Rachunek prawdopodobieństwa

1. Wprowadzenie

Przyjmijmy następujące oznaczenia:
ω - pojedyńcze zdarzenie
Ω - zbiór zdarzeń elementarnych
Ø - zdarzenie niemożliwe

Definicja 1.1
Rodzinę F podzbiorów Σ nazywamy σ−ciałem jeżeli:

1) F 6= Ø

2) A ∈ F ⇒ A

0

∈ F

3) jeśli dla n = 1, 2, . . . A

n

∈ F to

∞

[

n=1

A

n

∈ F

Uwaga 1.1
Rodzina F będzie ciałem, gdy warunek 3 zastąpimy warunkiem:

A, B ∈ F ⇒ A ∪ B ∈ F

Definicja 1.2
Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję P określoną na σ−ciele F taką, że

1) P (A) ­ 0, A ∈ F

2) P (Ω) = 1

3) jeśli A

n

∈ F oraz A

i

∩ A

j

= Ø dla i 6= j to P

∞

[

n=1

A

n

!

=

∞

X

n=1

P (A

n

)

Własność 3 nosi nazwę przeliczalnej addytywności.

Uwaga 1.2
Prawdopodobieństwo jest miarą unormowaną (miara całej przestrzeni Ω wynosi 1).
Trójkę (Ω, F, P ) nazywamy przestrzenia probabilistyczną.

Twierdzenie 1.1
P (Ø) = 0

Dowód:

Ø =

∞

[

n=1

A

n

, A

n

= Ø, dla n = 1, 2, . . .

wobec tego:

P (Ø) = P

∞

[

n=1

A

n

!

=

∞

X

n=1

A

n

=

∞

X

n=1

P (Ø)

skąd wynika, że P (Ø) = 0.

Twierdzenie 1.2
Jeśli A

1

, . . . , A

n

∈ F oraz A

i

∩ A

j

= Ø dla i 6= j, to

P

n

[

i=1

A

i

!

=

n

X

i=1

P (A

i

)

Dowód:
Przyjmijmy dla k > nA

k

= Ø. Wówczas:

P

n

[

i=1

A

i

!

= P

∞

[

i=1

A

i

!

=

∞

X

i=1

P (A

i

) =

n

X

i=1

P (A

i

)

Twierdzenie 1.3
P (A

0

) = 1 − P (A)

Dowód: Zauważmy, że Ω = A ∪ A

0

. Więc 1 = P (Ω) = P (A) + P (A

0

).

Twierdzenie 1.4
A ⊂ B ⇒ P (A) ¬ P (B)

Dowód:
Zauważmy, że: B = A ∪ (B \ A). Wobec tego: P (B) = P (A) + P (B \ A) ­ P (A)
gdyż P (B \ A) ­ 0.

Twierdzenie 1.5
A ∈ F ⇒ P (A) ¬ 1
Implikacja wynika z faktu, że: A ⊂ Ω, P (Ω) = 1 i z twierdzenia (1.4)

Twierdzenie 1.6
A ⊂ B ⇒ P (B \ A) = P (B) − P (A)
Implikacja wynika wprost z dowodu twierdzenia (1.4)

Twierdzenie 1.7
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

Dowód: Zauważmy, że A ∪ B = A ∪ (B \ (A ∩ B)). Wobec tego:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B \ (A ∩ B)) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

Twierdzenie 1.8
P (A ∪ B) ¬ P (A) + P (B)
Nierówność wynika z twierdzenia (1.7)

Twierdzenie 1.9
Jeśli A

1

, . . . , A

n

∈ F , to dla P (A

1

∪ . . . ∪ A

n

) zachodzi zasada włączania-wyłączania.

Twierdzenie 1.10

A ⊂

n

[

i=1

A

i

⇒ P (A) ¬

n

X

i=1

P (A

i

)

Dowód: Przedstawmy zbiór A w postaci sumy

A =

n

[

i=1

B

i

gdzie B

i

= A ∩ A

i

Ponieważ zbiory B

i

nie są jeszcze parami rozłączne, utwórzmy ciąg zbiorów

C

1

= B

1

,

C

k

= B

k

\

k−1

[

i=1

B

i

Wówczas mamy:

n

[

i=1

C

i

=

n

[

i=1

B

i

oraz C

i

⊂ B

i

⊂ A

i

A więc na mocy (1.4)

P (A) = P

n

[

i=1

B

i

!

= P

n

[

i=1

C

i

!

=

n

X

i=1

P (C

i

) ¬

n

X

i=1

P (B

i

) ¬

n

X

i=1

P (A

i

)

Twierdzenie 1.11

P

n

[

i=1

A

i

!

¬

n

X

i=1

P (A

i

)

Twierdzenie 1.12 Niech A

1

⊂ A

2

⊂ A

3

⊂ . . . będzie wstępującym ciągiem zdarzeń.

Wtedy

P

∞

[

n=1

A

n

!

= lim

n→∞

P (A

n

)

Dowód:
Utwórzmy zbiory: C

1

= A

1

, . . . , C

k

= A

k

\ A

k−1

. Zbiory C

i

są parami rozłączne

(ponieważ mamy ciąg wstępujący, to każdy zbiór A

i

zawiera wszystkie poprzednie).

Zauważmy jeszcze, że

∞

[

i=1

C

i

=

∞

[

i=1

A

i

oraz

n

[

i=1

C

i

= A

n

Więc:

P

∞

[

n=1

A

i

!

= P

∞

[

n=1

C

i

!

=

∞

X

n=1

P (C

i

) = lim

n→∞

n

X

n=1

P (C

i

) =

= lim

n→∞

P

n

[

n=1

C

i

!

= lim

n→∞

P (A

n

)

Twierdzenie 1.13
Niech A

1

⊂ A

2

⊂ A

3

⊂ . . . będzie wstępującym ciągiem zdarzeń. Wtedy

∞

[

n=1

A

n

= Ω

!

⇒



lim

n→∞

P (A

n

) = 1



Twierdzenie 1.14
Niech A

1

⊃ A

2

⊃ A

3

⊃ . . . będzie zstępującym ciągiem zdarzeń. Wtedy

P

∞

\

n=1

A

n

!

= lim

n→∞

P (A

n

)

Dowód:
Utwórzmy ciąg zbiorów B

n

, tak, że: B

i

= A

0
i

. Wtedy: B

1

⊂ B

2

⊂ . . . więc

P

∞

[

n=1

B

n

!

= lim

n→∞

P (B

n

)

Korzystając z praw De Morgana dostajemy

P

∞

[

n=1

B

n

!

= P

∞

[

n=1

A

0
n

!

= P

∞

\

n=1

A

n

!

0

!

= 1 − P

∞

\

n=1

A

n

!

Ostatecznie dostajemy

P

∞

\

n=1

A

n

!

= 1 − P

∞

[

n=1

A

n

!

= 1 − lim

n→∞

P (B

n

) = lim

n→∞

(1 − P (B

n

)) = lim

n→∞

P (A

n

)

Twierdzenie 1.15
Niech A

1

⊃ A

2

⊃ A

3

⊃ . . . będzie zstępującym ciągiem zdarzeń. Wtedy

∞

\

n=1

A

n

= Ø

!

⇒



lim

n→∞

P (A

n

) = 0



Twierdzenie 1.16
Przeliczalna addytywność prawdopodobieństwa P jest równoważna skończonej ad-
dytywności P i jednej z własności udowodnionych w (1.12) bądź (1.14).

Dowód:
( ⇒ ). Wynika z poprzednich twierdzeń.
( ⇐ ). Załóżmy skończoną addytywność P i niech zachodzi własność z (1.12). Weźmy
ciąg zdarzeć rozłącznych: A

n

∈ F, n = 1, 2, . . . (A

i

∩ A

j

= Ø gdy i 6= j).

Ze skończonej addytywności mamy

P

n

[

i=1

A

i

!

=

n

X

i=1

P (A

i

)

Utwórzmy nowy ciąg zdarzeń B

n

w następujący sposób: B

i

= A

1

∪ . . . ∪ A

i

Zauważmy, że dla zdarzeń B

i

mamy

B

n

⊂ B

n+1

∞

[

n=1

B

n

=

∞

[

n=1

A

n

n

[

i=1

B

i

=

n

[

i=1

A

i

wobec czego dostajemy ostatecznie

P

∞

[

n=1

A

n

!

= P

∞

[

n=1

B

n

!

= lim

n→∞

B

n

=

= lim

n→∞

P

n

X

i=1

A

i

!

= lim

n→∞

n

X

i=1

P (A

i

) =

∞

X

n=1

P (A

n

)

W drugiej równości korzystamy z (1.12), w piątej ze skończonej addytywności A

n

.

Przyjrzymy się teraz przestrzenią probabilistycznym w zależności od wyboru Ω.

Niech Ω = (ω

1

, . . . , ω

n

). A więc zbiór zdarzeń jest zbiorem skończonym, wobec tego

F = 2

Ω

. Prawdopodobieństwo P określamy następująco

P ({ω

i

}) = p

i

i = 1, . . . , n

p

i

­ 0

p

1

+ · · · + p

n

= 1

Ponadto

A ∈ F

⇒

P (A) =

X

ω(i)∈A

p

i

Przyjmując P ({ω

i

}) =

1

n

, otrzymujemy klasyczną definicję prawdopodobieństwa.

Niech Ω będzie zbiorem nieskończonym, ale przeliczalnym. Wtedy podobnie jak w
poprzednim przypadku F = 2

Ω

. Prawdopodobieństwo P określamy następująco

P ({ω

i

}) = p

i

p

i

­ 0

∞

X

i=1

p

i

= 1

Zauważmy, że przy takiej postaci zbioru Ω liczby p

i

nie mogą być równe. Ponadto

prawdopodobieństwo zdarzenia A ∈ F określamy jak w poprzednim przypadku.

Niech Ω będzie zbiorem nieprzeliczalnym, podzbiorem R. Dla ustalenia uwagi przyj-
mijmy odcinek h0, 1i. Wówczas F = B

h0,1i

, gdzie B

h0,1i

jest σ−ciałem podzbiorów

borelowskich odcinka h0, 1i. Natomiast prawdopodobieństwo P określamy jako mia-
rę Lebesque’a na odcinku h0, 1i: P = l|

h0,1i

Niech Ω ⊂ R

n

i niech 0 < l

n

(Ω) < ∞, gdzie l

n

jest miarą Lebesque’a w R

n

. Wtedy

F = B

Ω

jest rodziną podzbiorów borelowskich zbioru Ω. Prawdopodobieństwo P

określamy następująco

A ∈ F

⇒

P (A) =

l

n

(A)

l

n

(Ω)

W myśl tej definicji jest oczywiście P (Ω) = 1. Tak określone prawdopodobieństwo
nazywamy geometrycznym.

2. Rozszerzanie miary prawdopodobieństwa

Niech Ω będzie zbiorem zdarzeń. Rozpatrzmy zbiór U ⊂ 2

Ω

będący ciałem, to jest

spełniający warunki

U 6= Ø

A ∈ U ⇒ A

0

∈ U

A, B ∈ U ⇒ A ∪ B ∈ U

Niech teraz Q: U → R będzie funkcją addytywną, to znaczy

(A, B ∈ U ∧ A ∩ B = Ø)

⇒

Q(A ∪ B) = Q(A) + Q(B)

Określmy teraz pewien warunek (warunek przeliczalnej addytywności)

A

n

∈ U, (n = 1, 2, . . .), A

i

∩ A

j

= Ø,

∞

[

i=1

A

n

∈ U

!

⇒ Q

∞

[

i=1

A

n

!

=

∞

X

i=1

Q(A

n

)

Okazuje się, że funkcję addytywną Q można rozszerzyć do miary prawdopodobień-
stwa, jeśli spełnia ona warunek przeliczlanej addytywności. Jest to treścią poniższego
twierdzenia.

Twierdzenie 2.1
Niech Q będzie nieujemną funkcją addytywną określoną na ciele U ⊂ 2

Ω

, taką że

Q(Ω) = 1 oraz spełniającą warunek przeliczalnej addytywności.
Wówczas istnieje jednoznacznie określona miara prawdopodobieństwa P określona
na σ−ciele generowanym przez ciało U , która jest rozszerzeniem funkcji Q.

Definicja 2.1
Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Mówimy, że miara prawdopo-
dobieństwa P jest miarą zupełną, jeśli każdy podzbiór zdarzeń miary zero należy do
F , tzn.

(A ⊂ B ∧ P (B) = 0)

⇒

(P (A) = 0 ∧ A ∈ F )

Przykład 2.1
Rozpatrzmy jako Ω zbiór wszystkich liczb wymiernych odcinka h0, 1i, a więc Ω =
h0, 1i ∩ Q. Niech M będzie rodziną podzbiorów postaci

ha, bi ∩ Q

∨

(a, bi ∩ Q

∨

ha, b) ∩ Q

∨

(a, b) ∩ Q

0 ¬ a ¬ b ¬ 1

I niech U będzie rodziną zawierającą wszystkie sumy skończone zbiorów rozłącznych
z M

U =

(

n

[

i=1

A

i

: A

i

∈ M, A

i

∩ A

j

= Ø, i 6= j

)

Określone w ten sposób U jest ciałem. Następnie zdefiniujmy funkcje P

∗

tak

P

∗

(ha, bi) = b − a

B ∈ U ⇒ B =

n

[

i=1

A

i

⇒ P

∗

(B) =

n

X

i=1

P

∗

(A

i

)

Tak określona funkcja jest nieujemna i addytywna. Ponadto P

∗

(Ω) = 1. Jednak nie

jest spełniona dla tej funkcji własność przeliczalnej addytywności.
Istotnie. Ze wszystkich liczb wymiernych z Ω utwórzmy zbiory jednoelementowe po-
staci {r}, gdzie r ∈ h0, 1i ∩ Q. Wtedy

[

r∈Ω

{r} = Ω

P

∗

({r}) = 0

1 = P

∗

(Ω) = P

∗





[

r∈Ω

{r}





=

X

r∈Ω

P

∗

({r}) = 0

I ostrzymujemy sprzeczność. Zatem tak określonej funkcji P

∗

nie można rozszerzyć

do miary prawdopodobieństwa.

Przykład 2.2
Niech Ω = h0, 1i. Rozważmy rodzinę U zawierającą wszystkie przedziały postaci
ha, b) oraz wszystkie sumy skończone

n

[

i=0

ha

i

, b

i

)

gdzie ha

i

, b

i

) ∩ ha

j

, b

j

) = Ø, i 6= j

Określmy funkcję P

∗

następująco

P

∗

(ha, b)) = b − a

P

∗

n

[

i=0

ha

i

, b

i

)

!

=

n

X

i=0

(b

i

− a

i

)

Tak określona funkcja P

∗

spełnia warunek przeliczalnej addytywności, więc na mocy

ostatniego twierdzenia można ją rozszerzyć do miary prawdopodobieństwa.

GRZEGORZ GIERLASIŃSKI