1 Dyfuzja
Wstęp
Generalnie o dyfuzji. Skupiałem się na stronie obliczeniowej, bo do kolosa to dla was najważniejsze
jest.
Otoczką dla całego wywodu są gotowe rozwiązania kolosa. Przy zadaniach postaram się opisać,
dlaczego jest tak, a nie inaczej1.
Wyjaśnienia potrzebnych fenomenów są, dla kontrastu, niezbyt dogłębnie - nie będzie tu dokładnych
opisów typów dyfuzji w ciele stałym.2 Ponadto, ponieważ zadania wyraźnie ograniczają się do jednego
wymiaru3, definicje przy wyjaśnieniach zwykle będą korzystały z pochodnej po jednej zmiennej, zamiast z
adekwatnego tam operatora gradientu.
Podstawy dyfuzji - pierwsze prawo Ficka
Dyfuzja ma różne powody działania w różnych substancjach, stanach sku- pienia; zależą one też
od tego, co dyfunduje4. Szczęśliwie, większość z nich ma taką samą interpretację, która zawiera się w
prawach Ficka.
Pierwsze z nich w ogólnej postaci to
J = −Dgradφ (1)
gdzie J to strumień5 dyfuzji, D to współczynnik dyfuzji, a φ to koncentracja. Operator gradientu φ to miara
rozkładu substancji w ośrodku - pozwala nam zidentyfikować obszary, gdzie koncentracja jest duża, a
gdzie mała6. Ponieważ dyfuzja działa tak, że z obszarów o dużej koncentracji przechodzimy do obszarów
o małej koncentracji, to strumień działa przeciwnie do gradientu. Dlatego we wzorze jest minus.
Forma pierwszego prawa dla jednego wymiaru x:
J = −D
∂φ ∂x
(2)
Jak widać, dla jednego wymiaru używamy po prostu pochodnej po x.
Przydatne mogą być jednostki, w jakich są te rzeczy wyrażone. x jest jed- nostkach odległości, np.
cm. φ to jednostka ilości substancji przez odległość do trzeciej, np. mol
m3
. Gradient φ jest typu mol
m4
. D to odległość do kwadratu przez
1Powinno wam pozwolić rozwiązać zadanie w ogólnym przypadku - zmienione dane, wa- runki brzegowe...
2Chwała niebiosom.
wynik
3Nawet √
2 razy drugie, za które wyprowadzałem z przekonaniem dla dwóch wymiarów i wychodził mi
duży... 4Np. wolne elektrony w przewodnikach; temperatura może być opisana poprzez dyfuzję. 5Jak
pamiętacie, strumień to miara ilości substancji przechodzącej przez daną powierzchnię. 6Jest to taka pochodna dla
dowolnej ilości wymiarów - pozwala nam widzieć, w którą stronę funkcja rośnie i w jakim tempie.
1
czas, mienia) dyfuzji np. - typ nie m2 s
m2·s mol . ma Wreszcie, . czegoś Jednostki takiego strumień “ilość jak substancji” to mol (jak
temperatury.
łatwo będą wywnioskować różniły się pomiędzy z definicji stru- typami
To prawo wystarczy do przerobienia zadania pierwszego...
1.1 Zad 1
Treść: Strumień dyfuzji składnika wynosi −100 nosi Zaczynamy 12 cm4 g
mol g . Oblicz .
współczynnik dyfuzji składnika, 1013at cm2s
wiedząc, przy że gradiencie masa molowa gęstości wy-
od wyciągnięcia z treści danych - gradient gęstości:
∂x ∂ρ
= −100
cm4 g
(3)
Strumień dyfuzji:
J =
1013at cm2s
(4)
Jak widzimy, są w różnych jednostkach ilości substancji. Najłatwiej sobie przy tych danych przeliczyć na
mole substancji:
J =
1013at cm2s
1
1013 N
A
cm2s
1 6
10−10
cm2s mol
. (5)
∂φ ∂x
=
·
≈
=
∂φ ∂x
·
1 m
mol
= −
100 12
cm4 g
= 8
1 3
cm2 mol
(6)
Wystarczy przekształcić pierwsze prawo Ficka na odpowiednią postać:
D = −
g mol
J 10−10 ∂φ 1 =
6
25
mol cm2s
∂x
3
mol cm2
= 2 · 10−12
cm2 s
(7)
co daje nam rozwiązanie zadania.
Dyfuzja - głębokość dyfuzji
Żeby wiedzieć, jak głęboko będzie zachodziła dyfuzja, musimy znaleźć jakiś wzór łączący głębokość
ze współczynnikiem dyfuzji. Tutaj wyprowadzam go najłatwiejszym sposobem, jaki znalazłem - nie
musicie czytać wyprowadzenia, jeżeli nie chcecie; możecie od razu przejść do zadania7. Wzór będzie
użyty w zadaniu. A ja dla sportu rozpiszę rozumowanie.
Wyprowadzę tutaj całe prawo Ficka dla jednego wymiaru9 - przez przypadek wyjdzie nam definicja D.
7Ale pozwoli to lepiej zrozumieć mechanizm dyfuzji, więc polecam!8 8A ponadto mnie by to ucieszyło. 9To znaczy,
przyjmujemy, że ruch zachodzi tylko wzdłuż jednego wymiaru, nawet, jeżeli pręt ma grubość
2
Mamy długi pręt. Wzdłuż niego definiuję sobie wymiar x. W pręcie znaj- dują się cząstki substancji
dyfundującej, które wykonują losowe ruchy w miarę upływu czasu t. Niech N(x, t) to ilość cząstek w
punkcie x o czasie t. Przyjmu- jemy, że badamy ruch cząstek w prawą stronę pręta.
Przy każdym kroku czasowym, średnio połowa cząstek pójdzie w lewo, a połowa w prawo. Zbadajmy
sobie, ile w ogólności cząstek przejdzie z punktu x do następnego po prawej punktu x + ∆x: będzie to
połowa cząstek z punktu x (te, które pójdą w prawo) minus połowa cząstek z punktu x + ∆x (te, które
pójdą w lewo), czyli:
1 2
· [N(x, t) − N(x + ∆x, t)] (8)
Strumień J to będzie ten ruch przez jakiś przekrój o polu a, w trakcie wyko- nywanego kroku czasowego
∆t. Zatem ogólny ruch cząstek możemy podzielić przez a∆t, by otrzymać strumień (od razu wyciągam
minus przed nawias):
J = −
2∆t 1
· [
N(x + a
∆x, t)
−
N(x, a
t)
] (9)
Teraz zauważmy, że gęstość cząstek jest zdefiniowana jako ilość cząstek przez objętość badanego
obszaru - w naszym przypadku to objętość “przedzialiku” o długości ∆x i przekroju a
φ(x, t) =
N(x, a∆x
t)
(10)
I w tym momencie stosujemy brudną sztuczkę matematyczną: mnożymy prawą stronę równania
strumienia przez
(∆x)2 (∆x)2
:
J = −
(∆x)2 2∆t
· [
N(x a(∆x)2
+ ∆x, t)
−
a(∆x)2 N(x, t)
] = −
(∆x)2 2∆t
· [
φ(x + ∆x
∆x, t)
−
φ(x, ∆x
t)
]
(11) Jeżeli pamiętacie definicję
pochodnej, to widzicie, że w nawiasie kwadratowym mamy definicję pochodnej
∂φ ∂x
, a zatem:
J = −
(∆x)2 2∆t
∂φ ∂x
= −D
∂φ ∂x
(12)
Czyli współczynnik dyfuzji to:
D =
(∆x)2 2∆t
(13)
z czego głębokość wnikania to:
∆x =
√
2D∆t (14)
a czas wnikania na głębokość to:
∆t =
(∆x)2 2D
(15)
Tak, to naprawdę najłatwiejszy sposób, jaki znam.
3
1.2 Zad 2
Podstawić do wzoru:
∆t =
(∆x)2 2D
(16)
i tyle.
Dyfuzja - drugie prawo Ficka
Drugie prawo Ficka przewiduje, jak będzie zachowywała się gęstość substan- cji dyfundującej wraz z
czasem:
∂φ ∂t
= −
∂J ∂x
= D
∂2φ ∂x2
(17)
1.3 Zad 3
Z drugiego prawa Ficka:
∂T ∂t
= −
∂J ∂x
(18)
Ponieważ stan stacjonarny, to rozkład temperatury nie zmienia się w czasie:
∂T ∂t
= 0 (19)
Z dwóch ostatnich wynika, że
∂J ∂x
= 0 (20)
zatem
J = const (21)
Nie wiem dokładnie o co chodzi z warunkami brzegowymi Neumanna. Zwykle oznaczają, że mamy
podaną wartość pochodnej temperatury na krańcach ob- szaru. Tutaj jest tylko powiedziane, że mają
być warunki brzegowe Neumanna, więc przyjąłem, że w takim razie są równe 0 (w sumie inaczej ciężko
cokolwiek policzyć ręcznie bez przybliżeń, więc ma to sens). Oznacza to, że strumień będzie równy 0, z
czego wynika, że:
0 = J = −D
∂T ∂x
(22)
z czego wynika, że gia nam nie ucieknie, ∂T ∂x
więc = 0, wystarczy a z tego T zsumować = const. Do energię tego będącą wiemy, na że żadna początku
ener- w pręcie, a następnie podzielić ją przez długość pręta, by otrzymać ogólną tempe- raturę.
A jak podliczyć energię? Trza zrobić To-Czego-Nazwy-Nie-Wolno-Wymawiać. Resztę rozwiązania
macie w tym gotowcu, nie sprawdzałem, czy wynik się zga- dza, ale punkcik jest, więc jest okejka.
4
1.4 Zad 4
Tak jak wcześniej, tylko że mamy warunki brzegowe Dirichleta. Warunek brzegowy ten mówi, że
wartości na granicach mierzonego obszaru są podane i ustalone. Ponieważ nie są podane w zadaniu,
przyjmujemy, że będą takie, jakie wychodzą według podanego wzoru na temperaturę. Skoro
J = const (23)
to
∂T ∂x
= const (24)
czyli rozkład temperatury będzie funkcją liniową.
Zatem musimy zrobić interpolację liniową, czyli znaleźć odpowiednią funkcję liniową łączącą punkty
(0,T(0)) i (d, T(d)) według wzoru:
T
2
(x) = T(0) + x ·
T(d) − d
T(0)
(25)
Ogólny wzór interpolacji punktów (x
1
,y
1
), (x
2
,y
2
) to
y = y
1
+ (x − x
1
)
x y
2
2
− y
1
(26)
1.5 Zad 5
1.5.1 a)
Ponownie zadanie z wnikania. Najpierw korzystamy z wzoru, by otrzymać D
1000
− x
1
:
x2 = 2D
1000
t ⇒ D
1000
=
x2 2t
(27)
A potem wstawiamy do wzoru na głębokość wnikania w czasie 2t, zastępując D
1050
przez 2D
1000
:
x
2
=
√
2D
1050
· 2t =
√
8D
1000
t =
√
4x2 = 2x (28)
1.5.2 b)
Tutaj wystarczy skorzystać z równania Arrheniusa. Wiecie, że D(1050K) jest dwa razy większe
od D(1000K), więc wystarczy po lewej stronie podzielić jedno przez drugie, a po prawej podzielić
odpowiadające równania Arrheniusa:
D
1050 D
1000
=
D D
0
0
exp(− 1050K·R
E
)
(29)
2D
1000 D
1000
exp(− 1000K·R
E
)
=
exp(− exp(− 1050K·R 1000K·R E
E
)
(30)
5
)
E 2 = exp(−
1050K E
· R
+
1000K · R
) (31)
ln 2 =
−E · 1000K + E · 1050K 1000K · 1050K · R
(32)
ln 2 =
E · 5K 105000 · R
(33)
Czyli
E = 21000K · ln 2 · R (34)
6