Sławomir Kulesza

slawek.kulesza@gmail.com

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów (5)

Wykład dla studentów I roku (N)SMU WMiI

Specjalność: Techniki multimedialne

1 (42)

Własności splotu sygnałów

W przypadku układów LTI, odpowiedź na pobudzenie będące kombinacją 

przesuniętych impulsów jednostkowych:

x [n]=

∑

k =−∞

∞

x [k ]⋅[n−k ]

wyraża się w postaci splotu:

2 (42)

y [n]=T 

∑

k =−∞

∞

x [k ]⋅[n−k ]=

∑

k =−∞

∞

x [ k ]⋅h[n−k ]=x [n]∗h[n]

Obliczanie splotu metodą słupkową

Obliczenia   splotu   sygnałów   można   wykonać   metodą   słupkową   podobną   do 

wykorzystywanej przy klasycznym mnożeniu dwóch liczb:

g[n]

g[0].

g[1]

g[2]

h[n]

h[-1]

h[0].

h[1]

g[0]h[1] g[1]h[1] g[2]h[1]

g[0]h[0] g[1]h[0] g[2]h[0]

g[0]h[-1] g[1]h[-1] g[2]h[-1]

y[n]

y[-1]

y[0].

y[1]

y[2]

y[3]

3 (42)

Przemienność splotu

Operacja splotu jest przemienna (komutatywna) w znaczeniu takim, że jej wynik 

nie zależy od tego, który z ciągów wejściowych jest zawijany i przesuwany:

y [n]=

∑

k =−∞

∞

x [ k ]⋅h[n−k ]=x [n]∗h[n]

Dokonajmy zamiany indeksów: m = n – k:

y [n]=

∑

m=−∞

∞

x [n−m]⋅h[m]

Ale indeks m jest niemy, wiec możemy go zastąpić ponownie indeksem k:

y [n]=

∑

k =−∞

∞

x [ n−k ]⋅h[ k ]=h[n]∗x [n]

Otrzymaliśmy wyrażenie, w którym odpowiedź impulsowa jest niezmieniona, 

natomiast zawijane i przesuwane jest pobudzenie układu, co dowodzi 

przemienności splotu.

4 (42)

Konsekwencje przemienności splotu

Dowiedliśmy, że splot jest przemienny, tzn.:

x [n]∗h[n]=h[n]∗x [n]

Z punktu widzenia układów LTI, przemienność splotu oznacza, że możliwa jest 

zamiana ról pobudzenia x[n] oraz odpowiedzi impulsowej h[n]:

5 (42)

Łączność splotu

Splot jest operacją łączną, co oznacza, że:



x [n]∗h

1

[

n]



∗

h

2

[

n]=x [ n]∗



h

1

[

n]∗h

2

[

n]



Z fizycznego punktu widzenia oznacza to, że odpowiedź układu h

1

[n] jest 

pobudzeniem układu h

2

[n] dołączonego do niego w szereg lub – równoważnie – 

pobudzenie x[n] jest doprowadzane do układu o odpowiedzi impulsowej 

h[n] = h

1

[n] * h

2

[n]. Co więcej, z uwagi na przemienność splotu możliwa jest 

zamiana kolejności układów w kaskadzie:

6 (42)

Rozdzielność splotu

Splot sygnałów jest operacją rozdzielną względem dodawania:

x [n]∗



h

1

[

n]h

2

[

n]



=

x [n]∗h

1

[

n]x [ n]∗h

2

[

n]

Oznacza to, że jeśli mamy dwa układy LTI o odpowiedziach impulsowych h

1

[n] 

oraz h

2

[n] pobudzane tym samym sygnałem x[n], to suma ich odpowiedzi jest 

równa odpowiedzi jednego układu o odpowiedzi impulsowej h[n] = h

1

[n] + h

2

[n].

Widać zatem, że wypadkowy układ powstaje przez równoległe połączenie dwóch 

układów składowych.

7 (42)

Przyczynowe układy LTI

Układ jest przyczynowy, gdy jego odpowiedź y[n] zależy wyłącznie od bieżącej 

i poprzednich próbek pobudzenia: y[n

0

] = f (x[n], n ≤ n

0

).

Niech dany jest układ, którego odpowiedź w chwili n = n

0

 opisuje splot:

y [n

0

]=

∑

k =−∞

∞

x [k ]⋅h[n

0

−

k ]

Rozdzielmy splot na dwie części, z których jedna zawiera przeszłe i bieżące 

próbki pobudzenia, natomiast druga – wyłącznie próbki przyszłe:

y [n

0

]=

∑

k=0

∞

x [ k ]⋅h[n

0

−

k ]

∑

k=−∞

−

1

x [k ]⋅h[ n

0

−

k ]=...



h0⋅x n

0



h1⋅x n

0

−

1...







h−1⋅x n

0



1h−2⋅x n

0



2...



8 (42)

Z uwagi na przyczynowość układu, wartość odpowiedzi dla n = n

0

 musi zależeć 

wyłącznie od bieżącej i przeszłych wartości próbek, skąd wynika, że wyrażenie 

w drugim nawiasie musi być równe zero. Jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy:

∀

nn

0

hn=0

Ponieważ jednak h[n] jest odpowiedzią układu LTI na pobudzenie impulsem 

jednostkowym dla n = 0, powyższy warunek jest koniecznym i wystarczającym dla 

określenia przyczynowości układu.

Układ LTI jest przyczynowy wtedy i tylko wtedy, gdy jego odpowiedź

Układ LTI jest przyczynowy wtedy i tylko wtedy, gdy jego odpowiedź

 

 

impulsowa h[n] jest równa zero dla ujemnych wartości n.

impulsowa h[n] jest równa zero dla ujemnych wartości n.

9 (42)

Odpowiedź układu przyczynowego

Ponieważ   dla   układów   przyczynowych   h[n<0]   =   0,   granice   sumowania   splotu 

ulegają jednostronnemu zawężeniu:

y [n]=

∑

k =0

∞

h[k ]⋅x [n−k ]=

∑

k =−∞

n

x [ k ]⋅h[n−k ]

Jeśli dodatkowo pobudzenie przyczynowego układu LTI będzie także ciągiem 

przyczynowym (x[n<0] = 0), to granice obliczania splotu zostaną zawężone 

obustronnie:

y [n]=

∑

k =0

n

h[k ]⋅x [n−k ]=

∑

k =0

n

x [k ]⋅h[n−k ]

Odpowiedź układu przyczynowego na przyczynowe pobudzenie jest również 

ciągiem przyczynowym.

10 (42)

Stabilność układów LTI

Wprowadzona wcześniej definicja stabilności w sensie BIBO stwierdza, iż układ 

jest stabilny, jeśli ograniczone (w sensie amplitudy) pobudzenie zawsze generuje 

ograniczoną odpowiedź:

∀

n

∃

M

x

, M

y



∣

x [n]∣≤ M

x

∞



⇒



∣

y [n]∣≤ M

y

∞



Sprawdźmy, jakie konsekwencje dla charakterystyki układu LTI będzie miała 

definicja stabilności. Obliczmy wartość bezwzględną splotu:

∣

y [n]∣=

∣

∑

k =−∞

∞

h[ k ]⋅x [n−k ]

∣

≤

∑

k =−∞

∞

∣

h[ k ]∣⋅∣x [n−k ]∣

Skoro pobudzenie jest ograniczone, to:

∣

y [n]∣≤ M

x

⋅

∑

k =−∞

∞

∣

h[ k ]∣

11 (42)

Kryterium stabilności układów LTI

Odpowiedź układu LTI na ograniczone pobudzenie jest ciągiem:

∣

y [n]∣≤ M

x

⋅

∑

k =−∞

∞

∣

h[ k ]∣

Aby układ był stabilny, odpowiedź również musi być ograniczona, co jest 

prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy:

∑

k=−∞

∞

∣

h[k ]∣∞

Układ LTI jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy jego odpowiedź impulsowa

Układ LTI jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy jego odpowiedź impulsowa

 

 

jest ciągiem bezwzględnie sumowalnym.

jest ciągiem bezwzględnie sumowalnym.

12 (42)

Skończony czas odpowiedzi stabilnych układów LTI

Warunek, aby odpowiedź impulsowa h[n] była bezwzględnie sumowalna oznacza, 

że jej wartości muszą w nieskończoności zbiegać do zera:

lim

n  ∞

h[ n]=0

Konsekwencją tego faktu jest zbieżność do zera także odpowiedzi y[n] układu 

wtedy, gdy pobudzenie jest skończone (x[n>n

0

] = 0). Aby to sprawdzić załóżmy, 

że:

∣

x [nn

0

]∣

M

x

x [n≥n

0

]=

0

13 (42)

Wówczas odpowiedź układu dla n = n

0

 + N:

y [n

0



N ]=

∑

k=−∞

N −1

h[k ]⋅x [n

0



N −k ]

∑

k= N

∞

h[k ]⋅x [n

0



N −k ]=...

...

∑

k= N

∞

h[k ]⋅x [n

0



N −k ]

 

Wartość bezwzględna odpowiedzi wynosi:

∣

y [n

0



N ]

∣

=

∣

∑

k= N

∞

h[ k ]⋅x [n

0



N −k ]

∣

≤

∑

k =N

∞

∣

h[ k ]∣⋅∣x [n

0



N −k ]∣≤...

...≤M

x

⋅

∑

k =N

∞

∣

h[ k ]∣

14 (42)

Skoro jednak odpowiedź impulsowa jest zbieżna do zera:

lim

N ∞

∑

k =N

∞

∣

h[k ]∣=0

Oznacza to, że i odpowiedź układu jest zbieżna do zera:

lim

N ∞

∣

y [n

0



N ]∣≤ lim

N  ∞

M

x

⋅

∑

k= N

∞

∣

h[ k ]∣=0

Powyższy wynik oznacza, że dowolne skończone (w sensie czasu trwania)

Powyższy wynik oznacza, że dowolne skończone (w sensie czasu trwania)

 

 

pobudzenie stabilnego układu LTI generuje odpowiedź z natury

pobudzenie stabilnego układu LTI generuje odpowiedź z natury

 

 

niestacjonarną, tzn. taką, której amplituda z czasem zbiega do zera.

niestacjonarną, tzn. taką, której amplituda z czasem zbiega do zera.

15 (42)

Ex.:  Wyznaczyć obszar stabilności z uwagi na wartość parametru a układu LTI 

o odpowiedzi impulsowej:

h[n]=a

n

⋅

u[n]

Zauważmy najpierw, iż układ jest przyczynowy, stąd też warunek bezwzględnej 

sumowalności odpowiedzi impulsowej wyraża się następująco:

∑

k=0

∞

∣

a

k

∣=

∑

k =0

∞

∣

a∣

k

=

1∣a∣∣a∣

2



...

Powyższy szereg geometryczny jest zbieżny dla |a| < 1:

∑

k=0

∞

∣

a∣

k

=

1

1−∣a∣

W przypadku, gdy |a| ≥ 1, szereg jest rozbieżny. Stąd też, układ jest stabilny 

wtedy, gdy |a| < 1, oraz jest niestabilny, gdy |a| ≥ 1.

16 (42)

Ex.: Wyznaczyć obszar stabilności z uwagi na wartość parametrów a oraz b 

układu LTI o odpowiedzi impulsowej:

h[n]=a

n

⋅

u[n]b

n

⋅

u[−n−1]

Powyższy układ jest nieprzyczynowy, stąd warunek stabilności przyjmuje postać:

∑

k=−∞

∞

∣

h[k ]∣=

∑

k=−∞

−

1

∣

b

k

∣

∑

k=0

∞

∣

a

k

∣=

∑

k =−∞

−

1

∣

b∣

k



∑

k =0

∞

∣

a∣

k

=

...

Zajmijmy sie chwilowo zbieżnością pierwszego szeregu:

∑

k=−∞

−

1

∣

b∣

k

=

...∣b∣

−

2

∣

b∣

−

1

=

1

∣

b∣



1

∣

b∣

2



...=

1

∣

b∣

⋅



1

1

∣

b∣



...



=

...

...=

1

∣

b∣

⋅

1

1−

1

∣

b∣

Szereg pierwszy jest zbieżny, gdy |b| > 1, zaś drugi, gdy |a| < 1. Wynika stąd, że 

układ jest stabilny, gdy jednocześnie |a| < 1 oraz |b| > 1.

17 (42)

Układy o skończonej i nieskończonej odpowiedzi impulsowej

Dotychczas   układy   LTI   klasyfikowane   były   z   uwagi   na   postać   odpowiedzi 

impulsowej   h[n].   Wygodnie   jest   jednak   wprowadzić   sobie   dodatkowy   podział 

układów LTI uwzględniający długość odpowiedzi impulsowej:

–

układy o skończonej odp. impulsowej (Finite Impulse Response – FIR),

–

układy o nieskończonej odp. impulsowej (Infinite Impulse Response – IIR).

18 (42)

Układy FIR

Układy   FIR   cechuje   odpowiedź   impulsowa   o   skończonym   czasie   trwania,   tzn. 

równa zero poza skończonym przedziałem czasu. Bez utraty ogólności rozważań 

można analizować wyłącznie przyczynowe układy FIR, dla których:

h[n]=0 ⇔



n0∨n≥ M



W takim przypadku splot redukuje się do postaci:

y [n]=

∑

k=0

M −1

h[k ]⋅x [n−k ]

19 (42)

Pamięć układów FIR

Otrzymany wynik można zinterpretować zauważywszy, iż odpowiedź układu 

w dowolnej chwili n jest kombinacją liniową M-ostatnich próbek pobudzenia:

y [n]=h[0]⋅x [n]h[1]⋅x [n−1]...h[ M −1]⋅x [n−M 1]

W efekcie układ pełni rolę okna czasowego, które do wygenerowania odpowiedzi 

potrzebuje tylko M-ostatnich próbek pobudzenia i odrzuca wszystkie próbki 

wcześniejsze (x [ n – M }, x [ n – M – 1 ], ...).

Z tego względu o układach FIR mówi się, że posiadają one M-próbkową pamięć.

20 (42)

Realizacja układów FIR

Ex.: Zaprojektować układ o odpowiedzi impulsowej:

h[n]=[1,2,3,2 ,1]

Jest to przyczynowy układ FIR, którego odpowiedź wynosi:

21 (42)

y [n]=

∑

k =0

4

h[k ] x [n−k ]=

h[0]⋅x [n]h[1]⋅x [n−1]h[2]⋅x [n−2]h[3]⋅x [n−3]h[4]⋅x [n−4]=

x [ n]2⋅x [n−1]3⋅x [n−2]2⋅x [n−3]x [n−4]

Układy IIR

Układy LTI o nieskończonej odpowiedzi impulsowej cechuje z kolei co najwyżej 

jednostronne  ograniczenie   długości  ciągu  h[n].  Nie  tracąc ogólności  rozważań, 

splot przyczynowych układów IIR ma postać:

y [n]=

∑

k =0

∞

h[k ]⋅x [n−k ]

W tym przypadku odpowiedź układu jest kombinacją liniową nieskończonej ilości 

próbek wejściowych (bieżącej i przeszłych), stąd też układy IIR określa się 

mianem układów z nieskończoną pamięcią.

22 (42)

Opis układów czasu dyskretnego równaniami różnicowymi

Jak dotąd, wszystkie układy LTI czasu dyskretnego analizowane były pod kątem 

ich   odpowiedzi   impulsowej   h[n],   która   spleciona   z   dowolnym   pobudzeniem 

generowała odpowiedź układu:

y [n]=

∑

k =−∞

∞

h[ k ]⋅x [n−k ]

Splot narzucał jednocześnie jeden z możliwych sposobów syntezy danego układu 

LTI,   wykorzystując   do   tego   celu   sumatory,   wzmacniacze   oraz   elementy 

opóźniające.

Powyższa   metoda   zawodzi   w   przypadku   układów   IIR,   których   odpowiedź 

impulsowa   jest   nieskończona   –   wymaga   nieskończonej   liczby   elementów 

przesuwających (komórek pamięci). Z tego względu synteza układów IIR musi być 

prowadzona w oparciu o inną metodę niż splot – równania różnicowe.

23 (42)

Rekursywne i nierekursywne układy czasu dyskretnego

Metoda   splotowa   jawnie   wyraża   odpowiedź   układu   LTI   jako   funkcję   czystego 

pobudzenia,   jednak   istnieją   sytuacje,   gdy   niezbędne   staje   się   wyrażenie 

odpowiedzi układu także jako funkcji poprzednich próbek odpowiedzi. Z uwagi na 

ten fakt układy czasu dyskretnego dzieli się na dwie zasadnicze grupy:

–

układy   nierekursywne   (nierekurencyjne),   których   odpowiedź   jest   funkcją 

wyłącznie bieżącej i poprzednich próbek pobudzenia:

y [n]= f  x [n] , x [n−1] , x [n−2] , ... , x [n−M ]

–

układy rekursywne (rekurencyjne), których odpowiedź jest funkcją bieżącej 

oraz   poprzednich   próbek   pobudzenia   oraz   poprzednich   próbek   odpowiedzi 

(układy ze sprzężeniem zwrotnym):

y [n]= f  y [n] , y [n−1] ,... , y [n− N ] , x [n] , x [n−1] ,... , x [n− M ]

24 (42)

Ex.: Układ liczący średnią skumulowaną:

y [n]=

1

n1

∑

k =0

n

x [k ]

Działanie układu w dotychczasowej formie wymaga zapamiętania całego 

pobudzenia x[k], więc wielkość pamięci układu rośnie liniowo z wielkością n.

Przekształćmy powyższe wyrażenie:



n1⋅y [n]=



∑

k =0

n−1

x [k ]





x [n]=n⋅y [n−1] x [n]

Stąd otrzymujemy, że:

y [n]=

n

n1

y [ n−1]

1

n1

x [n]

Odpowiedź układu można zatem policzyć w sposób rekurencyjny (rekursywny) 

znając wcześniejsze próbki odpowiedzi.

25 (42)

Schemat układu kumulatywnego uśredniania:

W tym przypadku, pomyślne kontynuowanie obliczeń od chwili k wymaga 

przechowywania w pamięci ostatniej próbki odpowiedzi y[k-1] oraz bieżącej 

i wszystkich przyszłych próbek pobudzenia x[n≥k].

Wartość y[k-1] nazywa się warunkiem początkowym – zawiera ona całą 

dotychczasową historię układu, co pozwala pozbyć się wszystkich wcześniejszych 

próbek pobudzenia.

26 (42)

Ex.: Nieliniowy układ rekursywny obliczający A

1/2

.

Algorytm iteracyjny ma postać:

s

n

=

1
2



s

n−1



A

s

n−1





n ∞



A , n=0,1 ,2 ,...

gdzie s

-1

 jest zgrubnym oszacowaniem wartości A

1/2

.

Rozważmy układ rekursywny opisany równaniem:

y [n]=

1

2



y [n−1]

x [n]

y [ n−1]



Do   zainicjowania   układu   wystarczy   zgrubne   oszacowanie   wartości   A

1/2

  =   y[-1] 

(sprawdzić zbieżność układu dla A = 2 i y[-1] = 1 oraz y[-1] = 1.5) oraz podanie 

pobudzenia w postaci: x[n] = A·u[n].

27 (42)

Odpowiedź układu i jego schemat dla A = 8

28 (42)

Sprzężenie zwrotne

Zasadnicza różnica pomiędzy układami rekursywnymi i nierekursywnymi zasadza 

się   na   istnieniu  pętli   sprzężenia   zwrotnego  w   układach   rekursywnych, 

zawierającej elementy opóźniające.  

W układach czasu   dyskretnego nie daje 

się zrealizować sprzężenia zwrotnego bez opóźnienia.

29 (42)

Porządek odpowiedzi układów (nie-)rekursywnych

Kolejną istotną różnicą pomiędzy układami rekursywnymi i nierekursywnymi jest 

kolejność   wykonywania   obliczeń   odpowiedzi.   W   przypadku   układów 

nierekursywnych, w których odpowiedź jest funkcją wyłącznie próbek pobudzenia, 

nie jest istotna kolejność obliczania  próbek odpowiedzi,  tzn. można liczyć np.: 

y[10], y[1], y[5] itd.

W   przypadku   układów   rekursywnych,   których   odpowiedź   zależy   od 

wcześniejszych próbek odpowiedzi, prawidłowe działanie układu wymaga liczenia 

próbek odpowiedzi w kolejności ich występowania, tzn.: y[0], y[1], y[2] itd.

30 (42)

Opis układów LTI przez równania różnicowe

o stałych współczynnikach

Załóżmy, że dany jest układ rekursywny opisany zależnością:

Jeśli współczynnik a = const., wówczas powyższe równanie opisuje układ LTI 

(w przeciwieństwie np. do równania średniej skumulowanej opisującej układ LTV). 

Doprowadźmy do układu w chwili n ≥ 0 pobudzenie x[n] – nie musimy znać 

wcześniejszej historii x[n], o ile tylko znamy warunek początkowy y[-1].

31 (42)

y [n]=a⋅y [n−1] x [n]

Obliczmy jawną odpowiedź układu w dowolnej chwili n ≥ 0:

y [0]=a⋅y [−1] x [0]
y [1]=a⋅y [0]x [1]=a

2

⋅

y [−1]a⋅x [0] x [1]

⋮

y [n]=a

n1

⋅

y [−1]a

n

⋅

x [0]a

n−1

⋅

x [1]...x [ n]

W postaci zwięzłej:

y [n]=a

n1

⋅

y [−1]

∑

k =0

n

a

k

⋅

x [ n−k ] , n≥0

Otrzymana odpowiedź układu zawiera dwie części:

–

wyrażenie zawierające y[-1] przenosi warunek początkowy układu,

–

szereg zawierający odpowiedź układu na pobudzenie x[n].

32 (42)

Odpowiedź wymuszona układu rekursywnego

Jeśli   układ   jest   w   chwili   n   =   0   zrelaksowany,   wówczas   jego   pamięć   (wyjście 

elementu opóźniającego) powinno być zerem. Mówimy wówczas, że układ jest 

w stanie   zerowym   (spoczynkowym),   zaś   jego   odpowiedź   określana   jest   jako 

odpowiedź spoczynkowa lub odpowiedź wymuszona y

zs

[n].

W przypadku analizowanego układu, jego odpowiedź wymuszona wynosi:

y

zs

[

n]=

∑

k =0

n

a

k

⋅

x [n−k ] , n≥0

Zauważmy, że powyższy wzór opisuje splot sygnału wejściowego z odpowiedzią 

impulsową postaci:

h[n]=a

n

⋅

u[n]

Zrelaksowany, rekursywny układ opisany powyższym równaniem różnicowym jest 

więc układem LTI typu IIR o odpowiedzi impulsowej h[n] = a

n

∙u[n].

33 (42)

Odpowiedź swobodna układu rekursywnego

Załóżmy obecnie, że analizowany układ nie jest zrelaksowany w chwili n = 0, tzn., 

że y[-1]  ≠  0 oraz, że pobudzenie jest równe zero (x[n] = 0 dla wszystkich n). 

Odpowiedź układu na zerowe pobudzenie nazywana jest  odpowiedzią zerową 

lub odpowiedzią swobodną y

zi

[n]. W analizowanym przypadku:

y

zi

[

n]=a

n1

⋅

y [−1] , n≥0

Wynika stąd, że układ rekursywny nie jest zrelaksowany wówczas, gdy pomimo 

braku pobudzenia, generuje niezerową odpowiedź. Odpowiedź swobodna układu 

rekursywnego jest więc skutkiem istnienia pamięci układu.

34 (42)

Odpowiedź swobodna a wymuszona układu rekursywnego

Odpowiedź   swobodna   układu   y

zi

[n]   jest   odpowiedzią   na   zerowe   pobudzenie, 

a więc   wynika   ona   jedynie   z   charakterystyki   układu   oraz   przyjętych   warunków 

początkowych.   Z   drugiej   strony,   odpowiedź   wymuszona   układu   y

zs

[n]   jest 

odpowiedzią   na   jego   konkretne   pobudzenie   przy   braku   wcześniejszej   historii 

(wyzerowana pamięć).

W   ogólności,  odpowiedź   dowolnego   układu   rekursywnego   można   zawsze 

przedstawić jako sumę odpowiedzi swobodnej i wymuszonej:

y [n]= y

zs

[

n] y

zi

[

n]

35 (42)

Ogólna postać równania różnicowego

Opisywany układ był najprostszym z całej klasy układów rekursywnych. Ogólna 

postać liniowego równania różnicowego ze stałymi współczynnikami jest bowiem 

następująca:

y [n]=−

∑

k=1

N

a

k

⋅

y [n−k ]

∑

k=0

M

b

k

⋅

x [n−k ]

Lub równoważnie:

∑

k=0

N

a

k

⋅

y [n−k ]=

∑

k =0

M

b

k

⋅

x [ n−k ]

gdzie: liczba N jest rzędem równania różnicowego lub też rzędem układu.

Odpowiedź układu rekursywnego w chwili n jest więc kombinacją liniową 

wcześniejszych próbek odpowiedzi y[n-1], y[n-2], ..., y[n-N], jak też bieżącej 

i wcześniejszych próbek pobudzenia x[n], x[n-1], ..., x[n-M].

36 (42)

Liniowość układów rekursywnych

Układ rekursywny jest liniowy, wtedy gdy jednocześnie spełnia nast. warunki:

(1) całkowita odpowiedź układu jest sumą odpowiedzi wymuszonej i swobodnej,

(2) odpowiedź wymuszona jest liniowa,

(3) odpowiedź swobodna jest liniowa.

Sprawdźmy liniowość układu opisanego równaniem:

y [n]=a⋅y [n−1] x [n]

Pokazaliśmy wcześniej, że:

y [n]=a

n1

⋅

y [−1]

∑

k =0

n

a

k

⋅

x [ n−k ]= y

zi

[

n] y

zs

[

n]

Co dowodzi własności (1).

37 (42)

Sprawdźmy teraz liniowość odpowiedzi wymuszonej. Niech:

x [n]=c

1

⋅

x

1

[

n]c

2

⋅

x

2

[

n]

Wówczas:

y

zs

[

n]=

∑

k =0

n

a

k

⋅



c

1

⋅

x

1

[

n−k ]c

2

⋅

x

2

[

n−k ]



=

...

...=c

1

∑

k =0

n

a

k

⋅

x

1

[

n−k ]c

2

∑

k =0

n

a

k

⋅

x

2

[

n−k ]=c

1

⋅

y

zs



1



c

2

⋅

y

zs



2

Co dowodzi liniowości odpowiedzi wymuszonej wymaganej przez (2).

38 (42)

W analogiczny sposób sprawdźmy liniowość odpowiedzi swobodnej. Niech:

y [−1]=c

1

⋅

y

1

[−

1]c

2

⋅

y

2

[−

1]

Wówczas odpowiedź swobodna wynosi:

y

zi

[

n]=a

n1



c

1

⋅

y

1

[−

1]c

2

⋅

y

2

[−

1]



=

c

1

⋅

a

n1

⋅

y

1

[−

1]c

2

⋅

a

n1

⋅

y

2

[−

1]=...

...=c

1

⋅

y

zi



1

[

n]c

2

⋅

y

zi



2[n]

Co dowodzi liniowości odpowiedzi swobodnej wyrażonej warunkiem (3).

Skoro analizowany układ spełnia wszystkie trzy warunki, jest on liniowy.

Otrzymany wynik można uogólnić na inne układy rekursywne opisywane liniowymi 

równaniami różnicowymi, które spełniając wszystkie 3 podane warunki są liniowe.

39 (42)

Niezmienniczość w czasie układów rekursywnych

Powstaje   kolejne   pytanie:   czy   przyczynowy   układ   liniowy   opisywany   liniowym 

równaniem różnicowym jest niezmienniczy w czasie?

Odpowiedź uzyskamy analizując jawną postać zależności wejściowo-wyjściowej 

zdefiniowaną przez równanie różnicowe:

y [n]=−

∑

k=1

N

a

k

⋅

y [n−k ]

∑

k=0

M

b

k

⋅

x [n−k ]

Jeśli wszystkie współczynniki a

k

 oraz b

k

 są stałe, wówczas układ jest 

niezmienniczy w czasie (TI), w przeciwnym wypadku układ nie jest niezmienniczy 

w czasie (TV).

Układy rekursywne opisywane liniowymi równaniami różnicowymi o stałych

Układy rekursywne opisywane liniowymi równaniami różnicowymi o stałych

 

 

współczynnikach są więc układami LTI.

współczynnikach są więc układami LTI.

40 (42)

Stabilność układów rekursywnych

Dotychczasowa   definicja   stabilności   w   sensie   BIBO   wiązała   ograniczoność 

odpowiedzi   z   ograniczonością   pobudzenia.   W   układach   rekursywnych   należy 

jednak uwzględnić dodatkową stabilność związaną z pamięcią układu.

W   przypadku   rekursywnych   układów   LTI   opisywanych   liniowymi   równaniami 

różnicowymi o stałych współczynnikach wystarczającym warunkiem stabilności 

w sensie   BIBO   jest,   aby   odpowiedź   takiego   układu   była   ograniczona   dla 

każdego ograniczonego pobudzenia oraz każdego ograniczonego warunku 

początkowego.

41 (42)

Sprawdźmy stabilność układu analizowanego wcześniej. Niech:

∀

n≥0

x [n]≤ M

x

∞

Wówczas:

∣

y [n]∣≤∣a

n1

⋅

y [−1]∣∣

∑

k=0

n

a

k

⋅

x [n−k ]∣≤∣a∣

n1

⋅∣

y [−1]∣ M

x

∑

k =0

n

∣

a∣

k

≤

...

...≤∣a∣

n1

⋅∣

y [−1]∣M

x

1−∣a∣

n1

1−∣a∣

Wynika stąd, że układ jest stabilny tylko wówczas, gdy |a| < 1.

42 (42)