t−p
+ ε
it
Andrzej Torój
Zadanie A
Rozwa»amy model VAR transmisji montarnej z udziaªem trzech
zmiennych: luki PKB (y
t
), realnej stopy procentowej (r
t
) i stopy
in acji (π
t
). W modelu s¡ 2 opó¹nienia i staªa.
1
Zapisz równanie modelu. W przypadku macierzy parametrów
wska» ich wymiary.
2
Ile parametrów nale»y w sumie oszacowa¢?
3
Otwórz plik transmisja_USA.gdt i oce« stopie« zintegrowania
wszystkich trzech szeregów.
Andrzej Torój
Estymacja modeli VAR
w przypadku zredukowanej postaci modelu VAR (posta¢ bez
równoczesnych powi¡za« pomi¦dzy zmiennymi) nie wyst¦puje
problem endogeniczno±ci (skorelowania zmiennych
obja±niaj¡cych ze skªadnikiem losowym, które skutkuje
niezgodno±ci¡ estymatorów)
z tego wzgl¦du model mo»e by¢ szacowany za pomoc¡
KMNK (ka»de równanie oddzielnie)
Model -- Modele szeregów czasowych -- Model wektorowej
autoregresji
Andrzej Torój
Plan prezentacji
1
2
3
4
5
Andrzej Torój
Dobór rz¦du opó¹nie«
jedyna oprócz skªadu wektora zmiennych i ew. komponentów
deterministycznych decyzja w sprawie specy kacji modelu
kryteria:
kryteria informacyjne (AIC, HQC, SIC) ich warto±ci zale»¡
od (i) stopnia dopasowania do danych (+), (ii) liczby
oszacowanych parametrów (-)
brak autokorelacji skªadnika losowego
testu zasadno±ci restrykcji, jakie wi¡»¡ si¦ z zerowymi
parametrami przy wy»szych rz¦dach opó¹nie«
Andrzej Torój
Kryteria informacyjne
AIC
=
ln
1
T
T
P
t=1
ˆ
ε
2
t
+
2k
T
SIC (BIC) = ln
1
T
T
P
t=1
ˆ
ε
2
t
+
k·ln(T )
n
HQC
=
ln
1
T
T
P
t=1
ˆ
ε
2
t
+
2k·ln[ln(T )]
T
Wybieramy warto±¢ jak najni»sz¡.
Model -- Modele szeregów czasowych -- Wybór rz¦du
opó¹nienia dla modelu VAR
UWAGA
SIC zawsze jest bardziej restrykcyjne, je»eli chodzi o liczb¦
opó¹nie«.
Andrzej Torój
Test restrykcji LR
testu ilorazu wiarygodno±ci
test istotno±ci kolejnych opó¹nie« wszystkich
zmiennych w poszczególnych równaniach:
H
0
:
dane potwierdzaj¡ zasadno±¢ naªo»onych restrykcji (mniejszy rz¡d
opó¹nie«)
LR = T (logL
R
−
logL
U
) ∼ χ
2
liczba_restrykcji
logL
R
- logarytm naturalny funkcji wiarygodno±ci modelu z restrykcjami
[restrykcje zerowe naªo»one na ostatnie opó¹nienie]
logL
U
- logarytm naturalny funkcji wiarygodno±ci modelu bez restrykcji
liczba restrykcji = liczba parametrów, na które naªo»ono restrykcj¦ zerow¡
Andrzej Torój
Testy reszt losowych w modelu VAR
test autokorelacji Q (Ljunga-Boxa): H
0
nie wyst¦puje
autokorelacja skªadnika losowego do rz¦du p wª¡cznie
rozwi¡zanie: wy»szy rz¡d opó¹nie«
test normalno±ci rozkªadu reszt (Doornika-Hansena
wielowymiarowe uogólnienie testu Jarque-Bera): H
0
rozkªad
reszt losowych jest normalny
rozwi¡zanie: np. zmienne zerojedynkowe przy obserwacjach
odstaj¡cych (jaki jest schemat badawczy...?)
test efektów ARCH: H
0
nie wyst¦puj¡ efekty ARCH (brak
staªej wariancji skªadnika losowego dokªadniej na nast¦pnych
zaj¦ciach)
rozwi¡zanie: model z efektami ARCH (na nast¦pnych
zaj¦ciach)
Andrzej Torój
Stabilno±¢ modelu koªo jednostkowe
przez analogi¦ do procesów AR: warto±ci wªasne odpowiedniej
macierzy musz¡ by¢ co do moduªu <1 (le»e¢ wewn¡trz koªa
jednostkowego)
dla modelu VAR(1): y
t
=
A
1
y
t−1
+ ε
t
badamy macierz A
1
:
|
A
1
− λ
I| = 0
dla modelu VAR(2) i wy»szych rz¦dów opó¹nie« tworzymy i
badamy tzw. macierz towarzysz¡c¡ (ang.
comanion/accompanying matrix), np.
y
t
=
A
1
y
t−1
+
A
2
y
t−2
+ ε
t
y
t
y
t−1
=
A
1
A
2
I
0
|
{z
}
T (macierz towarzyszaca)
y
t−1
y
t−2
+
ε
t
0
|
T − λI| = 0
Andrzej Torój
Przykªad stabilnego modelu VAR
Pierwiastki równania charakterystycznego VAR
Andrzej Torój
Zadanie B
Oszacuj model VAR dla 3 zmiennych z zadania A, a nast¦pnie:
1
sprawd¹, czy rz¡d opó¹nie« zostaª dobrany optymalnie i
ewentualnie zwery kuj podj¦t¡ decyzj¦;
2
sprawd¹, czy przy ostatecznie wybranym rz¦dzie opó¹nie« nie
wyst¦puje autokorelacja skªadnika losowego i ewentualnie wró¢
do kroku 1;
3
sprawd¹, czy model jest stabilny;
4
sprawd¹, czy skªadnik losowy ma rozkªad normalny...
5
... i czy wyst¦puj¡ efekty ARCH.
Andrzej Torój
Plan prezentacji
1
2
3
4
5
Andrzej Torój
Prognoza zadanie C
1
Oszacowano model VAR(1) postaci
x
t
y
t
z
t
=
0, 7 0, 1
−
0, 1
0
0, 5
0, 2
0, 1 −0, 2 0, 6
x
t−1
y
t−1
z
t−1
+
ε
1t
ε
2t
ε
3t
.
Wiemy, »e w 4 kwartale roku 2009 zmienne uksztaªtowaªy si¦
na poziomach
1
0, 5
2
. Sporz¡d¹ (np. w arkuszu
kalkulacyjnym) prognozy dla pierwszych dwóch kwartaªów roku
2009.
2
Sporz¡d¹ prognoz¦ dla 4 kolejnych okresów (poza prób¡) przy
u»yciu modelu oszacowanego w zadaniu B.
Andrzej Torój
Funkcje odpowiedzi na impuls (IRF)
x
t
y
t
z
t
=
A
1
x
t−1
y
t−1
z
t−1
+ . . . +
ε
1t
ε
2t
ε
3t
jak b¦d¡ zmieniaªy si¦ poszczególne zmienne w modelu po 1, 2, 3...
okresach od wyst¡pienia jednostkowego zaburzenia ε
1
(ε
2
, ε
3
)?
narz¦dzie ekonomicznej interpretacji i oceny modelu
PROBLEM: czym wªa±ciwie jest ε
t
i jak zada¢ impuls, je»eli
mamy jednoczesne zwi¡zki mi¦dzy zmiennymi? → modele SVAR
Andrzej Torój
Plan prezentacji
1
2
3
4
5
Andrzej Torój
Praca domowa 4
Spróbuj skonstruowa¢ model VAR obrazuj¡cy mechanizm transmisji
monetarnej w Polsce (przez analogi¦ do przykªadu USA na
zaj¦ciach). Zbierz odpowiednie dane. Dokonaj odpowiedniej
wery kacji danych i modelu. Udokumentuj i omów napotkane
problemy.
Andrzej Torój
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Prognozowanie zmiennosci VaR
ESzCz VAR VEqCM2
ZAAWANSOWANY MODEL VaR
Kleine Schrauben Vallisnerie Vallisneria Spiralis Var Aquaristik Aquarium
Dynapower Gen II 12 0cu Pump Motor Var Mtr & Pump Valve Parts
Dynapower Gen II 9 0cu Pump Motor Var Mtr & Pump Valve Parts
Bent Axis Var Motor Quick Reference Parts
M46 Var Pump Quick Reference Parts
kolo, ஜ z==var, z-0-1, śpiewniki
zastosowania var
Api Life Var
Ebru Gundes Seninle vok isim var
Dynapower Gen II 21 0cu Pump Motor Var Mtr & Pump Valve Parts
M46 Var Motor Quick Reference Parts
Rzodkiewka Raphanus sativus var
BADANIE STOPNIA INTEGRACJI I VAR
Jéghegyek Népe 1 Varázslat
Dynapower Gen II 9 0cu Pump Motor Var Mtr & Pump Valve Parts
więcej podobnych podstron