MOMENT MASZYNY ASYNCHRONICZNEJ W STANIE

USTALONYM

(wzór Klossa)

Moment elektromagnetyczny maszyny asynchronicznej można wyrazić
wzorem:

s

R

I

p

M

r

e

r

'

2

'

1

3

ω

=

Na potrzeby wyznaczenia momentu uprośćmy schemat zastępczy

maszyny asynchronicznej pomijając gałąź poprzeczną (R

fe

i X

µ

) oraz przyjmują,

że:

R

r

/s>>R

s

jX

σ

s

'

r

jX

σ

s

R

r

'

U

s

I

s

I

r

’

Otrzymamy:

)

(

'

'

'

r

s

r

s

X

X

j

s

R

U

I

r

+

+

=

s

R

X

X

s

R

U

p

M

r

r

s

r

s

e

'

2

'

2

2

'

2

1

*

)

(

3

+

+

=

ω

2

'

2

'

'

2

1

)

(

3

r

s

r

r

s

e

X

X

s

s

R

R

U

p

M

+

+

=

ω

Wartość maksymalna momentu wyznaczymy z warunku:

-1-

0

=

ds

dM

e

0

)

(

2

'

2

2

'

=

+

+

−

r

s

r

X

X

s

R

'

'

r

s

r

k

X

X

R

s

+

±

=

Dla takiego poślizgu, nazywanego poślizgiem krytycznym moment
jest równy:

)

(

2

3

'

2

1

r

s

s

k

X

X

U

p

M

+

±

=

ω

Jeśli wartość momentu podzielimy przez tą wartość momentu,
nazywanego momentem krytycznym, otrzymamy wzór Klossa:

s

s

s

s

M

M

k

k

k

e

+

=

2

Wzór Klossa jest bardzo wygodnym uproszczeniem

charakterystyki mechanicznej silnika asynchronicznego, stąd bardzo
często używany jest w technice napędu elektrycznego do szacowania
różnych wielkości w silniku asynchronicznym np. na podstawie
danych katalogowych. W katalogu podaje się m.in. parametr:

λ

=

n

k

M

M

Możemy szacować wartość poślizgu krytycznego ze wzoru

Klossa:

λ

2

=

+

n

k

k

n

s

s

s

s

0

2

2

2

=

+

−

n

k

n

k

s

s

s

s

λ

-2-

)

1

(

4

4

4

2

2

2

2

2

−

=

−

=

∆

λ

λ

n

n

n

s

s

s

2

)

1

(

2

2

2

−

±

=

λ

λ

n

n

k

s

s

s

)

1

(

2

−

±

=

λ

λ

n

k

s

s

Z uwagi na symetrię względem poślizgu znamionowego i krytycznego

do obliczenia poślizgu krytycznego należy stosować znak "+":

)

1

(

2

−

+

=

λ

λ

n

k

s

s

Analogiczne obliczenia poślizgu dla danego momentu (na części

stabilnej charakterystyki mechanicznej) należy wykonywać wg

zależności:

)

1

)

(

(

2

−

−

=

M

M

M

M

s

s

k

k

k

Postępowanie takie umożliwia szacowanie charakterystyk

momentu na podstawie danych katalogowych, także po wtrąceniu
rezystancji dodatkowej do obwodu wirnika, wówczas mamy bowiem:

s

s

s

s

M

M

k

k

k

e

+

=

2

'

'

'

r

s

d

r

k

X

X

R

R

s

+

+

±

=

)

(

2

3

'

2

1

r

s

k

X

X

U

p

M

s

+

±

=

ω

Wynikają stąd ważne wnioski dotyczące zależności momentu od

napięcia i częstotliwości:

-3-

2

2

f

U

c

M

s

k

=

oraz wnioski dotyczące kształtowania momentu (np. rozruchowego)
poprzez wtrącenie do obwodu wirnika dodatkowej rezystancji

Dokładniejszą postać wzoru Klossa otrzymamy przy

uwzględnieniu R

s

oraz X

µ

. Otrzymamy wówczas:

ε

ε

k

k

k

k

k

e

s

s

s

s

s

s

M

M

2

)

1

(

2

+

+

+

=

gdzie:

)

)

(

(

2

2

'

2

s

s

r

s

X

X

R

R

X

R

+

+

=

µ

µ

ε

2

'

2

'

)

(

r

s

s

r

k

X

X

R

R

s

+

+

±

=

Rezystancję stojana pomija się zwykle dla silników o mocy większej

niż 10kW (wówczas

ε

=0 oraz R

s

=0) i wówczas pełny wzór Klossa

przyjmuje postać uproszczoną.

Uwaga!

Przedstawione wyżej zależności wymagają uzupełnienia,

szczególnie w sytuacji, gdy zmieniamy częstotliwość napięcia
zasilającego. W przypadku częstotliwości bliskich znamionowej
można stosować uproszczony wzór Klossa, natomiast obniżenie
częstotliwości powoduje, że niezbędne jest uwzględnienie rezystancji
stojana, czyli użycie pełnej zależności.

-4-

Zasilanie stojana prądem stałym (hamowanie dynamiczne)

upraszcza postać równań. Do szacowania wartości momentu
hamującego najwygodniej wykorzystać postać równań maszyny
podaną w opisie stanów dynamicznych. Przy napięciu stałym
równania stojana sprowadzają się do wyznaczenia prądów w osiach
alfa i beta z prawa Ohma:

s

R

u

i

α

α

=

s

R

u

i

β

β

=

W równaniach wirnika pojawia się składowa napięci rotacji,

przy zerowej wartości pochodnej strumienia skojarzonego z
uzwojeniami wirnika, stąd wartość prądu wirnika można wyznaczyć z
zależności:

ω

ψ

R

R

R

j

i

R

−

=

0

stąd:

ω

ω

S

R

R

R

R

i

jM

i

jL

i

R

−

−

=

0

oraz:

ω

ω

R

R

S

R

jL

R

i

jM

i

−

=

Straty mocy na rezystancji wirnika stanowią całość mocy

mechanicznej wytworzonej przez wirujący wirnik, stąd:

2

2

2

2

2

2

2

3

2

3

ω

ω

R

R

R

S

R

R

e

L

R

R

i

M

R

i

M

+

−

=

Ω

=

Biorąc pod uwagę, że pulsacja i prędkość mechaniczna związana

jest zależnością:

Ω

=

p

ω

gdzie p –liczba par biegunów otrzymamy:

-5-

p

L

R

R

i

M

M

R

R

R

S

e

2

2

2

2

2

2

3

ω

ω

+

−

=

Współczynnik 3/2 związany jest w wyborem współczynnika przy
transformacji wielkości układu 3-fazowego do 2-fazowego.

-6-