7. Miejsca geometryczne pierwiastków
97
7. MIEJSCA GEOMETRYCZNE PIERWIASTKÓW (mgp)
7.1. Zasady budowy miejsc geometrycznych pierwiastków (mgp)
1) Zapis funkcji przejścia
mgp dotyczy układu zamkniętego, ale do jego budowy wykorzystuje się funkcję
przejścia w układzie otwartym.
( ) ( )
(
) (
)
(
) (
)
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
=
s
T
s
T
s
s
T
s
T
K
s
G
s
H
mu
m
n
lv
l
g
!
!
z
r
g
K
K
K
K
=
( ) ( )
n
mu
m
lv
l
mn
m
lv
l
g
s
T
s
T
s
T
s
T
s
T
T
T
T
K
s
G
s
H
⋅
+
+
+
+
=
1
1
1
1
1
1
1
1
!
!
"
"
K
0
– współczynnik czułości statycznej, zmienia się od 0 do ∞
( ) ( )
(
) (
)
(
) (
)
u
n
v
p
s
p
s
s
z
s
z
s
K
s
G
s
H
−
−
−
−
=
"
"
1
1
0
z
i
– zera funkcji H(s)G(s) = 0 ,
li
i
T
z
1
−
=
p
k
– bieguny funkcji H(s)G(s) = ∞,
mu
k
T
p
1
−
=
2) Warunek argumentu i modułu H(s)G(s).
Na podstawie równania charakterystycznego układu zamkniętego, można
wyprowadzić warunki jakie powinna spełniać funkcja w układzie otwartym, aby można
było budować mgp.
Np. będzie dany układ biegunów i zer w funkcji przejścia układu otwartego.
Rys. 7.1
Jeżeli punkt próbny s należy do mgp, to jest spełniony warunek argumentu:
(
)
π
ψ
ϕ
ϕ
1
2
1
1
0
+
=
−
+
m
gdzie m = 0, ± 1, ±2, ...
Warunek ten służy do określania mgp metodą prób i ogólnie zapisuje się go wzorem:
(
)
π
ψ
ϕ
ϕ
1
2
1
1
0
+
=
−
+
∑
∑
−
−
=
=
m
n
u
k
k
v
i
i
i
k
Jeżeli punkt próbny s należy do mgp to wartość czułości statycznej określamy ze
wzoru:
z
1
p
0
p
1
φ
1
φ
0
ψ
1
r
z1
r
p1
r
p0
s
jω
σ
7. Miejsca geometryczne pierwiastków
98
1
1
0
0
z
p
p
r
r
r
K
=
Jest to warunek modułu i służy do skalowania wykresu w wartościach K
0
. Ogólny
zapis:
∏
∏
=
=
=
=
=
=
v
i
k
zi
u
k
k
pk
n
p
zv
z
pu
p
n
p
r
r
r
r
r
r
r
r
K
1
1
0
1
1
0
0
"
"
W praktyce może się zdarzyć, że funkcja nie ma zera, wtedy :
1
1
=
∏
=
=
v
i
i
zi
r
3) Część mgp na osi rzeczywistej.
Przyjmując punkt próbny na osi rzeczywistej można wykazać, że jeżeli liczba
biegunów i zer leżących po prawej stronie punktu próbnego na osi rzeczywistej jest
nieparzysta to punkt ten należy do mgp.
Rys. 7.2
4) Liczba odgałęzień mgp.
Liczba ta jest równa liczbie biegunów H(s)G(s).
5) Punkty początkowe i końcowe MGP.
Punkt początkowy – w biegunie „k” r
pk
= 0.
Punkt końcowy – w zerze „i” r
zi
= 0.
6) Asymptoty mgp.
Jeżeli miejsce geometryczne ma asymptoty, to kąt ich nachylenia do osi rzeczywistej
wynosi:
(
)
v
n
u
m
a
−
+
+
=
π
γ
1
2
m = 0,±1, ±2, ..., (u+n-1)
u + n – liczba biegunów; v – liczba zer
Wszystkie asymptoty MGP przecinają się w jednym punkcie, nazywamy środkiem
ciężkości asymptot.
v
n
u
z
p
v
i
n
k
a
−
+
−
=
∑
∑
1
1
σ
∑
n
k
p
1
- suma wartości współrzędnych biegunów
∑
n
k
p
1
- suma wartości współrzędnych zer
jω
z
1
p
0
p
1
K
0
=∞
K
0
=0 K
0
=0
kierunek
wzrostu K
0
σ
7. Miejsca geometryczne pierwiastków
99
7) Punkty rozgałęzienia i schodzenia mgp.
Rys. 7.3
Punkt rozgałęzienia to punkt, w którym mgp opuszcza oś rzeczywistą przechodząc na
płaszczyznę zmiennej zespolonej. Punkt schodzenia to punkt, w którym mgp opuszcza
płaszczyznę zmiennej zespolonej na oś rzeczywistą. Oprócz typowych mogą wystąpić
również nietypowe rozgałęzienia i schodzenia. O istnieniu tych punktów rozgałęzienia
można wnioskować tylko podczas budowy wykresów.
Współrzędne punktów rozgałęzienia lub schodzenia, można na podstawie warunku
argumentów. W tym celu rozważa się specjalny punkt próbny będący punktem
poszukiwanym, odchylonym od osi σ o bardzo małą odległość (rys.7.4).
δ – bardzo małe odchylenie
Rys. 7.4
Jeżeli punkt próbny ma należeć do mgp to musi być spełniony warunek argumentu:
(
)
δ
α
π
α
π
ϕ
π
ψ
ϕ
ϕ
malych
bardzo
dla
m
sin
1
2
0
1
1
0
−
≅
−
=
+
=
−
+
1
1
1
1
0
0
,
,
z
p
p
r
r
r
δ
ψ
δ
ϕ
δ
π
ϕ
=
=
−
=
(
)
π
δ
δ
δ
π
1
2
1
1
0
+
=
−
+
−
m
r
r
r
z
p
p
W otrzymanym równaniu dobieramy taką wartość m aby wyeliminować składniki stałe
będące wielokrotnością π. Dla naszego przypadku dla m = 0:
z
1
p
0
p
1
φ
1
φ
0
ψ
1
r
z1
r
p1
r
p0
s
jω
δ
α
σ
jω
K
0
=0
K
0
=1
K
0
=0
K
0
=5
K
0
=5
K
0
=1
punkt
rozgałęzienia
σ
K
0
=100
K
0
=100
K
0
=∞
jω
K
0
=1
K
0
=1
K
0
=1
punkt
schodzenia
K
0
=∞
σ
jω
nietypowy
punkt
schodzenia
σ
7. Miejsca geometryczne pierwiastków
100
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
=
−
+
−
=
−
+
−
=
−
+
−
z
p
p
z
p
p
z
p
p
r
r
r
r
r
r
r
r
r
δ
δ
δ
δ
Rozwiązanie otrzymanego równania przeprowadzamy metodą prób, zakładając położenie
punktu rozgałęzienia i schodzenia. Otrzymujemy w ten sposób wartości promieni, które
podstawiamy do wzoru i sprawdzamy zerowanie się lewej strony.
Przykład 7.1.
Dany jest UAR pokazany na rysunku 7.5
T
1
= 0,1[s]; T
2
= 0,2[s]; T
3
= 0,5[s]
Rys. 7.5
Zbudować miejsce geometryczne pierwiastków układu zamkniętego.
1. Zapis funkcji przejścia:
( ) ( )
(
)(
)(
)
2
5
10
1
1
1
1
1
0
3
2
1
3
2
1
+
+
+
=
+
+
+
⋅
=
s
s
s
K
T
s
T
s
T
s
T
T
T
K
s
G
s
H
g
2. Zera i bieguny H(s)G(s) oraz mgp na osi rzeczywistej:
p
1
= -2; p
2
= -5; p
3
= -10.
Rys. 7.6
3. Wyznaczenie asymptot (kąt) i środka ciężkości asymptot.
(
)
(
) (
)
3
1
2
0
0
3
1
2
1
2
π
π
π
γ
+
=
−
+
+
=
−
+
+
=
m
m
v
n
u
m
a
stąd:
m
0
1
2
3
γ
a
60°
180°
300°
420°
(
)(
)(
)
1
1
1
3
2
1
+
+
+
s
T
s
T
s
T
K
g
R(s)
E(s)
C(s)
-
-10
-2
-5
p
1
p
2
p
3
60°
300°
δ
a
7. Miejsca geometryczne pierwiastków
101
67
,
5
3
10
5
2
1
1
−
≅
−
−
−
=
−
+
−
=
∑
∑
v
n
u
z
p
v
i
u
k
a
σ
4. Współrzędne punktu rozgałęzienia:
(
)
π
ψ
ϕ
ϕ
1
2
1
1
0
+
=
−
+
m
(
)
π
δ
δ
δ
π
1
2
3
2
1
+
=
−
+
−
m
r
r
r
p
p
p
0
1
1
1
3
2
1
=
−
+
−
p
p
p
r
r
r
r
p
– szacujemy z wykresu mgp i powyższego równania.
s
-3
-4
-3,5
-3,4
r
p1
1
2
1,5
1,4
r
p2
2
1
1,5
1,6
r
p3
7
6
6,5
6,6
lewa
strona
rów.
-0,36
0,67
0,15
0,06
5. Liczba gałęzi MGP = 3
6. Ostateczny wykres mgp.
Rys. 7.8
Z powyższego wykresu wynika, że:
a) dla 0 ≤ K
0
≤ 14,8 pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego są
rzeczywiste ujemne;
b) dla K
0
> 14,8 równanie charakterystyczne ma:
- dwa pierwiastki zespolone na gałęziach 1 i 2;
- jeden pierwiastek rzeczywisty na gałęzi 3.
W celu znalezienia pierwiastków równania charakterystycznego układu zamkniętego, dla
zadanej czułości statycznej, należy:
a) znaleźć punkty mgp (metodą prób), w którym czułość statyczna odpowiada czułości
zadanej;
b) współrzędne tych punktów są poszukiwanymi pierwiastkami.
Równanie charakterystyczne zapisane w postaci wynikowej, można wykorzystać do
analizy zachowania się układu zamkniętego np.: do wyznaczenia charakterystyki czasowej.
s =-3,4
r
p3
r
p2
r
p1
Rys. 7.7
-10
K
0
=0
K
0
→∞
jω
3
σ
K
0
=0
2
1
7. Miejsca geometryczne pierwiastków
102
7.2. Ogólne wytyczne doboru wzmocnienia
1.) Dla układu skorygowanego (z regulatorem) sporządzamy mgp, np.:
Rys. 7.9
2) Należy wykreślić prostą pod kątem wynikającym z zadanej liczby tłumienia
pierwiastków dominujących.
(
)
8
,
0
4
,
0
cos
≤
≤
=
z
z
arc
ξ
ξ
η
3) Należy wyznaczyć wymaganą czułość statyczną w punkcie przecięcia prostej i mgp.
4) Należy wyznaczyć wymagane wzmocnienie regulatora k
r
na podstawie wartości K
o wym
.
Wzmocnienie to gwarantuje położenie pierwiastków dominujących w punktach 1 i 2
płaszczyzny zespolonej.
Przykład 7.2.
Zbadać zapas stabilności układu regulacji opisanego funkcją przejścia w układzie
otwartym.
( ) ( ) (
)(
)
1
1
2
1
+
+
=
s
T
s
T
s
KK
s
G
s
H
Z
dla danych
KK
Z
= 1,4 [1/s]
T
1
= 0,2 [s]
T
2
= 0,1 [s]
Zastosować metodę miejsca geometrycznego pierwiastków równania charakterystycznego
układu.
Miejsce geometryczne przedstawia zmianę położenia pierwiastków równania
charakterystycznego, w którym współczynnik wzmocnienia zapisany w postacie
współczynnika czułości statycznej, traktowany jest jak parametr przyjmujący wartości
z przedziału [0, ∞]. Miejsce geometryczne dotyczy układu zamkniętego, lecz do jego
budowy wykorzystuje się funkcję przejścia w układzie otwartym.
W pierwszej kolejności zastosujemy zapis funkcji przejścia dogodny do budowy
mgp:
( ) ( ) (
)(
)
(
)(
)(
)
2
1
0
0
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
p
s
p
s
p
s
K
T
s
T
s
s
T
T
KK
s
T
s
T
s
KK
s
G
s
H
Z
Z
−
−
−
=
+
+
=
+
+
=
gdzie: K
0
– współczynnik czułości statycznej, mający wartość
2
jω
r
p2
r
p1
1
η
η
r
k
=1/T
z
2
1 p
p
wym
o
r
r
K
=
7. Miejsca geometryczne pierwiastków
103
[ ]
3
2
1
0
1
70
s
T
T
KK
K
Z
=
=
p
0
, p
1
, p
2
– bieguny funkcji przejścia w układzie otwartym mające wartości
p
0
= 0 [1/s]
[ ]
s
T
p
1
5
1
1
1
−
=
−
=
[ ]
s
T
p
1
10
1
2
2
−
=
−
=
Następnie wyznaczone wartości biegunów nanosimy na płaszczyznę Gaussa
i badamy, które części osi rzeczywistej należą do mgp. W tym wypadku będą to części
zawarte miedzy p
0
i p
1
oraz na lewo od p
2
, pokazane na rysunku 7.10. Z tego rysunku
wynika, że między biegunami p
0
i p
1
znajduje się typowy punkt rozgałęzienia. Dla
znalezienia tego punktu układamy równanie pomocnicze wynikające z warunku argumentu
(rys. 7.11).
Rys. 7.10
Rys. 7.11
Wymienione równanie ma postać:
ϕ
0
+
ϕ
1
+
ϕ
2
= (2m + 1)
π
Ponieważ
0
0
p
r
δ
π
ϕ
−
≈
1
1
p
r
δ
ϕ ≈
2
2
p
r
δ
ϕ ≈
więc otrzymamy
(
)
π
δ
δ
δ
π
1
2
2
1
0
+
=
+
+
−
m
r
r
r
p
p
p
.
φ
1
φ
0
φ
2
r
p2
r
p1
r
p0
s
jω
δ
σ
~r
p2
~r
p1
~r
p0
p
0
jω
σ
p
1
p
2
-10
-5
7. Miejsca geometryczne pierwiastków
104
Następnie dobieramy taką wartość m, aby wyeliminować składniki stałe, będące
wielokrotnością liczby
π
. W tym przypadku dla m = 0 po uproszczeniu otrzymamy:
0
1
1
1
2
1
0
=
+
+
−
p
p
p
r
r
r
Rozwiązanie tego równania przeprowadzamy metodą prób zakładając konkretne wartości
promieni. Wyniki obliczeń dla wygody można zestawić w tabeli, w której oblicza się
wartość lewej strony równania (Tab. 7.1.).
Tabela 7.1.
r
p0
r
p1
r
p2
Lewa strona równania
3
2
7
0,31
2
3
8
-0,042
2,1
2,9
7,9
-0,005
Przyjmując, że dokładność wyzerowania się lewej strony równania jest w trzecim
wierszu wystarczająca dla praktyki, można przyjąć, że:
r
p0
≈ 2,1 [1/s]
r
p1
≈ 2,9 [1/s]
r
p2
≈ 7,9 [1/s]
Tak więc odcięta punktu rozgałęzienia wynosi –2,1 [1/s]. Następnie wyznaczamy kąt
nachylenia asymptot, ze wzoru:
(
)
π
γ
v
n
u
m
a
−
+
+
=
1
2
W rozpatrywanym przypadku liczby biegunów i zer wynoszą:
u = 2
n = 1
v = 0
a zatem asymptoty mgp będą nachylone pod kątem:
(
)
(
)
°
⋅
+
=
+
=
60
1
2
3
1
2
m
m
a
π
γ
Wyniki obliczeń zwykle zestawia się w tabeli dla kilku wartości m (Tab. 7.2.).
Tabela 7.2.
m
0
1
2
3
γ
a
[
o
]
60
180
300
420
Z tabeli wybieramy kąty będące rozwiązaniem zadania, czyli:
γ
a
= 60
o
γ
a
= 300
o
Środek ciężkości asymptot wyznaczamy ze wzoru:
[ ]
s
v
n
u
z
p
v
i
u
k
a
1
5
3
10
5
1
1
−
=
−
−
=
−
+
−
=
∑
∑
σ
Obecnie możemy przystąpić do wykreślenia części mgp znajdującej się poza osią
rzeczywistą. W tym celu będziemy stosować warunek argumentu, który dla każdego
7. Miejsca geometryczne pierwiastków
105
punktu próbnego na płaszczyźnie Gaussa, należącego do mgp, ma w tym przypadku
postać:
ϕ
0
+
ϕ
1
+
ϕ
2
= (2m + 1)180
o
Przykładowo, dla punktu s
p1
(rys. 7.12.) otrzymamy:
ϕ
0
≈ 119 [
o
]
ϕ
1
≈ 41 [
o
]
ϕ
2
≈ 20 [
o
]
m = 0
podobnie dla punktu s
p2
(rys. 7.12.) będzie:
ϕ
0
≈ 95 [
o
]
ϕ
1
≈ 52 [
o
]
ϕ
2
≈ 33 [
o
]
m = 0
Rys. 7.12
Po wykreśleniu mgp, możemy przystąpić do wyskalowania wykresu w wartościach
czułości statycznej K
0
. W tym celu zastosujemy warunek modułu, który dla każdego
punktu mgp ma w tym przypadku postać:
K
0
= r
po
r
p1
r
p2
Przykładowo dla punktu s
p1
(rys. 7.12.) otrzymamy:
r
p0
≈ 3,4 [1/s]
r
p1
≈ 4,5 [1/s]
r
p2
≈ 8,9 [1/s]
K
0
≈ 136,2 [1/s]
Analogicznie dla punktu s
p2
(rys. 7.12.) będzie:
r
p0
≈ 6 [1/s]
r
p1
≈ 7,5 [1/s]
r
p2
≈ 11,3 [1/s]
K
0
≈ 508,5 [1/s]
Ponieważ współczynniki wzmocnienia i stałe czasowe układu mają konkretne wartości,
więc czułość statyczna wynikająca z tematu zadania będzie równa:
[ ]
3
2
1
0
1
70
1
,
0
2
,
0
4
,
1
s
T
T
KK
K
Z
=
⋅
=
=
-10
k
0
=0
k
0
=70
jω
s
3
σ
48
k
0
=
k
0
=70
136,2
508,5
136,2
508,5
-2,1
s
2
s
1
s
p1
s
p2
7. Miejsca geometryczne pierwiastków
106
W związku z tym metodą prób znajdujemy na mgp punkty mające obliczoną wyżej czułość
statyczną. W punktach tych znajdują się pierwiastki równania charakterystycznego układu,
odpowiadajże danym liczbowym z tematu zadania. Dwa pierwiastki znajdują się poza osią
rzeczywistą i wynoszą:
s
1
≈ -1,95 + j1,55 [1/s]
s
2
≈ -1,95 – j1,55 [1/s]
trzeci pierwiastek znajduje się na osi rzeczywistej i jest równy:
s
3
≈ -11,05 [1/s]
Na podstawie mgp stwierdziliśmy zatem, że równanie charakterystyczne ma dwa
pierwiastki dominujące zespolone s
1
i s
2
. Stała czasowa i liczba tłumienia, wynikająca
z obecności tych pierwiastków, wynoszą odpowiednio:
[ ]
s
r
T
k
Z
4
,
0
5
,
2
1
1
=
=
=
8
,
0
37
cos
cos
≈
°
=
=
η
ξ
Z
Bezpieczna praca układu regulacji oraz właściwy kształt jego charakterystyk czasowych
wymagają spełnienia nierówności:
0,4 ≤ ξ ≤ 0,8
W rozpatrywanym przypadku można powiedzieć, że zapas stabilności jest w granicach
normy, a ponadto można oszacować własności dynamiczne układu:
∆
c
mr
≈ 2 [%]
t
r
≈ 3,6T
Z
= 3,6 · 0,4 = 1,44 [s]
Przykład 7.3. Wyznaczyć mgp dla następującego obiektu:
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
5
2
5
5
2
+
+
−
+
=
s
s
s
s
s
k
s
G
s
H
bieguny: 0
,
5
,
4
1
4
3
2
,
1
=
=
±
−
=
s
s
j
s
zera:
5
−
=
s
Rys. 7.13
3j
2j
1j
-1j
-2j
-3j
-4j
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-8
-7
s
0
γ
γ
s
z
k=1700
k=14,7
4j
7. Miejsca geometryczne pierwiastków
107
a) Asymptoty:
(
)
66
,
2
3
8
3
5
1
1
5
0
,
60
180
1
2
0
=
=
+
−
−
+
=
°
=
−
°
+
=
z
v
n
m
γ
b) Punkt rozgałęzienia
Rys. 7.14
0
2
1
1
1
2
2
1
0
1
=
+
+
−
+
−
b
a
b
r
r
r
z
p
p
85
,
2
0
=
s
c) Punkt zejścia
0
2
1
1
1
2
2
1
0
1
=
+
−
+
−
−
b
a
b
r
r
r
z
p
p
25
,
7
−
=
z
s
d) Czułość statyczna:
dla 7
,
14
85
,
2
0
=
→
=
K
s
o
dla
1700
,
25
,
7
0
=
−
=
K
s
z
e) Punkt przecięcia z osią jω:
(
)
0
5
25
5
3
2
3
4
=
+
−
+
−
−
k
s
k
s
s
s
k
k
k
k
k
k
k
k
5
40
1000
20
5
3
40
25
3
5
5
1
2
−
+
−
−
−
−
−
0
0
1000
20
2
<
∆
=
+
−
k
k
f) Kąt wyjścia gałęzi:
(
)
'
20
115
180
1
2
3
2
1
°
−
=
+
=
−
+
+
+
ω
ω
ϕ
ψ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
m
Przykład 7.4. Wyznaczyć mgp dla następującego obiektu:
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
40
12
5
5
2
+
+
−
+
=
s
s
s
s
s
k
s
G
s
H
- nie ma takiego wzmocnienia, aby układ był na
granicy stabilności tzn. charakterystyka
przecinała oś jω.
r
z1
r
p0
r
p4
b
a
7. Miejsca geometryczne pierwiastków
108
bieguny: 0
,
5
,
4
6
4
3
2
,
1
=
=
±
−
=
s
s
j
s
zera:
5
−
=
s
Rys. 7.15
a) Asymptoty:
(
)
66
,
0
3
2
3
5
6
6
5
0
,
60
180
1
2
0
=
=
+
−
−
+
=
°
=
−
°
+
=
z
v
n
m
γ
b) Punkt rozgałęzienia:
Rys. 7.16
0
2
1
1
1
2
2
1
0
1
=
+
+
−
+
−
b
a
b
r
r
r
z
p
p
75
,
2
0
=
p
r
c) Czułość w punkcie rozgałęzienia:
(
)
(
)
(
)(
)
4
,
64
75
,
7
40
33
59
,
7
25
,
2
75
,
2
5
40
12
5
2
=
+
+
−
−
=
+
+
+
−
−
=
s
s
s
s
s
k
d) Punkt schodzenia:
0
2
1
1
1
2
2
1
0
1
=
+
−
+
−
−
b
a
b
r
r
r
z
p
p
45
,
7
0
−
=
p
r
r
z1
r
p0
r
p1
b
a
3j
2j
1j
-1j
-2j
-3j
-4j
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-8
-7
γ
γ
k=227,5
k=64,4
4j
7. Miejsca geometryczne pierwiastków
109
e) Czułość w punkcie schodzenia:
(
)(
)
5
,
227
45
,
2
40
5
,
89
5
,
55
45
,
12
45
,
7
=
−
+
−
−
−
=
k
f) Kąt pod jakim wychodzą gałęzie:
(
)
'
15
88
180
1
2
3
2
1
°
−
=
+
=
−
+
+
+
ω
ω
ϕ
ψ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
m
g) Punkt przecięcia z osią jω:
(
)(
)
(
)
0
5
200
20
7
0
40
12
5
5
2
3
4
2
2
=
+
−
+
−
+
=
+
+
−
+
+
k
s
k
s
s
s
s
s
s
s
k
ks
k
k
k
k
k
k
k
k
5
60
12000
505
5
7
60
200
7
5
20
1
2
+
−
+
−
+
−
−
−
480
25
455
0
12000
505
2
1
2
=
=
=
∆
=
+
−
k
k
k
k
Przykład 7.5
Wyznaczyć mgp dla następującego obiektu:
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
[
]
(
)
[
]
j
s
j
s
s
s
s
k
s
s
s
s
s
k
s
G
s
H
2
6
2
6
2
5
40
12
2
5
2
−
+
+
+
−
+
=
+
+
−
+
=
Rys. 7.17
a) Asymptoty:
(
)
66
,
1
3
5
3
5
6
6
2
0
,
60
180
1
2
0
−
=
−
=
+
−
−
+
=
°
=
−
°
+
=
z
v
n
m
γ
3j
2j
1j
-1j
-2j
-3j
-4j
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-8
-7
γ
γ
k=152
k=8,85
4j
7. Miejsca geometryczne pierwiastków
110
b) Punkt rozgałęzienia:
Rys. 7.18
0
2
1
1
1
2
2
1
0
1
=
+
+
−
+
−
b
a
b
r
r
r
z
p
p
05
,
1
0
=
p
r
c) Czułość w punkcie rozgałęzienia:
(
)
(
)
(
)(
)
85
,
8
05
,
6
40
6
,
12
1
,
1
95
,
0
05
,
1
5
40
12
2
2
=
+
+
−
−
=
+
+
+
−
−
=
s
s
s
s
s
k
d) Punkt schodzenia:
0
2
1
1
1
2
2
1
0
1
=
+
−
+
−
−
b
a
b
r
r
r
z
p
p
75
,
6
0
=
p
r
e) Czułość w punkcie schodzenia:
(
)(
)(
)
152
75
,
1
40
81
5
,
45
75
,
8
75
,
6
=
−
+
−
−
−
−
=
k
f) Kąt pod jakim wychodzą gałęzie:
(
)
°
=
+
=
−
+
+
+
121
180
1
2
3
2
1
ω
ω
ϕ
ψ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
m
g) Punkt przecięcia z osią jω:
(
)
0
5
80
16
10
2
3
4
=
+
−
+
+
+
k
s
k
s
s
s
k
k
k
k
k
k
k
k
5
240
200
,
19
180
5
10
240
80
10
5
16
1
2
+
−
−
−
−
+
−
−
980
800
1780
0
200
,
19
180
2
1
2
−
=
=
=
∆
=
+
−
k
k
k
k
r
z1
r
p0
r
p1
b
a
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
3222142 d viii geometria analit Nieznany (2)
znieczulenie miejscowe id 59211 Nieznany
Konstrukcje geometryczne Jak s Nieznany
Zwiazki chemiczne pierwistakow Nieznany
27 Optyka geometryczna i falow Nieznany (2)
ALGEBRA Z GEOMETRIA I SEMESTR i Nieznany
8 elementy geometrii analityczn Nieznany
Nie bylo miejsca dla ciebie Nieznany
Cw 4 Metoda linii pierwiastkow Nieznany
PARAMETRY GEOMETRYCZNE LACZNIC Nieznany
Algebra Geometria analityczna i Nieznany (2)
2010 Wyklad 12 Pierwiastki d, f Nieznany
12 Narzedzia promocji miejscowo Nieznany (2)
Geometria krzywych i powierzchn Nieznany
POMIAR STRAT MIEJSCOWYCH (LOKAL Nieznany
geometria zadania 1 25 aksonome Nieznany (3)
PROGRAM AKT PRAWA MIEJSCOW PWS Nieznany
więcej podobnych podstron