1

Skręcanie swobodne

profili cienkościennych

otwartych

H.Jakubczak
IMRC PW

Konstrukcje nośne

2

Przekroje prostokątne

Przyjmuje się, że naprężenie styczne jest jednakowe na całej długości ‘s’

τ

B

τ

B

τ

A

τ

A

τ

A

a Î s

b

Î

δ

τ

B

<

τ

A

τ

B

τ

A

τ

A

τ

C

= 0

a

b

Przekrój cienkościenny: b<<a (

s/

δ > 10)

τ

A

Î

τ

s

Naprężenia styczne przy skręcaniu

4

s

A

B

s

s

3

s

A

b

I

b

I

M

b

M

⋅

β

=

τ

⋅

η

=

τ

α

β

=

⋅

α

=

τ

δ

=

τ

=

τ

δ

⋅

=

s

s

s

A

3

s

I

M

3

s

I

a/b

1

2

3

10

α

0.208

0.493

0.801

3.123

β

0.140

0.457

0.790

3.123

η

1.000

0.795

0.753

0.742

Ms

3

W przekroju otwartym naprężenia styczne są proporcjonalne do grubości ścianki

s

1

δ

1

δ

2

δ

3

s

3

s

2

Przekroje cienkościenne

Kąt skręcenia

3

s

3

s

2

s

2

s

1

s

1

s

s

s

I

G

l

M

I

G

l

M

I

G

l

M

I

G

l

M

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

Θ

s

s

si

si

I

M

I

M =

M

s

Rozdział M

s

∑

∑

δ

⋅

=

=

3

i

i

i

s

s

s

3

1

J

3

1

I

Naprężenia

τ

s

i

s

s

si

I

M δ

=

τ

Rozdział M

s

∑

=

is

s

M

M

∑

δ

⋅

α

=

3

i

i

s

s

3

I

Wpływ połączeń ścianek:

Wskaźnik sztywności na skręcanie:

s

si

s

si

I

I

M

M

=

Î

i

si

si

si

I

M δ

=

τ

Î

Kształt

α

w

s+p

1.0

1.1-1.15

1.2

1.5

w

4

Skręcanie nieswobodne

profili cienkościennych

otwartych

5

Skręcanie swobodne (Saint Venanta)

Przekroje prętów cienkościennych po skręceniu ulegają deplanacji:
włókna wzdłużne przesuwają się wzdłuż osi x Î przekrój płaski przestaje być płaski

A

2*

A

1*

B

2*

B

1*

Δx

2

Δx

1

M

s

M

s

x

A

2

A

1

B

2

B

1

x

A

1

B

1

= A

2

B

2

A

1*

B

1*

= A

2*

B

2*

Deplanacja przekroju nie jest ograniczana Î Skręcanie swobodne

x

Deplanacja
przekroju

A

1

B

1

= A

1*

B

1*

6

Deplanacja przekroju

Deplanacja przekroju może zmieniać się wzdłuż konturu oraz osi pręta

M

s

Deplanacja
przekroju

( )

( )

( )

( ) ( )

0

0

u

s

x

'

s,

x

u

u

d s

h

x

'

s,

x

u

s

+

ω

⋅

Θ

−

=

+

⋅

Θ

−

=

∫

x

s

du

dv

γ

1

γ

2

γ

1

= γ

2

Naprężenie styczne
na konturze przekroju

τ

s

= 0 Î

Kontur (środkowy) przekroju

Powierzchnia wycinkowa
bezpośrednio wyraża
deplanację przekroju

0

2

1

=

∂

∂

−

∂

∂

=

γ

+

γ

=

τ

=

γ

s

u

x

v

G

Î

x

v

s

u

∂

∂

=

∂

∂

7

Deplanacja przekroju jest ograniczana Î Skręcanie nieswobodne

Skręcanie nieswobodne

A

2*

A

1*

B

2*

B

1*

Δx

2

Δx

1

= 0

M

s

M

s

x

A

2

A

1

B

2

B

1

x

A

1

B

1

= A

2

B

2

A

1*

B

1*

≠ A

2*

B

2*

Ograniczenie
deplanacji przekroju

( )

0

≠

∂

∂

=

ε

x

s,

x

u

x

( )

( ) ( )

0

'u

s

x

"

E

s,

x

+

ω

⋅

Θ

⋅

−

=

σ

ω

Naprężenia normalne

Efektem skręcania nieswobodnego są dodatkowe naprężenia normalne

A

1

B

1

≠ A

1*

B

1*

8

Powierzchnię wycinkową można obliczać metoda sumowania przyrostów d

ω

Powierzchnia wycinkowa

h

r

2

r

1

M

0

(

ω

0

= 0)

ds

d

ω

1

= h

.

ds Î podwójne pole trójkąta (r

1

, r

2

, ds)

d

ω (+)

d

ω (-)

(-)

(+)

d

ω

2

= h

2

.

ds

∑

∫

ω

=

⋅

=

ω

i

s

s

d

d s

h

Zasada wyznaczania

B

(

)

(

)

a

c

d

c

b

a

c

d

c

b

+

⋅

+

ω

=

ω

⋅

−

ω

=

ω

−

⋅

−

ω

=

ω

⋅

+

ω

=

ω

3

4

0

3

1

2

0

1

B

Przykład

b

a

d

2c

y

z

0

1

2

3

4

(-)

(-)

(+)

M

0

(

ω

0

= 0)

Zmiana położenia punktów B oraz M

0

ma wpływ na powierzchnię wycinkową
Î

należy wyznaczyć środek skręcania, S

(+)

(-)

9

Środek skręcania

M

0

(

ω

0

= 0)

y

S

Siły w przekroju pręta skręcanego

0

0

0

=

σ

⋅

=

=

σ

⋅

=

=

σ

=

∫

∫

∫

ω

ω

ω

A

z

A

y

A

x

d A

y

M

d A

z

M

d A

N

(-)

(+)

z

( )

( ) ( )

0

'u

s

x

"

E

s,

x

+

ω

⋅

Θ

⋅

−

=

σ

ω

Powierzchnia wycinkowa Î Naprężenia normalne

∫

∫

∫

=

=

=

A

z

A

y

A

y d A

S

z d A

S

d A

A

∫

∫

∫

ω

=

ω

=

ω

=

ω

ω

ω

A

z

A

y

A

ydA

I

zdA

I

dA

S

Wycinkowy moment statyczny

Wycinkowo-liniowy moment
statyczny względem osi y

Wycinkowo-liniowy moment
statyczny względem osi z

( )

( )

( )

0

0

0

0

0

0

=

−

⋅

⋅

ω

Θ

=

−

⋅

⋅

ω

Θ

=

−

⋅

ω

Θ

∫

∫

∫

∫

∫

∫

A

A

A

A

A

A

y d A

'u

d A

y

x

"

z d A

'u

d A

z

x

"

d A

'u

d A

x

"

Po podstawieniu wzoru na naprężenia

σ

ω

ω(s)

10

Punkt początkowy M

0

M

0

y

S

(-)

(+)

z

(

)

0

0

0

0

=

ω

=

ω

ω

=

ω

−

ω

=

ω

−

ω

=

ω

ω

ω

∫

∫

∫

A

-

S

0

d A

-

d A

'

d A

'

S

'

0

'

A

A

A

( )

0

0

=

−

⋅

Θ

ω

A

'

u

S

x

"

Po podstawieniu charakterystyk przekroju do równania (1):

Î

S

ω

= 0, u’

0

= 0 (warunek na położenie punktu M

0

)

M

0

założone

ω

0

Zmiana położenia M

0

zmienia

ω(s) o wartość ω

0

.

Punkt M

0

leży tam, gdzie

ω(s)

ma wartość

ω

0

A

S

'

0

ω

=

ω

Î

B

Przykład

a

a

2a

y

z

0

1

2

3

4

Założone M

0

2

3

2

2

4

4

2

2

2

2

1

a

a

A

a

a

a

a

a

S

0

'

=

ω

δ

=

δ

=

⋅

⋅

δ

+

⋅

⋅

δ

=

ω

Wskazać położenie M

0

i narysować

ω(s)

2a

2

a

2

(+)

a

2

(+)

ω’,S’

ω

ω,S

ω

11

Środek skręcania c.d.

M

0

y

S

(-)

(+)

z

z

Bz

z

B

S

y

By

y

B

S

I

I

z

z

I

I

y

y

ω

ω

=

α

=

−

−

=

α

=

−

( )
( )

0

S

'

u

I

x

"

0

S

'

u

I

x

"

z

0

z

y

0

y

=

−

⋅

Θ

=

−

⋅

Θ

ω

ω

u’

0

= 0 Î

(y, z) – osie główne

Î

J

ωy

= 0, J

ωz

= 0

(warunek na położenie środka skręcania)

Współrzędne punktu S:

Do wyznaczenia położenia środka skręcania należy najpierw przyjąć punkt B i wyznaczyć

ω

B

Po podstawieniu charakterystyk przekroju do równań (2,3):

B

y

B

y

S

z

B

z

S

α

y

α

z

ω

B

(s)

ω

S

(s) główna pow.

wycinkowa

∫

∫

ω

=

ω

=

ω

ω

A

B

Bz

A

B

By

ydA

I

zdA

I

12

Środek skręcania c.d.

y

z

z

Bz

z

B

S

I

I

z

z

ω

=

α

=

−

Środek skręcania leży na osi symetrii

B

ω

B

(s)

Przekroje, które
nie ulegają deplanacji:

(+)

(-)

4

1

h

b

4

1

h

b

2

2

b

2

h

2

h

2

2

b

(+)

(-)

4

2

h

b

4

2

h

b

(+)

(-)

2

1

b

2

1

b

(+)

(-)

2

2

b

2

2

b

y

z

y

(s)

(

)

2

z

1

z

3

2

2

3

1

1

2

2

2

2

1

1

1

1

A

B

Bz

I

I

2

h

12

b

2

h

12

b

2

h

2

b

3

2

2

b

4

h

b

2

1

2

2

b

3

2

2

b

4

h

b

2

1

2

ydA

I

−

=

δ

−

δ

=

δ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

δ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

ω

=

∫

ω

2

z

1

z

3

3

2

2

3

1

1

A

z

I

I

12

h

12

b

12

b

ydA

I

+

=

δ

+

δ

+

δ

=

=

∫

y

z

S

ω(s)

δ

1

δ

2

δ

∫

ω

=

ω

A

B

Bz

ydA

I

S

ω(s) =0

z2

z1

z2

z1

z

Bz

z

B

S

I

I

I

I

2

h

I

I

z

z

+

−

=

=

α

=

−

ω

13

Naprężenia styczne giętno-skrętne

y

S

z

x

ΣX

i

= 0 Î

( )

( )

0

=

∂

δ

τ

∂

−

∂

δ

σ

∂

ω

ω

d s d x

s

d x d s

x

W obecności naprężeń normalnych

σ

ω

muszą istnieć naprężenia styczne

τ

ω

( )

s

S

x

'''

E

ω

ω

⋅

Θ

⋅

=

δ

τ

d s

δ

σ

ω

( )

d s

d x

x

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

δ

σ

∂

+

δ

σ

ω

ω

( )

d x

d s

s

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

δ

τ

∂

+

δ

τ

ω

ω

d x

δ

τ

ω

x

∫

∫

∫

ω

δ

τ

=

δ

τ

=

τ

=

ω

ω

ω

ω

A

A

A

d

h d s

d A

h

M

Naprężenia styczne

τ

ω

są wywołane

momentem M

ω

( )

x

''

'

EI

M

Θ

−

=

ω

ω

δ

−

=

τ

ω

ω

ω

ω

I

S

M

s

δ

τ

s

τ

ω

Naprężenia styczne

∫

ω

=

ω

A

2

dA

I

∫

ωδ

=

ω

s

s

d s

S

Główny wycinkowy
moment bezwładności

Wycinkowy moment
statyczny części przekroju

h

d s

δ

τ

ω

14

Charakterystyki przekroju

Główny wycinkowy moment bezwładności

ω(s)

2

3

A

2

h

24

b

4

bh

3

2

2

b

4

bh

2

1

4

dA

I

δ

=

δ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

ω

=

∫

ω

6

2

2

3

5

2

2

0

1

2

4

0

0

1

0

16

16

2

4

2

1

0

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

δ

−

=

=

δ

=

δ

=

ωδ

+

=

=

=

ωδ

=

∫

∫

S

h

b

S

S

S

h

b

b

b h

d s

S

S

S

d s

S

/b

y

z

S

(+)

(-)

4

b h

2

b

2

h

2

h

2

b

(+)

(-)

4

b h

δ

(-)

y

z

S

ω

s

3

2

1

6

5

4

Wycinkowy moment statyczny

15

Naprężenia normalne

σ

ω

y

S

z

x

Naprężenia normalne

σ

ω

( ) ( )

s

x

"

E

ω

⋅

Θ

⋅

−

=

σ

ω

d s

δ

σ

ω

( )

d s

d x

x

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

δ

σ

∂

+

δ

σ

ω

ω

( )

d x

d s

s

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

δ

τ

∂

+

δ

τ

ω

ω

d x

δ

τ

ω

x

∫

∫

∫

ω

δ

ωσ

=

δ

ωσ

=

σ

ω

=

ω

ω

ω

A

A

A

d

h d s

d A

h

B

Naprężenia normalne

σ

ω

są wywołane

bimomentem B

( )

x

"

EI

B

Θ

−

=

ω

h

d s

δ

σ

ω

Naprężenia normalne

σ

ω

są wywołane deplanacją przekroju

Î

są proporcjonalne do powierzchni wycinkowej

ω(s)

ω

ω

ω

=

σ

I

B

16

Siły wewnętrzne w pręcie skręcanym

z

x

Równanie różniczkowe kąta skręcenia

Siły wewnętrzne w pręcie skręcanym
zmieniają się wzdłuż osi pręta.

L

( )

( )

x

''

'

EI

x

'

GI

L

M

M

L

s

s

Θ

−

Θ

=

+

=

ω

ω

M

ω

(x)

M

s

(x)

B(x)

x

l

L

Moment giętno-skrętny

( )

(

)

(

)

( )

k l

c h

x

l

k

c h

L

d x

x

d B

M

−

=

=

ω

( )

( )

( )

k l

c h

L

l

M

L

M

=

=

ω

ω

0

Bimoment

(

)

(

)

( )

k l

c h

x

l

k

s h

k

L

B

−

−

=

( )

( )

( )

0

0

=

−

=

l

B

k l

t h

k

L

B

ω

=

EI

GI

k

s

L

L

17

Charakterystyki przekroju

ω(s)

4

m m

E

.

h

b

S

S

6

8

1

16

2

5

2

+

=

δ

=

=

ω

ω

y

z

S

(+)

(-)

4

b h

2

b

2

h

2

h

2

b

(+)

(-)

4

b h

δ

(-)

y

z

S

ω

s

3

2

1

6

5

4

y

z

x

M

x

M

y

M

z

b

h

M

y

= 10 kNm

M

z

= 5 kNm

M

x

= 2 kNm

(

)(

)

4

3

3

y

mm

7

E

65

.

2

12

2

h

b

12

bh

I

+

=

δ

−

δ

−

−

=

4

3

3

z

mm

6

E

9

.

2

12

h

12

b

2

I

+

=

δ

+

δ

=

Charakterystyki przekroju

(

)

4

3

3

s

mm

5

E

68

.

1

3

2

h

3

b

2

2

.

1

I

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

δ

δ

−

+

δ

⋅

=

Wycinkowy moment statyczny

6

2

3

mm

10

E

88

.

2

24

h

b

I

+

=

δ

=

ω

Gł. wycinkowy moment bezwładności

b = 120 mm
h = 200 mm

δ = 10 mm

Powierzchnia wycinkowa

2

m m

b h

6000

4

1

=

=

ω

18

Siły wewnętrzne w pręcie skręcanym

z

x

L = 2 kNm

M

ω

(x)

M

s

(x)

B(x)

x

Moment giętno-skrętny

Bimoment

l = 4 m

L

( )

( )

( )

k N m

.

k l

c h

L

l

M

k N m

M

01

0

2

0

=

=

=

ω

ω

( )

( )

( )

0

34

1

0

=

−

=

−

=

l

B

kNm

.

kl

th

k

L

B

2

(

)

1

-

s

mm

3

E

5

.

1

10

E

88

.

2

v

1

2

5

E

68

.

1

EI

GI

k

−

=

+

+

+

=

=

ω

L

L

Sztywność giętno-skrętna

Moment skręcania swobodnego

( )

( )

k N m

.

.

l

M

M

s

s

99

1

01

0

2

0

0

=

−

=

=

M

y

= 10 kNm

M

z

= 5 kNm

L = M

x

= 2 kNm

19

Naprężenia w przekroju

y

z

x

M

z

y

z

x

M

s

y

z

x

M

y

σ

x,y

σ

x,z

y

z

x

M

ω

y

z

x

N

x

σ

x,N

τ

s

τ

ω

y

z

x

B

B

σ

ω

δ

τ

s

τ

ω

+

+

+

+

+

Naprężenia styczne od skręcania swobodnego i nieswobodnego dodają się algebraicznie

20

Naprężenia w przekroju (x=0/x=l)

ω(s)

y

z

S

(+)

(-)

2

6000

m m

2

b

2

h

2

h

2

b

(+)

(-)

δ

(-)

y

z

S

ω

s

3

2

1

6

5

4

y

z

x

M

x

M

y

M

z

b

h

M

y

= 10 kNm

M

z

= 5 kNm

M

x

= 2 kNm

b = 120 mm
h = 200 mm

δ = 10 mm

δ

−

=

τ

ω

ω

ω

ω

I

S

M

s

δ

=

τ

s

s

s

I

M

2

h

I

M

y

y

My

xn

=

σ

2

b

I

M

z

z

Mz

xn

−

=

σ

2

6000

m m

Naprężenia efektywne przy skręcaniu nieswobodnym przekrojów
otwartych są większe niż przy skręcaniu swobodnym

Skręcanie
nieswobodne
(x = 0)

Rodzaj
naprężeń

1

2

3

4

5

6

σ

x,y

37.7

37.7

37.7

-37.7

-37.7

-37.7

σ

x,z

-103.6

0

103.6

103.6

0

-103.6

τ

s

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

τ

ω

0.0

-12.5

0.0

0.0

-12.5

0.0

σ

ω

-278.2

0

278.2

-278.2

0

278.2

σ

eff

344.1

43.5

419.5

212.2

43.5

136.9

τ

s

*

119.0

119.0

119.0

119.0

119.0

119.0

σ

eff

*

216.5

209.6

250.0

216.5

209.6

250.0

Punkt przekroju

Skręcanie
swobodne
(x = l)

ω

ω

ω

=

σ

I

B

21

Skręcanie

profili cienkościennych

zamkniętych

22

τ

1

τ

1

τ

2

τ

2

x

Skręcanie swobodne - naprężenia

Naprężenia styczne przy skręcaniu swobodnym przekrojów zamkniętych
są odwrotnie proporcjonalne do grubości ścianki przekroju

y

z

M

x

δ

1

δ

4

δ

2

δ

3

x

0

1

1

2

2

=

δ

τ

−

δ

τ

d x

d x

Warunek równowagi (

ΣX

i

= 0):

δ

τ

=

δ

τ

=

δ

τ

=

δ

τ

=

δ

τ

4

4

3

3

1

1

2

2

Wobec tego:

∫

∫

ω

τδ

=

⋅

τδ

=

=

d

h

d s

M

M

x

s

Moment skręcający:

δ

Ω

=

τ

s

s

M

Ω

τδ

=

ω

τδ

=

∫

d

y

z

M

s

τδds

h

2

2

ω

=

d

h d s

Kontur przekroju

Naprężenia styczne
(wzór Bredta):

Ω

– Podwójna powierzchnia

ograniczona konturem przekroju

23

Deplanacja przekroju

Deplanacja przekroju może zmieniać się wzdłuż konturu oraz osi pręta

Naprężenie styczne
na konturze przekroju

τ

s

≠ 0

G

s

u

x

v

τ

=

∂

∂

+

∂

∂

=

γ

+

γ

=

γ

2

1

Î

x

v

G

s

u

∂

∂

−

τ

=

∂

∂

Deplanacja
przekroju

x

s

du

dv

γ

1

γ

2

y

z

M

s

τδds

Kontur przekroju

δ

τ

s

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

0

0

,x

u

d

x

'

d s

M

,x

u

,x

u

h d s

x

'

d s

M

s,

x

u

s

s

s

s

+

ω

Θ

−

δ

δ

Ω

=

+

Θ

−

δ

δ

Ω

=

∫

∫

∫

∫

Deplanacja przekroju:

( )

( )

∑

∫

∫

δ

Ω

=

δ

Ω

=

=

Θ

δ

δ

Ω

=

Θ

i

i

i

2

2

s

s

s

2

s

ds

ds

I

GI

l

M

x

ds

M

x

'

Kąt skręcenia:

Wskaźnik
sztywności
na skręcanie

24

Deplanacja przekroju

Deplanacja przekroju zamkniętego jest opisana za pomocą

uogólnionej powierzchni wycinkowej

- zastępcza długość konturu

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )(

)

( ) ( )

( )

ω

Θ

−

=

ρ

−

ω

Θ

−

=

+

ω

Θ

−

ρ

Θ

=

+

ω

Θ

−

δ

Ω

δ

Θ

=

+

Θ

−

δ

Ω

=

∫

∫

∫

∫

∫

x

'

,

x

u

s

,

x

u

s

x

'

,

x

u

s

,

x

u

,

x

u

x

'

s

x

'

s

,

x

u

,

x

u

d

x

'

ds

ds

x

'

s

,

x

u

,

x

u

hds

x

'

ds

G

M

s

,

x

u

s

s

s

s

s

0

0

0

0

0

Deplanacja przekroju:

∫

∫

δ

Ω

=

ρ

δ

=

ds

ds

s

s

- średni promień konturu

zamkniętego

Oznaczenia:

s

ρ

−

ω

=

ω

Uogólniona powierzchnia
wycinkowa:

ω

– powierzchnia wycinkowa

przekroju otwartego

25

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0

2

8

6

7

2

2

2

4

6

5

2

2

2

4

2

3

2

2

2

2

2

2

0

0

2

2

45

45

4

5

2

2

34

34

3

4

2

2

23

23

2

3

2

12

12

1

2

2

01

01

0

1

0

=

δ

+

δ

−

+

+

−

+

−

=

ρ

−

ω

+

ω

=

ω

+

−

=

δ

+

δ

−

+

+

−

+

−

=

ρ

−

ω

+

ω

=

ω

+

−

−

=

δ

+

δ

−

+

+

−

+

−

=

ρ

−

ω

+

ω

=

ω

+

−

=

δ

+

δ

−

+

+

−

=

ρ

−

ω

+

ω

=

ω

+

−

−

=

+

−

=

δ

+

δ

−

+

=

ρ

−

ω

+

ω

=

ω

=

ω

a

b

a

ab

ab

b

a

ab

b

a

b

a

ab

s

b

a

b

a

ab

b

b

a

ab

ab

b

a

ab

b

a

b

a

ab

s

b

a

b

a

ab

a

b

a

ab

ab

b

a

ab

b

a

b

a

ab

s

b

a

b

a

ab

b

b

a

ab

ab

b

a

b

a

ab

s

b

a

b

a

ab

b

a

b

a

ab

a

b

a

ab

ab

s

Uogólniona powierzchnia wycinkowa

S

M

o

ab

3ab

5ab

7ab

8ab

0

1

2

3

4

5

(

)

b

a

ab

ds

+

δ

=

δ

Ω

=

ρ

∫

2

- średni promień konturu

zamkniętego

S

M

o

0

1

2

3

4

5

Uogólniona powierzchnia
wycinkowa przekroju zamkniętego

Powierzchnia wycinkowa przekroju otwartego

26

Deplanacja przekroju

Inne przykłady?

Współczynnik spaczenia

μ = 0 Î przekrój zamknięty nie ulega deplanacji

∑

∫

∫

Δ

δ

=

δ

=

=

−

=

μ

i

2

2

2

p

p

s

si

h

ds

h

dA

h

I

I

I

1

∑

∫

δ

Δ

Ω

=

δ

Ω

=

i

i

i

2

2

s

s

ds

I

δ

π

=

δ

=

δ

=

∫

∫

3

2

2

p

r

2

ds

r

ds

h

I

( )

δ

π

=

π

δ

π

=

δ

Ω

=

∫

3

2

2

2

s

r

2

r

2

r

2

ds

I

0

I

I

1

p

s

=

−

=

μ

0

I

I

1

p

s

=

−

=

μ

( )

δ

=

δ

=

δ

Ω

=

∫

3

2

2

2

s

a

a

4

a

2

ds

I

δ

=

δ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

δ

=

∫

3

2

2

p

a

a

2

a

4

ds

h

I

r

a

a

δ = const

27

Deplanacja przekroju

Przekroje zamknięte nie ulegające deplanacji

Nie ulegają deplanacji przekroje zamknięte spełniające 2 warunki:
1. Są opisane na okręgu
2. Mają stałą grubość ścianki

Brak deplanacji oznacza skręcanie swobodne niezależnie od zamocowania pręta

28

Sztywność skrętna przekrojów

Porównanie sztywności na skręcanie przekroju otwartego i zamkniętego

Przy tych samych wymiarach przekroje zamknięte mają
znacznie większą sztywność skrętną niż przekroje otwarte

r

( )

???

I

I

r

2

r

2

r

2

ds

I

o

sz

3

2

2

2

sz

=

δ

π

=

π

δ

π

=

δ

Ω

=

∫

3

3

i

i

so

r

2

3

1

s

3

1

I

δ

π

=

δ

⋅

=

∑

30000

I

I

100

r

,

1

,

100

r

300

I

I

10

r

,

1

,

10

r

r

3

r

2

r

2

3

I

I

so

sz

so

sz

2

3

3

so

sz

=

⇒

=

δ

=

δ

=

=

⇒

=

δ

=

δ

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

δ

=

δ

π

δ

π

=

Przekrój zamknięty

r

Przekrój otwarty

29

Sztywność skrętna przekrojów

Porównanie sztywności na skręcanie przekroju otwartego i zamkniętego

Przy tych samych wymiarach przekroje zamknięte mają
znacznie większą sztywność skrętną niż przekroje otwarte

( )

(

)

h

b

h

b

2

h

b

2

bh

2

ds

I

2

2

2

2

sz

+

δ

=

+

δ

=

δ

Ω

=

∫

(

)

3

3

i

i

so

h

b

2

3

1

s

3

1

I

δ

+

=

δ

⋅

=

∑

(

)(

)

200

I

I

1

,

100

h

,

100

b

20

I

I

1

,

10

h

,

10

b

h

b

2

h

b

h

b

6

I

I

so

sz

so

sz

2

2

2

so

sz

=

⇒

=

δ

=

=

=

⇒

=

δ

=

=

δ

+

+

=

Przekrój zamknięty

δ

b

h

δ

b

h

Przekrój otwarty

30

Skręcanie przekrojów mieszanych

Jak obliczać naprężenia styczne w przekrojach o budowie mieszanej?

I

so

≈ 0 - dla części

otwartej przekroju

I

sz

- dla części

zamkniętej przekroju

Kąt skręcenia

sz

sz

so

so

s

s

I

G

l

M

I

G

l

M

I

G

l

M

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

Θ

s

s

sz

sz

so

so

I

M

I

M

I

M

=

=

Rozdział M

s

s

sz

s

sz

s

so

s

so

I

I

M

M

I

I

M

M

=

=

Î

Rozdział M

s

zs

os

s

M

M

M

+

=

Wskaźnik I

s

z

s

o

s

s

I

I

I

+

=

Naprężenia PO

δ

=

τ

so

so

s

I

M

Naprężenia PZ

δ

Ω

=

τ

s z

s

M

I

so

- dla części

otwartej przekroju
(PO)

I

sz

- dla części

zamkniętej przekroju
(PZ)

31

Literatura

1. J. Rutecki: Wytrzymałość konstrukcji cienkościennych, PWN,

Warszawa, 1957

2. S. Oziemski, W. Sobczykiewicz: Konstrukcje nośne maszyn

roboczych ciężkich, WPW, Warszawa, 1990

32

???