Sławomir Kulesza

slawek.kulesza@gmail.com

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów (10)

Wykład dla studentów I roku (N)SMU WMiI

Specjalność: Techniki multimedialne

1 (50)

Dyskretna Transformata Fouriera – DFT

Analiza   częstotliwościowa   sygnałów   czasu   dyskretnego   jest   zwykle 

przeprowadzana przy pomocy cyfrowych procesorów sygnałowych, którymi mogą 

być   zwykłe   komputery  lub   też   specjalizowane   układy   DSP.  Aby   przeprowadzić 

analizę   częstotliwościową   takiego   sygnału   należy   dokonać   jego   konwersji   do 

postaci częstotliwościowej, danej transformatą Fouriera czasu dyskretnego DTFT 

X(ω) = F(x[n]).

Funkcja X(ω) jest jednak funkcją ciągłą zmiennej rzeczywistej  ω i jako taka jest 

niewygodną obliczeniowo reprezentacją sygnału x[n].

Dyskretna   Transformata   Fouriera   DFT  zawiera   próbki   DTFT   pobierane 

w określonych interwałach częstotliwościowych, stanowiąc podstawowe narzędzie 

analizy cyfrowych układów LTI.

2 (50)

Próbkowanie widma częstotliwości

i rekonstrukcja sygnału czasu dyskretnego

Transformata DTFT sygnału czasu dyskretnego o skończonej energii jest funkcją 

ciągłą postaci:

X =

∑

n=−∞

∞

x [n]e

−

i n

Przyjmijmy, że widmo X(ω) próbkujemy okresowo z rozdzielczością Δω pomiędzy 

kolejnymi   próbkami,   przy   czym   –   ponieważ   X(ω)   jest   funkcją   okresową   – 

wystarczy, że pobierzemy próbki z podstawowego zakresu częstości [0, 2π). Jeśli 

pobierzemy N równoodległych próbek widma, wówczas:

 =

2

N

3 (50)

Obliczmy wartości próbek widma w wybranych punktach:

X



2 

N

⋅

k



=

∑

n=−∞

∞

x [n]e

−

i

2

N

k⋅n

; k =0,1,... , N −1

Zauważmy jednak, że z uwagi na okresowość widma (sygnał dyskretny!):

4 (50)

X



2 

N

⋅

k



=

...

∑

n=−N

−

1

x [n]e

−

i

2 

N

k⋅n



∑

n=0

N −1

x[n]e

−

i

2 

N

k⋅n



∑

n= N

2N−1

x [n]e

−

i

2 

N

k⋅n



...=

...=

∑

m=−∞

∞

∑

n=m N

m N  N −1

x[n]e

−

i

2
N

k⋅n

Jeśli   zmienimy   indeks   sumacyjny:   n  →  (n-mN)   oraz   zamienimy   kolejność 

sumowania, to:

X



2 

N

⋅

k



=

∑

n=0

N −1



∑

m=−∞

∞

x [n−mN ]



e

−

i

2 

N

k⋅n

5 (50)

Zauważmy jednak, że sygnał:

x

p

[

n]=

∑

m=−∞

∞

x [n−mN ]

otrzymany przez okresowe powtarzanie sygnału x[n] co N-próbek jest sygnałem 

okresowym   o   okresie   podstawowym   N.   Może   być   on   zatem   przedstawiony 

w postaci szeregu Fouriera czasu dyskretnego DTFS:

x

p

[

n]=

∑

k=0

N −1

c

k

e

i 2  k

n

N

; n=0,1, 2, ... , N −1

gdzie współczynniki rozwinięcia dane są jako:

c

k

=

1

N

∑

n=0

N −1

x

p

[

n]e

−

i 2  k

n

N

; k =0,1, 2,... , N −1

6 (50)

Mamy więc:

X



2 

N

⋅

k



=

∑

n=0

N −1

x

p

[

n] e

−

i

2 

N

k⋅n

c

k

=

1

N

∑

n=0

N −1

x

p

[

n]e

−

i 2 k

n

N

Z porównania wynika, że:

c

k

=

1

N

X



2 

N

⋅

k



; k =0,1, 2,... , N −1

Otrzymujemy w ten sposób równanie syntezy sygnału okresowego x

p

[n]:

x

p

[

n]=

1

N

∑

k=0

N −1

X



2

N

⋅

k



e

i 2 k

n

N

; n=0,1, 2,... , N −1

7 (50)

Otrzymaliśmy wynik, że:

x

p

[

n]=

1

N

∑

k=0

N −1

X



2

N

⋅

k



e

i 2 k

n

N

; n=0,1, 2,... , N −1

Powyższa zależność pozwala zrekonstruować sygnał okresowy x

p

[n] mając próbki 

widma   X(2πk/N).   Ponieważ   jednak   widmo   sygnału   okresowego   jest   z   natury 

dyskretne, to znajomość X(2πk/N) i tak nie pozwala odtworzyć ani widma ciągłego 

X(ω), ani tym bardziej odtworzyć sygnału x[n].

Ponieważ x

p

[n] jest okresowym rozszerzeniem x[n]:

x

p

[

n]=

∑

m=−∞

∞

x [n−mN ]

zatem   x[n]   może   zostać   odtworzony   z   próbek   x

p

[n]   tylko   wówczas,   gdy   nie 

występuje aliasing w dziedzinie czasu, a więc, gdy czas trwania L sygnału x[n] jest 

krótszy niż okres N sygnału x

p

[n]:

8 (50)

9 (50)

Zauważmy, że przy braku aliasingu:

x

p

[

n]= x [n] ; n=0,1, 2, ... , N −1

tak więc sygnał x[n] może być odtworzony jednoznacznie, co nie jest możliwe, 

gdy L > N. Wynika stąd, że widmo nieokresowego sygnału czasu dyskretnego x[n] 

o czasie trwania L może być jednoznacznie wyznaczone na podstawie próbek 

pobranych z rozdzielczością:



k

=

2

N

⋅

k ⇔ L≤N

10 (50)

Procedura odtwarzania widma ciągłego X(ω) obejmuje wyznaczenie sygnału x

p

[n] 

na podstawie próbek widma X(ω

k

) = X[k]:

x

p

[

n]=

1

N

∑

k=0

N −1

X [k ]e

i 2 k

n

N

; n=0, 1, 2,... , N −1

W następnej kolejności należy odtworzyć sygnał x[n]:

x [n]=

{

x

p

[

n]⇔ n=0,1, 2, ... , N −1

0⇔ dla pozostałych n

}

W ostatnim kroku wyznaczamy widmo ciągłe X(ω) korzystając z:

X =

∑

n=−∞

∞

x [n]e

−

i  n

11 (50)

Ex.: Dany jest sygnał:

x [n]=a

n

u[n] ; a=0.8

Znając wartości próbek jego widma pobranych z rozdzielczością:



k

=

2

N

⋅

k ; k =0, 1, 2,... , N −1

wyznaczyć ciągłe widmo DTFT X(ω) dla: (a) N=5, oraz (b) N=50.

12 (50)

DTFT sygnału x[n] ma postać:

X =

∑

n=0

∞

a

n

e

−

i  n

=

1

1−a e

−

i 

Załóżmy, że znamy próbki tego widma pobrane z rozdzielczością ω

k

:

X 

k

=

2 

N

⋅

k = X [k ]=

1

1−a e

−

i 2 k / N

; k =0,1, 2,... , N −1

13 (50)

Sygnał okresowy x

p

[n] można utworzyć korzystając z próbek widma X[k]:

x

p

[

n]=

1

N

∑

k=0

N −1

X [k ]e

i 2 k

n

N

=

1

N

∑

k =0

N −1

e

i 2  k

n

N

1−a e

−

i 2 k

n

N

bądź też korzystając ze wzoru:

x

p

[

n]=

∑

m=−∞

∞

x [n−m N ]=

∑

m=−∞

0

a

n−m N

=

a

n

∑

m=0

∞

a

m N

=

a

n

1−a

N

; n=0,1,... , N −1

14 (50)

Czynnik 1/(1 – a

N

) reprezentuje tutaj wpływ aliasingu i dla |a| < 1 maleje do zera, 

gdy N → ∞.

Zdefiniujmy sygnał o skończonym czasie trwania N:

x

apr

[

n]=

{

x

p

[

n]⇔n=0,1,... , N −1

0⇔dla pozostałych n

}

Wówczas jego widmo DTFT ma postać:

X

apr

=

∑

n=0

N −1

x [n]e

−

i  n

=

∑

n=0

N −1

x

p

[

n]e

−

i  n

=

1

1−a

N

1−a

N

e

−

i  N

1−a e

−

i 

Zauważmy, że mimo różnicy między X(ω) a X

apr

(ω) ich wartości dla ω

k

 = 2πk/N są 

identyczne:

X

apr



2

N

⋅

k



=

1

1−a

N

1−a

N

e

−

i 2 k

1−a e

−

i 2 

k

N

=

1

1−a e

−

i 2

k

N

=

X



2 

N

⋅

k



15 (50)

Wykresy odtworzonych widm X

apr

(ω) dla N=5 (czerwony) oraz N=50 (niebieski) 

razem z próbkami widma X(ω

k

 = 2πk/5)

16 (50)

Dyskretna Transformata Fouriera (DFT)

Z  dotychczasowych  rozważań  widać,   że równoodległe  próbki  widma X[2πk/N], 

k = 0,   1,   ...,   N-1   nie   tworzą   jednoznacznego   odwzorowania   sygnału   x[n],   gdy 

sygnał ten posiada nieskończony czas trwania. Zamiast tego, powyższe próbki 

widma odpowiadają okresowemu sygnałowi x

p

[n] o okresie N, który jest aliasem 

x[n] w myśl relacji:

x

p

[

n]=

∑

m=−∞

∞

x [n−mN ]

Jeśli   sygnał   x[n]   ma   czas   trwania   L  ≤  N,   wówczas   x

p

[n]   jest   okresowo 

zwielokrotnioną kopią x[n] zgodnie ze wzorem:

x

p

[

n]=

{

x [n]⇔ n=0,1,... , L−1

0⇔ n=L , L1,... , N −1

}

Próbki widma DTFT jednoznacznie odwzorowują wówczas ciąg x[n] pozwalając 

na jego bezbłędną rekonstrukcję.

17 (50)

Zauważmy, że uzupełnienie sygnału x

p

[n] zerami (zero-padding) nie wnosi żadnej 

dodatkowej informacji o widmie X(ω) sygnału x[n]. L-równoodległych próbek tego 

widma   wystarcza,   aby   zrekonstruować   całe   widmo   DTFT   X(ω).   Uzupełnienie 

sygnału zerami wpływa jednak na rozdzielczość uzyskanego widma dyskretnego.

Transformata sygnału czasu dyskretnego x[n] na dyskretny ciąg próbek widma 

Fouriera   X[k]   liczonych   dla   równoodległych   częstości  ω

k

  =   2πk/N   to   tzw. 

dyskretna transformata Fouriera (DFT):

X [ k ]=

∑

n=0

N −1

x [n]e

−

i 2  k

n

N

Odwrotna dyskretna transformata Fouriera (iDFT) ma postać:

x [n]=

1

N

∑

n=0

N −1

X [k ]e

i 2  k

n

N

18 (50)

Dyskretna   transformata   Fouriera   (DFT)   jest   zatem   spróbkowaną   wersją 

transformaty Fouriera  czasu  dyskretnego (DTFT),  pobieraną  w równoodległych 

punktach ω

k

 = 2πk/N.

Pomimo jednak tego, że L-punktowa DFT jednoznacznie odwzorowuje sygnał x[n] 

w   dziedzinie   częstotliwości,   przy   małej   liczbie   punktów   nie   oddaje   ona 

wystarczająco   szczegółowo   charakterystyki   widmowej   x[n],   dlatego   też   w   celu 

zwiększenia rozdzielczości DFT sygnał x[n] uzupełnia się zerami (zero-padding):

19 (50)

20 (50)

DFT jako przekształcenie liniowe

Transformaty DFT oraz iDFT można zapisać w zwięzłej postaci jako:

X [ k ]=

∑

n=0

N −1

x [n]W

N

k n

; k =0,1,... , N −1

x [n]=

∑

k=0

N −1

X [k ]W

N

−

k n

; n=0,1,... , N −1

gdzie współczynnik:

W

N

=

e

−

i 2 

N

jest N-tym pierwiastkiem z jedności.

Zauważmy,   że  obliczenie   1  punktu   DFT  wymaga   N-zespolonych   mnożeń   oraz 

(N-1) zespolonych dodawań, a więc złożoność obliczeniowa całej N-punktowej 

DFT jest rzędu N

2

.

21 (50)

Obliczenia DFT oraz iDFT można traktować jak liniowe przekształcenia wektorów 

x[n] oraz X[k], a więc w szczególności można jest zapisać w postaci macierzowej.

Niech   x

N

  będzie   n-punktowym   wektorem   próbek   sygnału,   X

N

  –   N-punktowym 

wektorem   próbek   widma   tego   sygnału,   zaś   macierz   W

N

  –   macierzą 

przekształcenia (symetryczną) postaci:

x

N

=

[

x [0]
x [1]

...

x [ N ]

]

, X

N

=

[

X [0]
X [1]

...

X [ N ]

]

W

N

=

[

1

1

...

1

1

W

N

...

W

N



N −1

⋮

⋮

⋱

⋮

1 W

N



N −1

... W

N



N −1⋅N −1

]

22 (50)

Przy takich oznaczeniach DFT przyjmuje postać macierzową:

X

N

=

W

N

⋅

x

N

Zakładając,   że   macierz   przekształcenia   W

N

  jest   nieosobliwa   (odwracalna), 

wówczas iDFT wyraża się jako:

x

N

=

W

N

−

1

⋅

X

N

Z drugiej strony, definicja iDFT wymaga, aby:

x

N

=

1

N

W

N

∗

⋅

x

N

gdzie: W

N

* jest macierzą sprzężoną do W

N

.

Porównanie obu wyników prowadzi do wniosku, że:

W

N

−

1

=

1

N

W

N

∗

23 (50)

Powyższe równanie można zapisać także jako:

W

N

⋅

W

N

∗

=

N⋅I

N

gdzie: I

N

 jest macierzą jednostkową wymiaru NxN.

Wynika stąd, że macierz przekształcenia W

N

 jest macierzą ortogonalną (unitarną), 

co znacznie upraszcza obliczenia macierzy odwrotnej.

24 (50)

Ex.: Wyznaczyć DFT sygnału 4-punktowego: x[n] = [0,1,2,3].

Macierz W

4

 ma w tym przypadku postać:

W

4

=

[

W

4

0

W

4

0

W

4

0

W

4

0

W

4

0

W

4

1

W

4

2

W

4

3

W

4

0

W

4

2

W

4

4

W

4

6

W

4

0

W

4

3

W

4

6

W

4

9

]

=

[

1

1

1

1

1 −i −1

i

1 −1

1

−

1

1

i

−

1 −i

]

DFT ma zatem postać:

X

N

=

W

4

⋅

x

4

' =

[

6

−

22 i

−

2

−

2−2 i

]

iDFT   daje   się   wyznaczyć   przez   sprzężenie   elementów   macierzy   W

4 

i przemnożenie przez próbki widma DFT.

25 (50)

Związki DFT z innymi transformatami

(1) DFT a DTFS – sygnały okresowe czasu dyskretnego:

Przypomnijmy, że dowolny sygnał okresowy x

p

[n] o okresie podstawowym N może 

być przedstawiony w postaci:

x

p

[

n]=

∑

k=0

N −1

c

k

e

i 2  k

n

N

;

c

k

=

1

N

∑

n=0

N −1

x

p

[

n]e

−

i 2 k

n

N

Po   porównaniu   ze   wzorami   na   DFT   widać,   że   przy   założeniu,   iż   x

p

[n]   =   x[n] 

współczynniki szeregu Fouriera c

k

 są równe:

X [ k ]=N⋅c

k

Z   drugiej   strony,   rozwinięcie   na   szereg   Fouriera   jest   równe   iDFT,   tak   więc 

N-punktowa   DFT   dokładnie   odtwarza   widmo   liniowe   sygnału   okresowego 

o okresie podstawowym N.

26 (50)

(2) DFT a DTFT – sygnały nieokresowe czasu dyskretnego:

Jeśli x[n] jest nieokresowym sygnałem czasu dyskretnego o widmie DTFT X(ω), 

próbkowanym w równych przedziałach częstotliwości ω

k

 = 2πk/N, to prążki:

X [ k ]= X 

k

 ∣



k

=

2 k / N

=

∑

n=−∞

∞

x [n]e

−

i 2  k

n

N

są   równe   współczynnikom   DFT   sygnału   okresowego   x

p

[n]   o   okresie   N 

utworzonego przez cykliczne powtarzanie x[n]:

x

p

[

n]=

∑

m=−∞

∞

x [n−m N ]

Z   tego   względu   dokładność   DFT   jest   uzależniona   od   aliasingu   sygnału   x[n] 

w przedziale 0  ≤  n  ≤  N-1. Warunkiem powracalności iDFT do pierwotnej postaci 

x[n] jest, aby czas trwania L sygnału x[n] był nie dłuższy niż okres N sygnału x

p

[n].

27 (50)

(3) DFT a z-transformata:

Niech dany jest sygnał x[n], którego z-transformata ma postać:

X  z =

∑

n=−∞

∞

x [n] z

−

n

Przy czym ROC zawiera okrąg jednostkowy.

Okazuje   się   wówczas,   że   DFT   jest   równoważne   z-transformacie   liczonej   na 

okręgu jednostkowym w N-równoodległych punktach:

X [ k ]= X  z

k

 ∣

z

k

=

e

i 2 k n/ N

=

∑

n=−∞

∞

x [n]e

−

i 2  k

n

N

28 (50)

Jeśli długość sygnału x[n] nie przekracza N, wówczas może on być odtworzony 

z N-punktowego widma DFT. Oznacza to, że i z-transformata jest jednoznacznie 

definiowana przez DFT. Z-transformata daje się bowiem wyrazić jako:

X  z =

∑

n=0

N −1

x [n] z

−

n

=

...=

1−z

−

N

N

∑

k=0

N −1

X [k ]

1−e

i 2

k

N

z

−

1

z-transformata   liczona   po   okręgu   jednostkowym   prowadzi   do   wzoru 

interpolacyjnego na DTFT w funkcji próbek widma DFT:

X =

1−e

−

N

N

∑

k=0

N −1

X [k ]

1−e

−

i



−

2 

k

N



29 (50)

Własności DFT

(1) Okresowość DFT:

Jeśli x[n] oraz X[k] są parą transformat DFT, to:

x [ nN ]=x [n]

X [ k N ]= X [k ]

(2) Liniowość DFT:

Jeśli {x

1

[n], X

1

[k]}, {x

2

[n], X

2

[k]} są parami transformat DFT, to:

DFT a

1

x

1

[

n]a

2

x

2

[

n]=a

1

X

1

[

k ]a

2

X

2

[

k ]

30 (50)

(3) Cykliczna symetria sygnału:

Dowiedliśmy wcześniej, że N-punktowa DFT sygnału x[n] o skończonym czasie 

trwania L ≤ N jest równa N-punktowej DFT sygnału okresowego x

p

[n] o okresie N, 

otrzymanego przez okresowe rozszerzanie x[n]:

x

p

[

n]=

∑

m=−∞

∞

x [n−m N ]

Załóżmy teraz, że sygnał x

p

[n] przesuwamy o k-próbek w prawo:

x

p

' [n]=x

p

[

n−k ]=

∑

m=−∞

∞

x [ n−k −m N ]

Odtworzenie sygnału x'[n] na podstawie znajomości x

p

'[n]:

x ' [n]=

{

x

p

' [n]⇔0≤n≤N −1

0 dla pozostałych N

}

prowadzi do wniosku, że x'[n] także jest przesunięte względem x[n] o k-próbek, 

wykazując przy tym cykliczność przesunięcia.

31 (50)

Kołowe przesunięcie N-punktowego sygnału skończonego w czasie (przesunięcie 

modulo   N)   jest   zatem   równoważne   liniowemu   przesunięciu   jego   rozszerzenia 

okresowego i vice versa.

32 (50)

Powyższa własność nakazuje przedefiniować pojęcie parzystości sygnału:

N-punktowy sygnał jest kołowo parzysty wtedy i tylko wtedy gdy:

x [ N −n]=x [n]; n=1, 2,... , N −1

N-punktowy sygnał jest kołowo nieparzysty wtedy i tylko wtedy gdy:

x [ N −n]=−x [ n]; n=1, 2, ... , N −1

33 (50)

Własności symetrii DFT

Załóżmy,   że   N-punktowy   sygnał   x[n]   oraz   jego   widmo   DFT   X[k]   są   ciągami 

zespolonymi. Można je zatem wyrazić jako:

x [n] x

R

[

n]i x

I

[

n]; n=0, 1,... , N −1

X [ k ]= X

R

[

k ]i X

I

[

k ]; k =0,1,... , N −1

Korzystając ze wzorów DFT otrzymujemy, że:

X

R

[

k ]=

∑

n=0

N −1



x

R

[

n]cos



2  k n

N





x

I

[

n]sin



2 k n

N





X

I

[

k ]=−

∑

n=0

N −1



x

R

[

n]sin



2 k n

N



−

x

I

[

n]cos



2 k n

N





x

R

[

k ]=

1

N

∑

n=0

N −1



X

R

[

n]cos



2 k n

N



−

X

I

[

n]sin



2 k n

N





x

I

[

k ]=

1

N

∑

n=0

N −1



X

R

[

n]sin



2  k n

N





X

I

[

n]cos



2  k n

N





34 (50)

Jeśli x[n] jest sygnałem rzeczywistym, wówczas:

X [ N −k ]= X

∗

[

k ]= X [−k ]

Jeśli x[n] jest dodatkowo sygnałem parzystym, tzn.: x[N-n] = x[n], to X

I

[k] = 0, 

wtedy DFT redukuje się do widma rzeczywistego, parzystego:

X [ k ]= X

R

[

k ]=

∑

n=0

N −1

x [ n]cos



2  k n

N



iDFT również ulega redukcji do postaci:

x [n]=

1

N

∑

k=0

N −1

X [k ]cos



2 k n

N



35 (50)

W przypadku, gdy x[n] jest sygnałem rzeczywistym, parzystym, tzn.: x[N-n] = -x[n], 

otrzymujemy, że X

R

[k] = 0 oraz widmo DFT jest urojone, nieparzyste:

X [ k ]=−i

∑

n=0

N −1

x [n]sin



2  k n

N



x [n]=i

1

N

=

∑

k =0

N −1

X [k ]sin



2  k n

N



Powyższe własności symetrii DFT można podsumować następująco:

36 (50)

37 (50)

Mnożenie transformat DFT i splot kołowy

Niech dane są dwa ciągi skończone o długości N: x

1

[n] oraz x

2

[n], których DFT 

mają postać:

X

1

[

k ]=

∑

n=0

N −1

x

1

[

n]e



−

i 2  k n

N



X

2

[

k ]=

∑

n=0

N −1

x

2

[

n]e



−

i 2 k n

N



Po wymnożeniu obu widm DFT dostajemy widmo X

3

[k] ciągu x

3

[n] o długości N 

takiego, że:

X

3

[

k ]= X

1

[

k ]⋅X

2

[

k ]

x

3

[

m]=

1

N

∑

k =0

N −1

X

3

[

k ]e



i 2 k m

N



=

1

N

∑

k=0

N −1

X

1

[

k ]⋅X

2

[

k ]e



i 2 k m

N



38 (50)

Rozpiszmy wyjściowe wyrażenie:

x

3

[

m]=

1

N

∑

k =0

N −1

[

∑

n=0

N −1

x

1

[

n]e

−

i 2  k

n

N

][

∑

l=0

N −1

x

2

[

l ]e

−

i 2 k

l

N

]

e

i 2  k

m
N

=

...

...=

1

N

∑

n=0

N −1

x

1

[

n]

∑

l=0

N −1

x

2

[

l ]

[

∑

k =0

N −1

e

i 2 k



m−n−l 

N

]

Zauważmy jednak, że:

∑

k =0

N −1

a

k

=

{

N ⇔ a=1

1−a

N

1−a

⇔

a≠1

}

gdzie zdefiniowano:

a=e

i 2



m−n−l 

N

39 (50)

W powyższym przypadku analizowany szereg ulega redukcji do:

∑

k =0

N −1

a

k

=

{

N ⇔m−n−l = p⋅N , p∈ℤ

0 ⇔w pozostałych przypadkach

}

Szereg pozostaje więc niezerowy tylko wówczas, gdy:

l=m−n p⋅N =m−nmod N

Końcowe wyrażenie na x

3

[m] przyjmuje zatem postać:

x

3

[

m]=

∑

n=0

N −1

x

1

[

n]⋅x

2

[

m−nmod N ]= x

1

[

n]∗

N

x

2

[

n]; m=0,1,... , N −1

Powyższe wyrażenie nazywane jest splotem kołowym i w dziedzinie czasu jest 

ono równoważne mnożeniu widm DFT.

40 (50)

Ex.: Wyznaczyć splot kołowy sygnałów: x

1

[n] = {2, 1,2,1,}, x

2

[n] = {1, 2, 3, 4}.

Przedstawmy oba sygnały w postaci wykresów kołowych (zwrot dodatni przyjęto 

jako przeciwny do ruchu wskazówek zegara):

41 (50)

Końcowy wynik to: x

3

[n] = {14, 16, 14, 16}.

42 (50)

Dodatkowe własności DFT

Zawijanie sygnału w czasie:

Jeśli X[k] = DFT(x[n]) to:

x [−n] mod N = x [−n]

N

=

x [ N −n] ⇔

DFT

X [−k ]

N

=

X [ N −k ]

Kołowe przesunięcie sygnału w czasie:

Jeśli X[k] = DFT(x[n]) to:

x [n−m]

N

⇔

DFT

X [k ] e

−

i 2 k

m

N

Kołowe przesunięcie sygnału w dziedzinie częstotliwości:

Jeśli X[k] = DFT(x[n]) to:

x [n]e

i 2 m

n

N

⇔

DFT

X [ k −m]

N

43 (50)

Mnożenie sygnałów:

Jeśli X

1

[k] = DFT(x

1

[n]) oraz X

2

[k] = DFT(x

2

[n]), to:

x

1

[

n]⋅x

2

[

n] ⇔

DFT

X

1

[

k ]∗

N

X

2

[

k ]

Pozostałe własności DFT zebrano w formie tabeli:

44 (50)

Analiza częstotliwościowa sygnałów z użyciem DFT

Każdy badany sygnał jest z natury rzeczy ograniczony czasowo, co powoduje, że 

widmo   takiego   sygnału   jest   liczone   na   podstawie   skończonej   ilości   próbek. 

Skończony   czas   obserwacji   sygnału   wpływa   nie   tylko   na   kształt   wyliczonego 

widma,   ale   również   na   jego   rozdzielczość,   przez   co   istotnym   problemem 

w procesie   przetwarzania   sygnału   staje   się   zbudowanie   odpowiedniej   funkcji 

bramkującej (funkcji okna).

45 (50)

Niech   x[n]   oznacza   badany   sygnał   czasu   dyskretnego,   zawierający   L-próbek, 

co jest równoważne przemnożeniu sygnału x[n] przez funkcję okna prostokątnego 

w[n] o długości L:

x [n]= x [n]⋅w [n]

gdzie:

w [n]=

{

1⇔0≤n≤ L−1

0 dla pozostałych n

}

Załóżmy, że x[n] jest sygnałem sinusoidalnym:

x [n]=cos2 f

0

⋅

n

Transformata Fouriera ma postać:



X =

1
2

[

W −

0



W 

0



]

46 (50)

gdzie W(ω) jest transformatą funkcji okna:

W =

sin  L/ 2

sin / 2

e

−

i  L−1

2

Do obliczenia X(ω) posłużymy się DFT. Uzupełniwszy sygnał x[n] (N-L)-zerami 

możemy wyznaczyć jego N-punktową DFT (np. dla L=25, N=2048 jak na rys.):

47 (50)

Przeciekanie sygnału

Obserwacja   widma   sygnału   okienkowanego   prowadzi   do   wniosku,   że   nie   jest 

zlokalizowane dla jednej częstotliwości, ale rozmywa się w różnym stopniu po 

całym przedziale częstotliwości. Mówi się, że widmo przecieka z listków głównych 

do pozostałych częstotliwości widma, określając ten proces mianem przeciekania 

(leakage).

48 (50)

Rozdzielczość widma

Wpływ   funkcji   okna   nie   tylko   powoduje   przeciekanie   energii   widma   do   listków 

bocznych, ale także zmienia rozdzielczość widma.

Niech sygnał x[n] składa się z 2 sygnałów sinusoidalnych:

x [n]=sin 2 f

1

nsin 2  f

2

n

Obcięcie sygnału do L-próbek powoduje, że jego widmo ma postać:



X =

1
2

[

W −

1



W −

2



W 

1



W 

2



]

Jeśli:

∣

1

−

2

∣

2 

L

wówczas transformaty funkcji okien W(ω – ω

k

) zachodzą na siebie i oba prążki 

zlewają się w jeden.

49 (50)

Poniżej przedstawiono wyniki obliczeń widma amplitudowego sygnału:

x [n]=cos0.2  ncos0.22  ncos0.6  n

Długość okna wynosi odpowiednio: L = 25, 50 oraz 100 próbek:

50 (50)