STAN USTALONY SILNIKA ASYNCHRONICZNEGO

PRZY SYMETRYCZNYM ZASILANIU

Jako stan wyjściowy do analizy stanu ustalonego przyjmijmy równania

dynamiki silnika opisanego zależnościami:

s

s

s

s

i

L

i

L

i

L

i

L

r

r

r

r

µ

µ

ψ

ψ

+

=

+

=

'

'

'

'

[1]

u

R i

d

dt

u

R i

d

dt

s

s s

s

r

r

r

r

r

=

+

=

+

ψ

ψ

α ψ

'

' '

'

'

- j

d

dt

[2]

}

Im{

'

*

r

s

i

i

j

pL

M

µ

−

=

[3]

Przyjmijmy, że napięcia zasilające silnik można opisać zależnościami:

u

U

u

U

s

s

α

β

ω

ω

=

=

2

2

1

1

cos

sin(

)

t

t

[4]

Wektor napięcia jest zatem równy:

u

Ue

s

j

t

= 2

1

ω

[5]

Przyjmijmy, że wirnik jest zwarty oraz, że analizy dokonujemy przy założeniu

stałości prędkości obrotowej. Załóżmy, że prądy oraz strumienie są sinusoidalne:

i

I e

s

s

j

t

= 2

1

ω

[6]

i

I e

r

r

j

t

'

'

= 2

1

ω

[7]

Operacja sprowadzenia wielkości wirnika na stronę stojana powoduje, że

można łatwo określić zależności pomiędzy kolejnymi składnikami indukcyjności
własnych i wzajemnych:

'

'

r

r

L

L

L

L

L

L

s

s

δ

µ

δ

µ

+

=

+

=

[8]

W takiej sytuacji w stanie elektromagnetycznie ustalonym można dokonać

różniczkowania opisanego we wzorach [2]. Otrzymamy po przekształceniach:

-1-

)

(

0

'

'

1

'

1

'

'

1

1

s

r

r

s

r

r

r

s

s

s

s

I

L

I

L

j

I

L

j

I

L

j

I

R

I

L

j

I

L

j

I

R

U

r

r

µ

µ

µ

ω

ω

ω

ω

ω

+

−

+

+

=

+

+

=

[9]

Wprowadzenie do równań fikcyjnego prądu (magnesującego):

I

I

s

µ

=

+ I

r

[10]

Przekształca równania [9] do postaci:

µ

µ

µ

µ

δ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

δ

I

L

j

I

L

j

I

R

I

L

j

I

L

j

I

R

U

r

r

s

s

s

s

r

r

)

(

)

(

0

1

'

1

'

'

1

1

−

+

−

+

=

+

+

=

[11]

Dzieląc równania wirnika przez:

s

=

−

ω

ω

ω

1

1

[12]

Otrzymamy znane z teorii maszyn elektrycznych równania opisujące maszynę

indukcyjną symetryczną:

µ

µ

µ

µ

δ

ω

ω

ω

ω

δ

I

L

j

I

L

j

I

s

R

I

L

j

I

L

j

I

R

U

r

r

s

s

s

s

r

r

1

'

1

'

'

1

1

0

+

+

=

+

+

=

[13]

Rozważania opisane wyżej można uogólnić na składową zgodną i przeciwną

napięcia zasilającego, traktując, że wzór [5] dotyczy składowej zgodnej a napięcie
składowej przeciwnej wyrazimy zależnością:

u

U e

s

j

t

−

−

= 2

1

ω

[17]

Przyjmując że składowa przeciwna związana jest z polem wirującym

przeciwnie do prędkości silnika otrzymując zmodyfikowany wzór [11]:

−

−

−

−

−

−

−

+

+

+

+

=

+

+

=

µ

µ

µ

µ

δ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

δ

I

L

j

I

L

j

I

R

I

L

j

I

L

j

I

R

U

r

r

s

s

s

s

r

r

)

(

)

(

0

1

'

1

'

'

1

1

[18]

−

−

−

−

−

−

−

+

+

+

+

=

+

+

=

µ

µ

µ

µ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

I

X

j

I

X

j

I

R

I

jX

I

jX

I

R

U

r

r

s

s

s

s

r

r

1

1

'

1

1

'

'

0

[19]

Wprowadzając pojęcie poślizgu dla składowej przeciwnej:

s

s

−

=

−

−

=

+

−

+

=

+

=

−

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

[20]

po podzieleniu równania 19 przez s otrzymamy:

-2-

−

−

−

−

−

−

−

+

+

−

=

+

+

=

µ

µ

µ

µ

I

jX

I

jX

I

s

R

I

jX

I

jX

I

R

U

r

r

s

s

s

s

r

r

'

'

'

2

0

[21]

Równania [13] określają schemat zastępczy dla stanu ustalonego dla składowej
zgodnej:

R

s

jX

σs

'

r

jX

σ

s

R

r

'

U

s

jX

m

I

m

I

s

I

r

’

E

m

R

Fe

W schemacie tym „sztucznie” dorysowano rezystancję R

fe

. Rezystancję tę

wprowadza się dla uwzględnienia w schemacie zastępczym strat w żelazie (na prądy
wirowe i histerezę), należy przy tym pamiętać, iż jej wartość jak i sposób
umieszczenia w schemacie zastępczym jest określona jedynie dla przybliżonego
uwzględnienia strat i nie ma żadnego związku z modelem matematycznym
opisującym stan dynamiczny i stan ustalony maszyny asynchronicznej

MOMENT W STANIE USTALONYM

Jako stan wyjściowy przyjmijmy

}

Im{

2

3

'*

r

i

i

pL

M

s

e

µ

=

W stanie ustalonym:

t

j

s

s

e

I

i

1

2

ω

=

t

j

e

I

i

r

r

1

'

'

2

ω

=

Stąd po podstawieniu:

}

Im{

3

}

2

Im{

2

3

}

2

2

Im{

2

3

'*

'*

'*

1

1

r

r

r

I

I

pL

M

I

I

pL

M

e

I

e

I

pL

M

s

e

s

e

t

j

t

j

s

e

µ

µ

ω

ω

µ

=

=

=

−

Biorąc pod uwagę, że:

-3-

µ

I

I

I

r

s

+

=

}

)

Im{(

3

'*

r

I

I

I

pL

M

r

e

µ

µ

+

=

)}

Im{(

3

'*

'*

r

r

I

I

I

I

pL

M

r

e

µ

µ

+

=

}

Im{

3

}

Im{

3

}

Im{

3

'*

1

'*

1

1

'*

2

r

r

r

r

I

I

X

p

M

I

I

L

p

M

I

I

I

pL

M

e

e

e

µ

µ

µ

µ

µ

µ

ω

ω

ω

=

=

+

=

}

Im{

3

'*

1

r

I

I

jjX

p

M

e

µ

µ

ω

−

=

)

(

'

'

r

r

r

jX

s

R

I

E

I

jX

+

=

=

µ

µ

}

)

(

Im{

3

'*

'

'

1

r

I

jX

s

R

I

j

p

M

r

r

r

e

+

−

=

ω

)}

(

Im{

3

'

'

2

'

1

r

r

e

jX

s

R

jI

p

M

r

+

−

=

ω

}

Im{

3

'

'

2

'

1

r

r

e

X

s

R

j

I

p

M

r

+

−

=

ω

s

R

I

p

M

r

e

r

'

2

'

1

3

ω

−

=

-4-

s

P

mp

s

I

R

p

M

cu

r

e

r

2

1

2

'

'

1

3

∆

=

−

=

ω

ω

p

s )

1

(

1

−

=

Ω

ω

)

1

(

2

s

s

P

m

M

cu

e

−

∆

Ω

=

Moc mechaniczna w jednej fazie wynosi zatem:

2

)

1

(

cu

M

P

s

s

P

∆

−

=

Jest zatem równoznaczna z mocą traconą na rezystancji o wartości:

s

s

R

R

r

M

)

1

(

'

−

=

Do identycznych wniosków dochodzimy analizując schemat zastępczy

maszyny asynchronicznej w stanie ustalonym:

s

s

R

R

s

R

r

r

r

)

1

(

'

'

'

−

+

=

Do zagadnień analizy stanów ustalonych możemy rezystancję R

M

traktować

jak rezystancję odpowiadającą mocy mechanicznej na wale maszyny. Zgodnie
z powyższym możemy napisać:

s

s

P

P

s

P

P

s

P

P

P

P

cu

M

i

M

cu

M

cu

i

)

1

(

)

1

(

2

2

2

−

∆

=

−

=

∆

=

+

∆

=

-5-