Wprowadzenie do równań dynamiki maszyn asynchronicznych:

Zgodnie z zasadami transformacji układu trójfazowego do zastępczego układu

dwufazowego, o właściwościach maszyny decydują równania strumieniowo-prądowe.
Dla maszyny asynchronicznej przy stosowaniu założeń upraszczających
uwzględniających jedynie pierwszą harmoniczną pola magnetycznego w szczelinie
powietrznej i idealnej symetrii maszyny, równania te w układzie współrzędnych
naturalnych mają postać:

]

[

]

[

]

][

[

]

][

[

]

[

]

][

[

]

][

[

]

][

[

]

[

s

T

sr

r

rr

r

r

r

r

sr

s

ss

s

s

s

i

M

i

M

i

L

i

M

i

M

i

L

+

+

=

+

+

=

σ

σ

ψ

ψ

gdzie poszczególne macierze mają postać:

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

1

0

0

0

1

0

0

0

1

]

[

s

s

L

L

σ

σ

- macierz indukcyjności związanych ze strumieniem rozproszenia stojana

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

°

°

°

°

°

°

=

1

240

cos

120

cos

120

cos

1

240

cos

240

cos

120

cos

1

]

[

ss

ss

M

M

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

=

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1

1

]

[

ss

ss

M

M

-macierz indukcyjności związanych ze strumieniem głównym w obrębie stojana.

Po transformacji polegającej na lewostronnym mnożeniu równań przez

macierz transformacji uzyskamy (niezależnie od przyjętych współczynników
w macierzach transformacyjnych) równania w postaci:

]

][

[

]

[

]

][

[

]

][

[

]

][

][

[

]

][

[

]

][

][

[

]

][

[

]

][

[

]

][

][

[

]

][

[

]

][

][

[

]

][

[

]

][

][

[

]

][

[

1

1

1

1

1

1

s

T

sr

r

rr

r

r

r

r

sr

s

ss

s

s

s

i

s

s

M

s

i

s

s

M

s

i

s

s

L

s

s

i

s

s

M

s

i

s

s

M

s

i

s

s

L

s

s

−

−

−

−

−

−

+

+

=

+

+

=

σ

σ

ψ

ψ

Co sprowadza się do transformacji wartości poszczególnych macierzy

indukcyjności:

-1-

1

]

][

][

[

]

[

−

=

s

L

s

L

αβ

Macierz diagonalna nie zmienia swojej postaci, natomiast macierz

indukcyjności wzajemnych po transformacji uzyska postać:

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

0

0

0

0

1

0

0

0

1

2

3

]

[

0

ss

M

M

ss

αβ

Macierz indukcyjności wzajemnych stojan-wirnik zależy od liczby faz wirnika.

Można udowodnić, że każde symetryczne uzwojenie wielofazowe, przy
uwzględnieniu jedynie podstawowej harmonicznej pola, można przedstawić w postaci
równoważnego układu dwufazowego. Dla wirnika klatkowego jako liczbę faz
przyjmuje się liczbę prętów klatki wirnika. Dla uproszczenia analizy przyjmijmy, że
liczba faz wirnika jest równa liczbie faz stojana (silnik pierścieniowy). Przy takich
założeniach macierze indukcyjności wirnika mają postać identyczną jak w stojanie:

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

1

0

0

0

1

0

0

0

1

]

[

r

r

L

L

σ

σ

- macierz indukcyjności związanych ze strumieniem rozproszenia wirnika

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

=

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1

1

]

[

rr

rr

M

M

- Macierz indukcyjności związanych ze strumieniem głównym w obrębie wirnika

Po transformacji otrzymamy podobnie jak dla stojana:

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

0

0

0

0

1

0

0

0

1

2

3

]

[

0

rr

rr

M

M

αβ

Macierz indukcyjności wzajemnych stojan-wirnik ma postać zależną od kąta

pomiędzy uzwojeniem stojana i wirnika:

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

°

+

°

+

°

+

°

+

°

+

°

+

=

α

α

α

α

α

α

α

α

α

cos

)

240

cos(

)

120

cos(

)

120

cos(

cos

)

240

cos(

)

240

cos(

)

120

cos(

cos

]

[

sr

sr

M

M

-2-

Zastosowanie transformacji opisanej wyżej dla równań opisujących maszynę

indukcyjną prowadzi do diagonalizacji macierzy indukcyjności własnych w stojanie i
wirniku. Macierz indukcyjności wzajemnych stojan-wirnik przyjmuje po transformacji
postać:

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

0

0

0

0

cos

sin

0

sin

cos

2

3

]

[

0

α

α

α

α

αβ

sr

M

M

sr

Uzwojenie wirnika i stojana różnią się liczbą zwojów, liczbą faz (w silniku

klatkowym liczba faz jest równa liczbie prętów wirnika) oraz sposobem rozłożenia
uzwojeń w przestrzeni. Efekt rozłożenia uzwojeń w przestrzeni uwzględnia się
poprzez stosowanie współczynników uzwojenia. Stąd wygodnie jest przekształcić
równania wirnika w taki sposób, aby wielkości występujące w równiach stojana i
wirnika były porównywalne. Zwykle operacje taką przeprowadza się, podobnie jak w
transformatorach, przez zastosowanie przekładni prądowej i napięciowej:

s

s

r

r

s

r

i

k

z

k

z

m

m

=

ϑ

r

r

s

s

u

k

z

k

z

=

ϑ

Przyjęcie takich wartości przekładni prądowej wynika z dostosowania

przepływu wirnika do przepływu stojana, natomiast przekładni napięciowej wynika z
wyrównania sił elektromagnetycznych fazowych wirnika do fazy stojana. Równania w
jednej fazie wirnika można wówczas przedstawić jako:

dt

d

i

R

u

u

r

r

i

i

u

r

u

r

ϑ

ψ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

+

=

Wielkości wirnika należy przeliczać wg zależności:

u

r

r

u

u

ϑ

=

'

i

r

r

i

i

ϑ

=

'

2

'

)

(

r

r

s

s

r

s

i

u

r

r

k

z

k

z

m

m

R

R

=

=

ϑ

ϑ

2

'

)

(

r

r

s

s

r

s

i

u

r

r

k

z

k

z

m

m

L

L

=

=

ϑ

ϑ

Biorąc pod uwagę definicje współczynnika indukcyjności wzajemnej M

sr

można

wykazać, że:

-3-

sr

u

ss

M

M

ϑ

=

rr

i

u

ss

M

M

ϑ

ϑ

=

Wygodnie jest, po przeliczeniu wielkości strony wirnika na stronę stojana,

oznaczyć wielkości występujące w równaniach jako:

ss

M

L

2

3

=

µ

µ

σ

L

L

L

s

s

+

=

µ

σ

L

L

L

r

r

+

=

'

'

Po wykonaniu takich podstawień otrzymamy równania opisujące zastępczy

silnik posiadający dwa uzwojenia w stojanie i dwa w wirniku.

Uzwojenia zastępczej (równoważnej) maszyny dwufazowej można

przedstawić w postaci:

Równania maszyny (przy pominięciu składowej zerowej) mają postać:

dt

d

i

R

u

dt

d

i

R

u

dt

d

i

R

u

dt

d

i

R

u

r

r

r

r

r

r

r

r

s

s

s

s

s

s

s

s

'

'

'

'

'

'

'

'

β

β

β

α

α

α

ψ

ψ

ψ

ψ

β

β

β

α

α

α

+

=

+

=

+

=

+

=

W dalszych równaniach dla uproszczenia opuścimy znak ‘ oznaczający

zastosowanie przekładni prądowej i napięciowej maszyny. Zależności strumieniowo-
prądowe przyjmują postać:

-4-

α

α

ψ

α

α

ψ

α

α

ψ

α

α

ψ

β

µ

α

µ

β

β

β

µ

α

µ

α

α

β

µ

α

µ

β

β

β

µ

α

µ

α

α

cos

sin

sin

cos

cos

sin

sin

cos

s

s

r

r

r

s

s

r

r

r

r

r

s

s

s

r

r

s

s

s

i

L

i

L

i

L

i

L

i

L

i

L

i

L

i

L

i

L

i

L

i

L

i

L

+

−

=

+

+

=

+

+

=

−

+

=

Po pomnożeniu równań z indeksem

β przez j i dodaniu stronami odpowiednich

równań otrzymamy:

)

(

sin

)

(

cos

)

(

)

(

sin

)

(

cos

)

(

β

α

µ

β

α

µ

β

α

β

α

β

α

µ

β

α

µ

β

α

β

α

α

α

ψ

ψ

α

α

ψ

ψ

s

s

s

s

r

r

r

r

r

r

r

r

r

s

s

s

s

s

ji

i

jL

ji

i

L

ji

i

L

j

ji

i

jL

ji

i

L

ji

i

L

j

+

−

−

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

=

+

Otrzymamy opis równań strumieniowo-prądowych w postaci zespolonej:

α

µ

α

µ

ψ

ψ

j

s

r

r

r

j

r

s

s

s

e

i

L

i

L

e

i

L

i

L

−

+

=

+

=

Pomnożenie równań wirnika przez wielkość e

j

α

jest równoznaczne

z transformacją równań opisujących wirnik do układu stacjonarnego, otrzymamy:

s

r

s

s

s

i

L

i

L

i

L

i

L

r

r

r

µ

µ

ψ

ψ

+

=

+

=

'

'

'

α

α

ψ

ψ

j

j

r

e

e

i

i

r

r

r

=

=

'

'

Oraz:

dt

d

e

i

e

R

e

u

dt

d

i

R

u

r

r

r

j

j

r

j

s

s

s

s

ψ

ψ

α

α

α

+

=

+

=

'

'

dt

d

e

i

R

u

r

r

r

j

r

ψ

α

+

=

-5-

dt

de

dt

d

e

dt

e

d

dt

d

j

j

j

r

r

r

r

α

α

α

ψ

ψ

ψ

ψ

+

=

=

)

(

'

dt

d

je

dt

d

e

dt

d

j

j

r

r

r

α

ψ

ψ

ψ

α

α

+

=

'

'

'

r

r

r

dt

d

j

dt

d

dt

d

e

j

ψ

α

ψ

ψ

α

−

=

Równana maszyny asynchronicznej przyjmują postać:

s

r

s

s

s

i

L

i

L

i

L

i

L

r

r

r

µ

µ

ψ

ψ

+

=

+

=

'

'

'

u

R i

d

dt

u

R i

d

dt

s

s s

s

r

r

r

r

r

=

+

=

+

ψ

ψ

α ψ

'

'

'

'

- j

d

dt

Wzór na moment elektromagnetyczny uzyskamy po analizie następujących

zależności:

u i

R i i

d

dt

i

u i

R i i

d

dt

i

i

s

s s

s

r r

r r r

r

r r

s

s

s

r

*

*

*

' *

' *

'

' *

'

' *

=

+

=

+

ψ

ψ

α ψ

- j

d

dt

Występujące w równaniach wielkości to:

-6-

a

mechaniczn

moc

}

dt

d

Re{-j

ego

magnetyczn

pola

moc

}

Re{

h wirniku

uzwojaniac

mocy w

straty

nika

obwodu wir

do

a

dostarczon

moc

}

Re{

ego

magnetyczn

pola

moc

}

Re{

stojana

h

uzwojeniac

mocy w

straty

stojana

obwodu

do

a

dostarczon

moc

}

Re{

'*

'

'*

'

*

'*

*

*

*

−

−

−

−

−

−

−

r

r

r

r

r

r

s

s

s

s

i

i

dt

d

i

i

R

i

u

i

dt

d

i

i

R

i

u

r

r

r

s

s

s

ψ

α

ψ

ψ

Moment mechaniczny jest zatem równy:

m

'

'*

'*

'

'*

'

m

m

e

}

Im{

}

Im{

dt

d

}

dt

d

Im{-

p

=

P

=

M

ω

ω

ψ

ψ

ω

α

ψ

α

ω

ω

p

i

p

M

i

p

M

i

r

r

e

r

r

e

r

r

=

=

−

=

=

Jako, że:

*

'*

'*

s

r

r

r

i

L

i

L

µ

ψ

+

=

-7-

Otrzymamy:

}

Im{

}

Im{

'

*

'

'*

r

s

r

r

r

e

i

i

pL

i

i

L

p

M

µ

=

=

Bardzo często operujemy wielkością strumienia wypadkowego wynikającego z

wypadkowego prądu magnesującego:

r

s

i

i

i

+

=

µ

}

Im{

}

Im{

*

*

*

µ

µ

µ

µ

i

i

pL

i

i

i

i

pL

M

s

s

s

s

e

=

+

=

}

Im{

}

Im{

*

*

µ

µ

µ

ψ

s

s

e

i

p

i

L

i

p

M

=

=

Wyprowadzone równania należy uzupełnić równaniem dynamiki masy wirującej:

d

dt

J

M

M

m

e

ω

=

−

1

0

(

)

Równania wyprowadzono przy zastosowaniu transformacji zachowującej moc,

tzn:

[ ]

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

2

1

2

1

2

1

2

3

2

3

0

2

1

2

1

1

3

2

S

Przy stosowaniu macierzy:

[ ]

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

2

1

2

1

2

1

2

3

2

3

0

2

1

2

1

1

3

2

S

Wzór na moment ma wartość zaniżoną, stąd:

}

Im{

2

3

'*

'

r

r

i

p

M

ψ

−

=

-8-

Uwaga!!!

Dostępne są programy symulacyjne dynamiki maszyn asynchronicznych:

-

ASYNCH.EXE – zasilanie sinusoidalne

-

ASYNCH_PWM.EXE – zasilanie z falownika napięcia sterowanego metodą
modulacji szerokości impulsów (PWM)

W obu programach dostępne są wielkości w różnych układach odniesienia:

-

ABC – układ trójfazowy

-

alfa, beta – układ stacjonarny

-

xy – układ wirujący z prędkością synchroniczną

-

dq – układ związany z wirnikiem, wirujący z prędkością wirowania wirnika

Wartość napięcia U określa wartość skuteczną napięcia fazowego, natomiast

w przypadku zasilania z falownika PWM jest to wartość napięcia stałego zasilającego
falownik. Wielkości oznaczone przyrostkiem _i są to wielkości orientowane względem
wektora prądu stojana, _psi – wektora strumienia stojana.

W przypadku zasilania z falownika oprócz częstotliwości napięcia wyjściowego

podawana jest wartość częstotliwości modulacji oraz współczynnik gamma
określający wartość względną napięcia sterującego. Tym współczynnikiem możemy
zmieniać wartość amplitudy pierwszej harmonicznej napięcia wyjściowego
z falownika.

W programach przyjęto transformację w postaci:

[ ]

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

2

1

2

1

2

1

2

3

2

3

0

2

1

2

1

1

3

2

S

-9-