k
1.8
10
5
×
N
m
=
k
12EI
L
3
:=
Uwaga: Współczynnik sztywności jednego słupa wyznacza się z wzoru:
- częstość siły wymuszającej
ω
w
6
rad
s
:=
- amplituda siły wymuszającej
F0
24kN
:=
- ustalony współczynnik tłumienia tłumika drgań
ct
4 10
4
⋅
kg
s
:=
- współczynnik tłumienia konstrukcyjnego jednego słupa
c
2 10
4
⋅
kg
s
:=
- sztywność giętna jednego słupa
EI
15MN m
2
⋅
:=
- wysokość kondygnacji
L
10m
:=
- masa kondygnacji
M
10 10
3
kg
⋅
:=
Dane
MN
10
6
N
:=
kN
10
3
N
:=
L
F(t)
ξ
ξ
ξ
c
Sztywna kondygnacja o masie m
t
EI, c
EI, c
Przy jakiej częstości siły wymuszającej amplituda drgań ustalonych bez tłumika drgań jest
największa i ile wynosi?.
W budynku jednokondygnacyjnym o schemacie jak na rysunku zastosowano wiskotyczny tłumik
drgań. Budynek jest narażony na działanie harmonicznej siły wymuszającej o charakterystyce
sinusoidalnej.
Wyznaczyć:
1. częstość drgań własnych budynku (bez tłumika drgań)
2. amplitudę drgań ustalonych w ruchu wymuszonym jeśli zdemontowany jest tłumik drgań
3. amplitudę drgań ustalonych w ruchu wymuszonym jeśli wspóczynnik tłumienia tłumika drgań
wynosi c
t
4. współczynnik tłumienia tłumika wiskotycznego, przy którym całkowite tłumienie budynku osiąga
wartość krytyczną.
Zadanie 5
ω
k
5.657 Hz
=
4
2
⋅
5.657
=
Odpowiedź na pytanie 2
q0
F0
M
:=
Bk
q0
ω
2
1
1
ω
w
ω
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
2
−
⎡⎢
⎢
⎣
⎤⎥
⎥
⎦
2
2
bk
ω
⋅
ω
w
ω
⋅
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
2
+
⋅
:=
Bk 0.1 m
=
Odpowiedź na pytanie 3
q0
F0
M
:=
Bt
q0
ω
2
1
1
ω
w
ω
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
2
−
⎡⎢
⎢
⎣
⎤⎥
⎥
⎦
2
2
bt
ω
⋅
ω
w
ω
⋅
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
2
+
⋅
:=
Bt 0.05 m
=
Odpowiedź na pytanie 4
Współczynnik tłumienia krytycznego wyznacza się z zależności:
ω
2
bkr
2
−
0
=
wtedy:
bkr
ω
:=
Więc
bkr
c
1
2
ctkr
+
M
=
ω
=
stąd
ctkr
2
ω M
⋅
c
−
(
)
⋅
:=
ctkr 8 10
4
×
kg
s
=
Rozwiązanie
Równanie ruchu masy M z uwzględnieniem
wyłącznie tłumienia konstrukcyjnego ma postać:
M
2
t
x
d
d
2
⋅
2c
t
x
d
d
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
⋅
+
2k x
⋅
+
F t
( )
=
Równanie ruchu masy M z uwzględnieniem
tłumika drgań ma postać:
M
2
t
x
d
d
2
⋅
2c
ct
+
(
)
t
x
d
d
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
⋅
+
2k x
⋅
+
F t
( )
=
Lub po przekształceniach - równanie 1
2
t
x
d
d
2
2bk
t
x
d
d
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
⋅
+
ω
2
x
⋅
+
f t
( )
=
równanie 2
2
t
x
d
d
2
2bt
t
x
d
d
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
⋅
+
ω
2
x
⋅
+
f t
( )
=
gdzie:
bk
c
M
:=
bt
c
1
2
ct
+
M
:=
ω
2k
M
:=
bk 2 Hz
=
bt 4 Hz
=
ω
6 Hz
=
Odpowiedź na pytanie 1
Częstość drgań własnych z uwzględnieniem wyłącznie tłumienia konstrukcyjnego wynosi
ω
k
ω
2
bk
2
−
:=
Odpowiedź na pytanie 5
Największa amplituda drgań w ruchu ustalonym bez tłumika drgań wystąpi przy częstości siły
wymuszającej równej
ω
k
i wyniesie:
Bmax
q0
ω
2
1
1
ω
k
ω
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
2
−
⎡⎢
⎢
⎣
⎤⎥
⎥
⎦
2
2
bk
ω
⋅
ω
k
ω
⋅
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
2
+
⋅
:=
Bmax 0.104 m
=