k

1.8

10

5

×

N

m

=

k

12EI

L

3

:=

Uwaga: Współczynnik sztywności jednego słupa wyznacza się z wzoru:

- częstość siły wymuszającej

ω

w

6

rad

s

:=

- amplituda siły wymuszającej

F0

24kN

:=

- ustalony współczynnik tłumienia tłumika drgań

ct

4 10

4

⋅

kg

s

:=

- współczynnik tłumienia konstrukcyjnego jednego słupa

c

2 10

4

⋅

kg

s

:=

- sztywność giętna jednego słupa

EI

15MN m

2

⋅

:=

- wysokość kondygnacji

L

10m

:=

- masa kondygnacji

M

10 10

3

kg

⋅

:=

Dane

MN

10

6

N

:=

kN

10

3

N

:=

L

F(t)

ξ

ξ

ξ

c

Sztywna kondygnacja o masie m

t

EI, c

EI, c

Przy jakiej częstości siły wymuszającej amplituda drgań ustalonych bez tłumika drgań jest
największa i ile wynosi?.

W budynku jednokondygnacyjnym o schemacie jak na rysunku zastosowano wiskotyczny tłumik
drgań. Budynek jest narażony na działanie harmonicznej siły wymuszającej o charakterystyce
sinusoidalnej.

Wyznaczyć:

1. częstość drgań własnych budynku (bez tłumika drgań)
2. amplitudę drgań ustalonych w ruchu wymuszonym jeśli zdemontowany jest tłumik drgań
3. amplitudę drgań ustalonych w ruchu wymuszonym jeśli wspóczynnik tłumienia tłumika drgań

wynosi c

t

4. współczynnik tłumienia tłumika wiskotycznego, przy którym całkowite tłumienie budynku osiąga

wartość krytyczną.

Zadanie 5

ω

k

5.657 Hz

=

4

2

⋅

5.657

=

Odpowiedź na pytanie 2

q0

F0

M

:=

Bk

q0

ω

2

1

1

ω

w

ω

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

2

−

⎡⎢

⎢

⎣

⎤⎥

⎥

⎦

2

2

bk

ω

⋅

ω

w

ω

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

2

+

⋅

:=

Bk 0.1 m

=

Odpowiedź na pytanie 3

q0

F0

M

:=

Bt

q0

ω

2

1

1

ω

w

ω

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

2

−

⎡⎢

⎢

⎣

⎤⎥

⎥

⎦

2

2

bt
ω

⋅

ω

w

ω

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

2

+

⋅

:=

Bt 0.05 m

=

Odpowiedź na pytanie 4

Współczynnik tłumienia krytycznego wyznacza się z zależności:

ω

2

bkr

2

−

0

=

wtedy:

bkr

ω

:=

Więc

bkr

c

1

2

ctkr

+

M

=

ω

=

stąd

ctkr

2

ω M

⋅

c

−

(

)

⋅

:=

ctkr 8 10

4

×

kg

s

=

Rozwiązanie

Równanie ruchu masy M z uwzględnieniem
wyłącznie tłumienia konstrukcyjnego ma postać:

M

2

t

x

d

d

2

⋅

2c

t

x

d

d

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

⋅

+

2k x

⋅

+

F t

( )

=

Równanie ruchu masy M z uwzględnieniem
tłumika drgań ma postać:

M

2

t

x

d

d

2

⋅

2c

ct

+

(

)

t

x

d

d

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

⋅

+

2k x

⋅

+

F t

( )

=

Lub po przekształceniach - równanie 1

2

t

x

d

d

2

2bk

t

x

d

d

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

⋅

+

ω

2

x

⋅

+

f t

( )

=

równanie 2

2

t

x

d

d

2

2bt

t

x

d

d

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

⋅

+

ω

2

x

⋅

+

f t

( )

=

gdzie:

bk

c

M

:=

bt

c

1

2

ct

+

M

:=

ω

2k

M

:=

bk 2 Hz

=

bt 4 Hz

=

ω

6 Hz

=

Odpowiedź na pytanie 1

Częstość drgań własnych z uwzględnieniem wyłącznie tłumienia konstrukcyjnego wynosi

ω

k

ω

2

bk

2

−

:=

Odpowiedź na pytanie 5

Największa amplituda drgań w ruchu ustalonym bez tłumika drgań wystąpi przy częstości siły
wymuszającej równej

ω

k

i wyniesie:

Bmax

q0

ω

2

1

1

ω

k

ω

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

2

−

⎡⎢

⎢

⎣

⎤⎥

⎥

⎦

2

2

bk

ω

⋅

ω

k

ω

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

2

+

⋅

:=

Bmax 0.104 m

=