Sławomir Kulesza

slawek.kulesza@gmail.com

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów (2)

Wykład dla studentów I roku (N)SMU WMiI

Specjalność: Techniki multimedialne

Sygnały jako elementy przestrzeni funkcyjnych

W celu sformalizowania opisu sygnałów pozwalającego na ich późniejszą analizę 

tworzy się matematyczne modele sygnałów (zwane w uproszczeniu sygnałami), 

będące funkcjami:

gdzie:

f – jest badanym sygnałem, T – jego dziedziną (zbiorem argumentów), zaś 

S - przeciwdziedziną (zbiorem wartości).

f : T  S

Zwykle żąda się, aby S była przestrzenią liniową, tzn., aby zdefiniowane w niej 

było dodawanie elementów (wektorów) oraz mnożenie wektorów przez skalar 

spełniające następujące warunki:

–

przemienność: x + y = y + x;

–

łączność: (x + y) + z = x + (y + z);

–

element neutralny dodawania: x + 0 = x;

–

rozdzielność mnożenia względem dodawania: a(x + y) = ax + ay;

–

łączność mnożenia przez skalar: a(b(x)) = (ab)x.

Wymagane jest przy tym, aby żadna z powyższych operacji nie wyprowadzała 

wyniku poza przestrzeń S.

W teorii sygnałów przestrzenią S jest zwykle przestrzeń Hilberta H.

Traktowanie sygnałów jako elementów przestrzeni liniowej pozwala na formalne 

zdefiniowanie miary odległości między sygnałami (przez analogię do euklidesowej 

odległości między wektorami w zwykłej przestrzeni wektorowej), która jest 

użyteczna do oceny podobieństwa dwóch sygnałów oraz do rozwiązania 

problemu aproksymacji danego sygnału. Przez analogię do wektorów, możliwe 

staje się także rozwinięcie danego sygnału w bazie sygnałów podstawowych 

(kombinacja liniowa sygnałów bazowych w przestrzeni S), co oznacza kompresję 

sygnału z nieprzeliczalnego (w ogólności) zbioru jego chwilowych wartości na 

skończony lub przynajmniej przeliczalny zbiór współczynników jego rozwinięcia.

Baza przestrzeni liniowej: zbiór niezależnych liniowo elementów {s

k

: k

∈

K} 

tej przestrzeni takich, że:

Metryka przestrzeni liniowej: odwzorowanie przyporządkowujące dowolnej 

parze elementów x, y 

∈ 

H nieujemną liczbę rzeczywistą 

ρ

(x, y) taką, że:

-   x , y =0⇔ x= y ;

-   x , y = y , x ;

-   x , y  y , z  x , z .

Metryka stanowi miarę odległości między elementami danej przestrzeni.

∑

k ∈K



k

⋅

s

k

=

0 ⇔ ∀

k ∈ K



k

=

0

Norma przestrzeni liniowej: odwzorowanie przyporządkowujące danemu 

elementowi x 

∈ 

H nieujemną liczbę rzeczywistą x taką, że:

-  ∥x∥=0⇔ x=0 ;

-  ∥⋅x∥=∣∣⋅∥x∥ ;

-  ∥x y∥≤∥x∥∥y∥ .

Norma definiuje 'wielkość' sygnału w przestrzeni H.

Iloczyn skalarny w przestrzeni liniowej: odwzorowanie przyporządkowujące 

parze elementów x, y 

∈ 

H liczbę zespoloną (x, y) taką, że:

-   x , y= y , x ;

-  ⋅x⋅y , z=⋅ x , z⋅ y , z ;

-   x , x≥0∧ x , x =0⇔ x=0

Zauważmy, że (x, x)

1/2

 = x 

 

 

.

spełnia warunki normy

 

 

 

   

 

 

, 

Przez analogię do wektorów w zwykłych przestrzeniach wektorowych iloczyn 

 

 

 

 

  ,  :

skalarny definiuje kąt między sygnałami x y

cos 

xy

=



x , y



x , x⋅ y , y

   

 

 

;

w przestrzeni sygnałów rzeczywistych

cos 

xy

=

ℜ

x , y 



x , x⋅ y , y

   

 

 

.

w przestrzeni sygnałów zespolonych

 

,   

 

 

 

Zauważmy także iż iloczyn skalarny zdefiniowany jako  x , y=

∫

−∞

∞

x t⋅y t dt  

 

 

 

 

 

  ,   

 

 = :

jest równy funkcji korelacji wzajemnej wektorów x y dla przesunięcia

0



x , y=

∫

−∞

∞

x t⋅y t dt=R

xy



0

 

 

, 

 ( ,  ) =  ,   

  ,   

W takim przypadku jeśli x y

0 to sygnały x y nazywamy 

 (

), 

 

 ( ,  ) >  ,   

 

nieskorelowanymi ortogonalnymi jeśli zaś x y

0 to kąt

xy

 

jest 

 

 

 

.

współczynnikiem korelacji tychże sygnałów

 

 

Bazę ortogonalną

   

 

 

 {

przestrzeni H stanowi zbiór sygnałów s

k

: k

∈

K} jeżeli są 

one wzajemnie ortogonalne (nieskorelowane) oraz nie istnieje w tej przestrzeni 

niezerowy wektor x który jest ortogonalny do każdego x

k

 z osobna.

Baza ortogonalna unormowana, tzn. s

k

 =   {

1 k

∈

} 

 

 

K nazywana jest bazą 

ortonormalną (

jk

 – 

 

)

delta Kroneckera :



s

j

, s

k

=

jk

=

{

1⇔ j=k
0⇔ j≠k

}

Przykłady baz ortogonalnych

Niech w przestrzeni sygnałów H iloczyn skalarny zdefiniowany będzie 

następująco:

Sprawdźmy, że baza sygnałów {s

m

 = sin(2mt)} jest bazą ortogonalną:



x , y=

∫

0

1

x t⋅y t dt



s

j

, s

k

=

∫

0

1

sin2 jt ⋅sin 2 ktdt=

1

2

∫

0

1

cos j−k 2t dt

1

2

∫

0

1

cos jk 2t dt=0



s

j

, s

j

=

∫

0

1

sin

2



2 jt dt =

[

1
2

t−

1

8j

sin4 j t

]

0

1

=

1

2

Baza funkcji Haara (ortonormalna)

Baza funkcji Walsha (ortonormalna)

Uogólniony szereg Fouriera

Niech {s

k

: k

∈

K} 

 

 

   

  . 

 

będzie ortonormalną bazą w przestrzeni H Dla zadanego 

   

sygnału x

∈

 H szukamy sygnału x

ap

 w postaci:

stanowiącego najlepsze przybliżenie sygnału x w tej przestrzeni. Jest to tzw. 

zagadnienie aproksymacji liniowej sygnału x, które polega na wyznaczeniu 

współczynników {

k

} takich, aby błąd aproksymacji (odległość między sygnałami 

x oraz x

ap

) była najmniejsza:

x

ap

=

∑

k ∈K



k

⋅

s

k

∥

x−x

ap

∥=∥

x−

∑

k ∈K



k

⋅

s

k

∥=

min

W celu wyznaczenia współczynników rozwinięcia obliczmy iloczyny skalarne:

Lub macierzowo:

Gdzie G jest macierzą Grama, która w przypadku bazy ortonormalnej jest 

macierzą jednostkową. Powyższy układ równań ma nietrywialne rozwiązania 

wówczas, gdy wyznacznik macierzy Grama jest niezerowy.



x , s

j

=

∑

k ∈K



k

⋅

s

k

, s

j

=

∑

k ∈K



k

⋅

s

k

, s

j

=

j

G⋅

[



1



2

...

]

=

[



x , s

1





x , s

2



...

]

Twierdzenie o rzucie

W oparciu o twierdzenie o rzucie konstruuje się rozwiązanie zagadnienia 

najlepszej aproksymacji wektora x w bazie {s

k

}.

Twierdzenie o rzucie mówi, że błąd aproksymacji  -

x x

ap

 

 

, 

osiąga minimum gdy 

 

 

 

   

   

 

współczynniki rozwinięcia danego wektora w bazie są równe współczynnikom 

 

 

uogólnionego szeregu Fouriera:

 

 

 

 

,   

 

 

 

Z twierdzenia tego wynika ponadto iż sygnał błędu aproksymacji jest 

 

 

 

 

 {

ortogonalny do każdego elementu bazy s

k

} (  

i

 

vice versa

).

x=

∑

k ∈K



k

⋅

s

k

=

∑

k ∈K



x , s

k

⋅

s

k

 

Twierdzenie Parsevala

 

 

   

 

 

 

 

Norma sygnału przedstawionego w postaci uogólnionego szeregu Fouriera jest 

 

 

 

 

 

 

 

równa sumie kwadratów modułów współczynników rozwinięcia tego sygnału 

w 

 

 {

bazie ortonormalnej s

k

}:

∥

x∥= x , x=

∑

k ∈K



k

⋅

s

k

, x=

∑

k ∈K



k

⋅

s

k

, x =

∑

k ∈K



k

⋅

k

=

∑

k ∈K

∣

k

∣

2

 

 – 

Aproksymacja sygnałów

przykłady

 

 

  ( ) = { ,   ∈ [ ,  . ); - ,  ∈ [ . ,  )}, 

 

Dany jest sygnał x t

1 t

0 0 5

1 t

0 5 1

który należy 

   

 {

rozwinąć w bazie s

k

( ) = 

(

 ),   =  ,  ,  }. 

 

t

sin 2k t k

1 2 3 Iloczyn skalarny 

 

 

.

zdefiniowany jak wyżej

 

 

 

: (

Poszukiwane współczynniki macierzy Grama s

k

, 

s

k

) =  . ; (

0 5 s

j

, 

s

k

) =  .

0

 

Zatem G =  . *

0 5 .

I

 

 {

Współczynniki rozwinięcia

k

}:

:

Zatem



x , s

1

=

∫

0

1

x t⋅s

1



T dt=

∫

0

1
2

sin2 t dt−

∫

1
2

1

sin2t dt=

2





x , s

2

=

∫

0

1

x t ⋅s

2



T dt =

∫

0

1

2

sin4t dt−

∫

1
2

1

sin4t dt=0



x , s

3

=

∫

0

1

x t ⋅s

3



T  dt=

∫

0

1
2

sin6 t dt−

∫

1

2

1

sin6 t dt=

2

3

x

ap

=

2



⋅

sin2 t0⋅sin 4 t 

2

3

⋅

sin 6 t 

 

Wyniki aproksymacji

 

 

   

 

 

Aproksymacja impulsu trójkątnego w bazie funkcji Walsha

 

:

Współczynniki rozwinięcia

( , 

x s

0

) =  . ; ( , 

0 5 x s

1

) =  ; ( , 

0 x s

2

) = - .

; ( , 

0 25 x s

3

) =   

.

0 itd

 

 

Analiza widmowa sygnałów

   

 

 

 

  ∈  

Sygnały są funkcjami przyporządkowującymi chwilom czasu t R określone 

 (

).   

 

 

 

 

 

 

wartości liczby Z tego punktu widzenia sygnały można analizować pod 

 

 

 

, 

, 

 

. 

 

 

kątem ich zmian czasowych kształtu ciągłości itd Metody analizy sygnałów 

w 

 

   

 

 

dziedzinie czasu są więc określane

 

metodami czasowymi.

 

 

   

 

 

 

 

Alternatywną dziedziną opisu i analizy sygnałów jest dziedzina ich 

, 

 

 

 

   

 

 

częstotliwości która polega na wydzielaniu z badanego sygnału sygnałów 

   

 

 

, 

 

 

 

 

prostszych i badaniu ich wkładu co określa się mianem analizy 

 (

)

częstotliwościowej widmowej .

 

,   

 

 

   

 

, 

 

 

Istotne jest iż obie dziedziny opisu są sobie równoważne zaś relacje między 

 

   

 

 

nimi zdefiniowane są przy pomocy

 

przekształcenia Fouriera.

 

 

 

 

 

Analiza widmowa sygnałów okresowych czasu ciągłego

  ( ) :      

 

 

 

, 

 

Sygnał s t

R

S jest sygnałem okresowym wtedy gdy ∀

t∈R

stT =st 

   

 

 

, 

   = 

gdzie T jest okresem sygnału zaś f

T

-

1

 – 

 

. 

 

jego częstotliwością Sygnał taki 

 

 

.

jest sygnałem nieskończonym

 

 

 

.

Sygnałem okresowym jest np

 

sygnał sinusoidalny:

( ) = 

s t

A·

(

sin ω +

t φ)

Twierdzenie o rzucie

W oparciu o twierdzenie o rzucie konstruuje się rozwiązanie zagadnienia 

najlepszej aproksymacji wektora x w bazie {s

k

}.

Twierdzenie o rzucie mówi, że błąd aproksymacji  -

x x

ap

 

 

, 

osiąga minimum gdy 

 

 

 

   

   

 

współczynniki rozwinięcia danego wektora w bazie są równe współczynnikom 

 

 

uogólnionego szeregu Fouriera:

 

 

 

 

,   

 

 

 

Z twierdzenia tego wynika ponadto iż sygnał błędu aproksymacji jest 

 

 

 

 

 {

ortogonalny do każdego elementu bazy s

k

} (  

i

 

vice versa

).

x=

∑

k ∈K



k

⋅

s

k

=

∑

k ∈K



x , s

k

⋅

s

k

 

 

 

 

 

   

 

:

Zwykle wygodniej jest posługiwać się sygnałami w postaci zespolonej

s(t) = A·e

j(ω +

t φ)

 = A·[cos(ω +

t φ)+j·

(

sin ω +

t φ)] = A(φ)·e

jωt

: 

gdzie A(φ) jest amplitudą zespoloną sygnału.

W celu analizy, sygnał okresowy s(t) rozwija się w trygonometryczny szereg 

Fouriera s

F

(t):

s

F



t =

1
2

⋅

C

0



∑

k=1

∞



C

k

⋅

cosk⋅⋅tS

k

⋅

sink⋅⋅t



;=

2

T

Na gruncie uogólnionego szeregu Fouriera, funkcje cos (parzyste) oraz sin 

(nieparzyste) w powyższym przykładzie łącznie z funkcją stałą tworzą bazę 

ortogonalną przestrzeni sygnałów, zatem współczynniki C

k

 oraz S

k

 wyznacza się 

następująco:

C

0

=

2

T

∫

t

0

t

0



T

stdt

C

k

=

2
T

∫

t

0

t

0



T

st ⋅cosk⋅⋅t dt

S

k

=

2

T

∫

t

0

t

0



T

st ⋅sink⋅⋅t dt

W przypadku gdy s(t) = s

F

(t), mówimy, że sygnał s(t) daje się rozwinąć 

w trygonometryczny szereg Fouriera.

Przykład 1:

Rozwinąć w szereg Fouriera falę prostokątną o amplitudzie jednostkowej.

C

k

=

2
T

∫

0



cosk⋅⋅t dt−

2

T

∫



2



cosk⋅⋅t dt=0

S

k

=

2

T

∫

0



sin k⋅⋅t dt−

2

T

∫



2



sink⋅⋅t dt=

{

4
k 

, k −nieparzyste

0, k − parzyste

}

Rozwinięcie trygonometryczne na funkcje parzyste i nieparzyste równoważne jest 

rozwinięciu na funkcje jednego tylko typu, za to przesunięte w fazie o kąt φ

k

:

C

k

⋅

cosk⋅⋅tS

k

⋅

sin k⋅⋅t =A

k

⋅

cosk⋅⋅t

k



gdzie:  A

k

=



C

k

2



S

k

2

; 

k

=−

arc tg



S

k

C

k



Wyrazy A

k

·cos(kΩt) nazywa się składowymi harmonicznymi, przy czym dla k=1 

mamy składową podstawową, zaś wyraz ½A

0

 wyznacza składową stałą.

Wówczas trygonometryczny szereg Fouriera przyjmuje postać:

st =

1
2

C

0



∑

k =1

∞

A

k

⋅

cosk⋅⋅t

k



Dalsze uproszczenie rachunków możliwe jest dzięki zastosowaniu liczb 

zespolonych. Zauważmy, że:

cos=

1

2



e

j⋅



e

−

j⋅



Wówczas:

s

F



t =

1
2

A

0



1
2

∑

k =1

∞



A

k

⋅

e

j k t



A

−

k

⋅

e

−

j k t



; A

k

=

A

k

⋅

e

j⋅

k

Ostatecznie:

st =

1
2

∑

k =−∞

∞

A

k

⋅

e

j k  t

Otrzymaliśmy w ten sposób zespolony szereg Fouriera (rozwinięcie ciągłego 

w czasie sygnału okresowego na sumę nieskończonej ilości harmonicznych).

Współczynnik A

k

 jest amplitudą zespoloną k-tej harmonicznej, zaś ciąg wartości 

rzeczywistych {|A

k

|} tworzy widmo amplitudowe sygnału, podczas gdy ciąg {φ

k

} – widmo 

fazowe.

Można pokazać, że A

k

 = C

k

 – jS

k

, a więc:

A

k

=

2

T

∫

t

0

t

0



T

st ⋅e

−

j⋅k⋅⋅t

dt

Widmo amplitudowe fali prostokątnej z wcześniejszego przykładu:

Prążek o numerze k odpowiada tutaj składowej o częstotliwości k/T.

Analiza częstotliwościowa sygnałów nieciągłych – efekt Gibbsa

W przypadku, gdy analizowany sygnał posiada punkty nieciągłości (np. zbocza fali 
prostokątnej), wówczas jego aproksymacja przy pomocy funkcji ciągłych 
(np. sinus) objawia się powstaniem silnych oscylacji sygnału aproksymującego 
w punktach nieciągłości – efekt Gibbsa.

Analiza częstotliwościowa sygnałów nieokresowych czasu ciągłego

Częstotliwościowe metody analizy sygnałów ciągłych x(t) oparte są na całkowych 

przekształceniach Fouriera zdefiniowanych parą transformat:

proste przekształcenie Fouriera

odwrotne przekształcenie Fouriera

Przekształcenia Fouriera wzajemnie jednoznacznie odwzorowują sygnał x(t) na 

funkcję amplitudy zespolonej X() zależną od rzeczywistych wartości pulsacji.

Wzajemną jednoznaczność transformat Fouriera prostej ℱ i odwrotnej ℱ

-

1 

zapisuje się jako:

x(t) ↔ X()

X =

∫

−∞

∞

x te

−

j t

dt

x t =

1

2

∫

−∞

∞

X e

j t

d 

Przykład 2: Wyznaczyć widmo amplitudowe sygnału x(t) = exp(-0.5*t), t≥0.

Proste przekształcenie Fouriera prowadzi do wyrażenia:

X =

∫

0

∞

e

−

1

2

t

e

−

j t

dt=

∫

0

∞

e

−

1
2



j t

dt =−

1

1
2



j 

e

−

1
2



j  t

0

∞

=

1

1
2



j 

Na poniższych rysunkach przedstawiono przebieg sygnału x(t) oraz jego 

transformaty (widma) X():

Własności całkowych transformat Fouriera

–

Transformaty X() sygnałów rzeczywistych x(t) są hermitowskie: X() = X(-)

*

, 

co oznacza, że widma amplitudowe są funkcjami parzystymi, zaś widma fazowe 

– nieparzystymi.

–

Transformaty zachowują liniowość: ax(t) + by(t) ↔ aX() + bY().

–

Transformaty są symetryczne: x(t) ↔ X() ⇒ X(t) ↔ 2x(-).

–

Transformaty są skalowalne: x(t/a) ↔ aX(a), a∈R

+

 - nieoznaczoność.

–

Transformata splotu w dziedzinie czasu odpowiada mnożeniu widm: 

x(t)⊗y(t) ↔ X()*Y() - filtracja.

–

Transformata splotu w dziedzinie częstotliwości odpowiada mnożeniu 

sygnałów: x(t)*y(t) ↔  [

2 X()⊗Y()] - próbkowanie.

–

Transformata ciągłego sygnału okresowego jest równa jego rozwinięciu 

na zespolony szereg Fouriera.

Zasada nieoznaczoności w teorii sygnałów

Z własności skalowalności transformat Fouriera wynikało, iż rozciągnięcie sygnału 

w jednej dziedzinie skutkowało jego zwężeniem w drugiej. Formalną zależność 

liczbową tej obserwacji nadaje zasada nieoznaczoności.

Zdefiniujmy równoważny czas trwania sygnału t oraz równoważną szerokość 

widma :



t=

∫

−∞

∞

x t dt

x 0

; =

∫

−∞

∞

X d 

X 0

 

:

Wówczas iloczyn



t⋅ =2⋅

jest wartością stałą, co oznacza m.in., że wymagania dotyczące zwiększania 

szybkości transmisji sygnałów (krótkie impulsy) oraz zwiększania pojemności 

kanałów transmisji (wąskie widma) są wzajemnie sprzeczne.