Do rozwiązania równania skalarnego

(1)

f ( x) = 0

możemy użyć, m.in. następujących metod:

A. Metody Mullera: Niech będą dane przybliżenia xi, xi− 1, xi− 2. Mamy obliczyć xi+1. W tym celu obliczamy:

• h 0 = xi− 1 − xi− 2,

h 1 = xi − xi− 1;

• d 0 = ( f ( xi− 1) − f ( xi− 2)) /h 0, d 1 = ( f ( xi) − f( xi− 1)) /h 1;

• a = ( d 1 − d 0) /( h 1 + h 0), b = ah 1 + d 1, c = f ( xi); 2 c

• xi+1 = xi −

√

, (” + “ gdy b > 0, ” − “ gdy b ¬ 0).

b ± b 2 − 4 ac

B. Metody Steffensena: dla przybliżenia xi obliczamy:

• g( xi) = ( f ( xi + f ( xi)) − f ( xi)) /f ( xi); f ( xi)

• xi+1 = xi −

.

g( xi)

f ( xi) f ′( xi)

C. Metody Halleya: dla przybliżenia xi obliczamy: xi+1 = xi −

.

( f ′( xi))2 − ( f( xi) f′′( xi)) / 2

Uwaga: Przybliżenia początkowe xi, xi− 1, xi− 2 (lub tylko xi w przypadku metody Steffensena i Halleya) możemy spróbować wyznaczyć, np. następująco: wybieramy pewien punkt a i krok τ = 0 . 1 i obliczamy dla i = 0 , 1 , . . . wartości f ( a + iτ ), f ( a + ( i + 1) τ ) tak długo, aż będą się te dwie wielkości różnić znakiem dla pewnego i. Wtedy za xi i xi− 2 można wziąć końce przedziału

[ a + iτ, a + ( i + 1) τ ] a jego środek za xi− 1 (za xi w przypadku metody Steffensena i Halleya).