Wydział: WiLiŚ, Budownictwo, sem.3

dr Jolanta Dymkowska

Całka krzywoliniowa niezorientowana

Zad.1 Oblicz

R

L

x

2

+ y

2

dl , gdzie krzywa L jest odcinkiem łączącym punkty A(1, 1) i B(4, 4) .

Zad.2 Oblicz

R

L

( 2x − y ) dl , gdzie krzywa L jest odcinkiem łączącym punkty A(2, 2) i B(−2, 4) .

Zad.3 Oblicz

R

L

y dl , gdzie krzywa L jest łukiem paraboli y

2

= 4x , łączącym punkty O(0, 0) i P (1, 2) .

Zad.4 Oblicz

R

L

y dl , gdzie L jest łukiem krzywej y = x

3

, łączącym punkty A(1, 1) i B(2, 8) .

Zad.5 Oblicz

R

L

xy

z

dl , gdzie L jest odcinkiem łączącym punkty A(1, 1, 1) i B(2, 3, 4) .

Zad.6 Oblicz

R

L

x

y

4

dl , gdzie L jest łukiem krzywej y =

1

x

dla 1

6 x 6 2 .

Zad.7 Oblicz

R

L

2y cos x dl , gdzie L jest łukiem krzywej y = sin x dla 0 6 x 6

π

2

.

Zad.8 Oblicz

R

L

q

1 +

9
4

x dl , gdzie L jest łukiem krzywej y = x

√

x dla 0 6 x 6 4 .

Zad.9 Oblicz

R

L

( x + y ) dl , gdzie L jest trójkątem OAB dla O(0, 0) , A(1, 0) i B(0, 1) .

Zad.10 Oblicz

R

L

6xy

2

dl , gdzie L jest częścią okręgu x =

1
3

cos t , y =

1
3

sin t dla 0 6 t 6

π

4

.

Zad.11 Oblicz

R

L

ye

−x

dl , gdzie L jest krzywą zadaną parametrycznie wzorami: x = ln(1 + t

2

) , y = 2arctg t − t + 3

dla 0

6 t 6 1 .

Zad.12

Oblicz

R

L

xz

1+2y

dl , gdzie L jest krzywą zadaną parametrycznie wzorami:

x = t , y = t

2

, z =

2
3

t

3

dla

0 6 t 6 1 .

Zad.13

Oblicz

R

L

xy dl , gdzie L jest krzywą zadaną parametrycznie wzorami:

x = e

t

, y = e

−t

, z =

√

2t dla

0 6 t 6 1 .

Zad.14 Oblicz

R

L

xy dl , gdzie L jest brzegiem kwadratu: |x| + |y| 6 1 .

Zad.15

Oblicz

R

L

x ( y + z ) dl , gdzie L jest linią śrubową zadaną wzorami:

x = cos t , y = sin t , z =

3
4

t dla

0 6 t 6 2π .

Zad.16 Oblicz

R

L

z dl , gdzie L jest krzywą zadaną wzorami: x = t cos t , y = t sin t , z = t dla 0 6 t 6 1 .

Zad.17 Oblicz

R

L

x

2

y dl , gdzie L jest krzywą zadaną wzorami: x = 2 cos t

2

, y = 2 sin t

2

, dla 0

6 t 6

p

π

2

.

Zad.18 Oblicz, korzystając z całki krzywoliniowej, długość łuku krzywej y = ln x , gdzie 2

6 x 6 5 .

Zad.19 Oblicz, korzystając z całki krzywoliniowej, długość łuku krzywej x = 7 cos t , y = 7 sin t dla 0

6 t 6

3
4

π .

Zad.20 Oblicz, korzystając z całki krzywoliniowej, długość łuku krzywej x = t − sin t , y = 1 − cos t dla 0

6 t 6 2π .

Zad.21 Oblicz, korzystając z całki krzywoliniowej, długość łuku krzywej zadanej we współrzędnych biegunowych wzorem

r(ϕ) = 1 + cos ϕ dla 0 6 ϕ 6 π .

Zad.22 Oblicz, korzystając z całki krzywoliniowej, długość łuku krzywej zadanej we współrzędnych biegunowych wzorem

r(ϕ) = 3 sin

3 1

3

ϕ dla 0 6 ϕ 6 3π .

Zad.23

Oblicz masę odcinka o końcach A(1, 2) i B(−11, 11) , którego gęstość w każdym punkcie jest równa

1

30

kwadratu odległości tego punktu od środka układu współrzędnych.

Zad.24 Oblicz masę łuku krzywej y =

√

x , gdzie 0 6 x 6 2 , jezeli gęstość w punkcie (x, y) wynosi x

√

x .

Zad.25 Oblicz masę łuku krzywej y = e

−2x

, gdzie 0

6 x 6 1 , jezeli gęstość w każdym punkcie jest równa kwadratowi

jego odległości od osi OX.

Zad.26

Oblicz masę linii śrubowej x = 4 cos 2t , y = 4 sin 2t , z = 3t dla 0

6 t 6 2π , jeżeli gęstość w punkcie

odpowiadającym parametrowi t wynosi 1 +

q

t

2π

. Podaj długość tej linii.

Zad.27 Wyznaczyć moment statyczny względem osi OY łuku krzywej y = x

2

, gdzie 0

6 x 6 1 .

Zad.28 Oblicz współrzędne środka ciężkości jednorodnego łuku krzywej x = t − sin t , y = 1 − cos t dla 0

6 t 6 2π .

Zad.29 Oblicz współrzędne środka ciężkości jednorodnej linii śrubowej x = cos t , y = sin t , z = t dla 0

6 t 6

π

2

.

Zad.30 Wyznaczyć moment bezwładności względem osi OX łuku krzywej y = e

x

, gdzie 0

6 x 6 1 .

Zad.31 Oblicz pole powierzchni bocznej walca x

2

+ y

2

= 1 ograniczonej powierzchniami z = 0 i z = 2 + x .

Zad.32 Oblicz pole powierzchni bocznej walca x

2

+ y

2

= 4 ograniczonej powierzchniami z = 0 i z = 1 + x

2

+ y

2

.