STAN USTALONY SILNIKA ASYNCHRONICZNEGO 

PRZY SYMETRYCZNYM ZASILANIU 

Jako stan wyjściowy do analizy stanu ustalonego przyjmijmy równania 

dynamiki silnika opisanego zależnościami: 

s

s

s

s

i

L

i

L

i

L

i

L

r

r

r

r

µ

µ

ψ

ψ

+

=

+

=

'

'

'

'

     

  

[1] 

u

R i

d

dt

u

R i

d

dt

s

s s

s

r

r

r

r

r

=

+

=

+

ψ

ψ

α ψ

'

' '

'

'

  - j

d

dt

 [2] 

}

Im{

'

*

r

s

i

i

j

pL

M

µ

−

=

  

[3] 

Przyjmijmy, że napięcia zasilające silnik można opisać zależnościami: 

u

U

u

U

s

s

α

β

ω

ω

=

=

2

2

1

1

cos

sin(

)

t

t

  

[4] 

Wektor napięcia jest zatem równy: 

u

Ue

s

j

t

= 2

1

ω

  

[5] 

Przyjmijmy, że wirnik jest zwarty oraz, że analizy dokonujemy przy założeniu  

stałości prędkości obrotowej. Załóżmy, że prądy oraz strumienie są sinusoidalne: 

i

I e

s

s

j

t

= 2

1

ω

  

[6] 

i

I e

r

r

j

t

'

'

= 2

1

ω

  

[7] 

Operacja sprowadzenia wielkości wirnika na stronę stojana powoduje, że 

można  łatwo określić zależności pomiędzy kolejnymi składnikami indukcyjności 
własnych i wzajemnych: 

'

'

r

r

L

L

L

L

L

L

s

s

δ

µ

δ

µ

+

=

+

=

   [8] 

W takiej sytuacji w stanie elektromagnetycznie ustalonym można dokonać 

różniczkowania opisanego we wzorach [2]. Otrzymamy po przekształceniach: 

-1- 

)

(

0

'

'

1

'

1

'

'

1

1

s

r

r

s

r

r

r

s

s

s

s

I

L

I

L

j

I

L

j

I

L

j

I

R

I

L

j

I

L

j

I

R

U

r

r

µ

µ

µ

ω

ω

ω

ω

ω

+

−

+

+

=

+

+

=

  

[9] 

Wprowadzenie do równań fikcyjnego prądu (magnesującego): 

I

I

s

µ

=

+ I

r

   [10] 

Przekształca równania [9] do postaci: 

µ

µ

µ

µ

δ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

δ

I

L

j

I

L

j

I

R

I

L

j

I

L

j

I

R

U

r

r

s

s

s

s

r

r

)

(

)

(

0

1

'

1

'

'

1

1

−

+

−

+

=

+

+

=

   [11] 

Dzieląc równania wirnika przez: 

s

=

−

ω

ω

ω

1

1

   [12] 

Otrzymamy znane z teorii maszyn elektrycznych równania opisujące maszynę 

indukcyjną symetryczną: 

µ

µ

µ

µ

δ

ω

ω

ω

ω

δ

I

L

j

I

L

j

I

s

R

I

L

j

I

L

j

I

R

U

r

r

s

s

s

s

r

r

1

'

1

'

'

1

1

0

+

+

=

+

+

=

   [13] 

Rozważania opisane wyżej można uogólnić na składową zgodną i przeciwną 

napięcia zasilającego, traktując,  że wzór [5] dotyczy składowej zgodnej a napięcie 
składowej przeciwnej wyrazimy zależnością: 

u

U e

s

j

t

−

−

= 2

1

ω

  [17] 

Przyjmując  że składowa przeciwna związana jest z polem wirującym 

przeciwnie do prędkości silnika otrzymując zmodyfikowany wzór [11]: 

−

−

−

−

−

−

−

+

+

+

+

=

+

+

=

µ

µ

µ

µ

δ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

δ

I

L

j

I

L

j

I

R

I

L

j

I

L

j

I

R

U

r

r

s

s

s

s

r

r

)

(

)

(

0

1

'

1

'

'

1

1

  

[18] 

−

−

−

−

−

−

−

+

+

+

+

=

+

+

=

µ

µ

µ

µ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

I

X

j

I

X

j

I

R

I

jX

I

jX

I

R

U

r

r

s

s

s

s

r

r

1

1

'

1

1

'

'

0

 [19] 

Wprowadzając pojęcie poślizgu dla składowej przeciwnej: 

s

s

−

=

−

−

=

+

−

+

=

+

=

−

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

  

[20] 

po podzieleniu równania 19 przez s otrzymamy: 

-2- 

−

−

−

−

−

−

−

+

+

−

=

+

+

=

µ

µ

µ

µ

I

jX

I

jX

I

s

R

I

jX

I

jX

I

R

U

r

r

s

s

s

s

r

r

'

'

'

2

0

  

[21] 

Równania [13] określają schemat zastępczy dla stanu ustalonego dla składowej 
zgodnej: 

 

R

s 

     

jX

σs

 

'

r

jX

σ

s

R

r

'

U

s

 

jX

m

I

m

I

s

I

r

’

E

m

R

Fe

 

W schemacie tym „sztucznie” dorysowano rezystancję  R

fe

. Rezystancję  tę 

wprowadza się dla uwzględnienia w schemacie zastępczym strat w żelazie (na prądy 
wirowe i histerezę), należy przy tym pamiętać, iż jej wartość jak i sposób 
umieszczenia w schemacie zastępczym jest określona jedynie dla przybliżonego 
uwzględnienia strat i nie ma żadnego związku z modelem matematycznym 
opisującym stan dynamiczny i stan ustalony maszyny asynchronicznej 

 

MOMENT W STANIE USTALONYM 

Jako stan wyjściowy przyjmijmy 

}

Im{

2

3

'*

r

i

i

pL

M

s

e

µ

=

 

W stanie ustalonym: 

t

j

s

s

e

I

i

1

2

ω

=

 

t

j

e

I

i

r

r

1

'

'

2

ω

=

 

 

 

Stąd po podstawieniu: 

}

Im{

3

}

2

Im{

2

3

}

2

2

Im{

2

3

'*

'*

'*

1

1

r

r

r

I

I

pL

M

I

I

pL

M

e

I

e

I

pL

M

s

e

s

e

t

j

t

j

s

e

µ

µ

ω

ω

µ

=

=

=

−

 

Biorąc pod uwagę, że: 

-3- 

µ

I

I

I

r

s

+

=

 

}

)

Im{(

3

'*

r

I

I

I

pL

M

r

e

µ

µ

+

=

 

)}

Im{(

3

'*

'*

r

r

I

I

I

I

pL

M

r

e

µ

µ

+

=

 

}

Im{

3

}

Im{

3

}

Im{

3

'*

1

'*

1

1

'*

2

r

r

r

r

I

I

X

p

M

I

I

L

p

M

I

I

I

pL

M

e

e

e

µ

µ

µ

µ

µ

µ

ω

ω

ω

=

=

+

=

}

Im{

3

'*

1

r

I

I

jjX

p

M

e

µ

µ

ω

−

=

 

)

(

'

'

r

r

r

jX

s

R

I

E

I

jX

+

=

=

µ

µ

 

}

)

(

Im{

3

'*

'

'

1

r

I

jX

s

R

I

j

p

M

r

r

r

e

+

−

=

ω

 

)}

(

Im{

3

'

'

2

'

1

r

r

e

jX

s

R

jI

p

M

r

+

−

=

ω

 

}

Im{

3

'

'

2

'

1

r

r

e

X

s

R

j

I

p

M

r

+

−

=

ω

 

s

R

I

p

M

r

e

r

'

2

'

1

3

ω

−

=

 

-4- 

s

P

mp

s

I

R

p

M

cu

r

e

r

2

1

2

'

'

1

3

∆

=

−

=

ω

ω

 

p

s )

1

(

1

−

=

Ω

ω

 

)

1

(

2

s

s

P

m

M

cu

e

−

∆

Ω

=

 

Moc mechaniczna w jednej fazie wynosi zatem: 

2

)

1

(

cu

M

P

s

s

P

∆

−

=

 

Jest zatem równoznaczna z mocą traconą na rezystancji o wartości: 

s

s

R

R

r

M

)

1

(

'

−

=

 

Do identycznych wniosków dochodzimy analizując schemat zastępczy 

maszyny asynchronicznej w stanie ustalonym: 

s

s

R

R

s

R

r

r

r

)

1

(

'

'

'

−

+

=

 

Do zagadnień analizy stanów ustalonych możemy rezystancję  R

M

 traktować 

jak rezystancję odpowiadającą mocy mechanicznej na wale maszyny. Zgodnie 
z powyższym możemy napisać: 

 

s

s

P

P

s

P

P

s

P

P

P

P

cu

M

i

M

cu

M

cu

i

)

1

(

)

1

(

2

2

2

−

∆

=

−

=

∆

=

+

∆

=

 

 

-5-