Do rozwiązania równania skalarnego

(1)

f (x) = 0

możemy użyć, m.in. następujących metod:

A.

Metody Mullera: Niech będą dane przybliżenia x

i

, x

i−1

, x

i−2

. Mamy obliczyć x

i

+1

. W tym celu

obliczamy:

• h

0

= x

i−1

− x

i−2

, h

1

= x

i

− x

i−1

;

• d

0

= (f (x

i−1

) − f(x

i−2

))/h

0

, d

1

= (f (x

i

) − f(x

i−1

))/h

1

;

• a = (d

1

− d

0

)/(h

1

+ h

0

), b = ah

1

+ d

1

, c = f (x

i

);

• x

i

+1

= x

i

−

2c

b ±

√

b

2

− 4ac

, (” + “ gdy b > 0, ” − “ gdy b ¬ 0).

B.

Metody Steffensena: dla przybliżenia x

i

obliczamy:

• g(x

i

) = (f (x

i

+ f (x

i

)) − f(x

i

))/f (x

i

);

• x

i

+1

= x

i

−

f (x

i

)

g(x

i

)

.

C.

Metody Halleya: dla przybliżenia x

i

obliczamy: x

i

+1

= x

i

−

f (x

i

)f

′

(x

i

)

(f

′

(x

i

))

2

− (f (x

i

)f

′′

(x

i

))/2

.

Uwaga:

Przybliżenia początkowe x

i

, x

i−1

, x

i−2

(lub tylko x

i

w przypadku metody Steffensena

i Halleya) możemy spróbować wyznaczyć, np. następująco: wybieramy pewien punkt a i krok

τ = 0.1 i obliczamy dla i = 0, 1, . . . wartości f (a + iτ ), f (a + (i + 1)τ ) tak długo, aż będą się te

dwie wielkości różnić znakiem dla pewnego i. Wtedy za x

i

i x

i−2

można wziąć końce przedziału

[a + iτ, a + (i + 1)τ ] a jego środek za x

i−1

(za x

i

w przypadku metody Steffensena i Halleya).