The Uncertainty Principle   

Consider a large number N  of

 identical boxes with identical 

particles all described by the 

same statefunction 

Ψ

(x,y ,z) :

Consider the observable A represented by the operator       ˆ 

A    

Let   [ˆ 

A ,   ˆ 

H ] 

≠

 0

Thus the system described by   

Ψ

 do not   

have sharp value for A.      

The average (expectation ) value is defined by :    

< A >=  

Ψ

*

∫

ˆ 

A 

Ψ

d

τ

   

Appendix B

 

 

<A>

A1

A2 An

The Uncertainty Principle   

The measurement of A on each of the n identical     

systems will give a different outcome    A  

i

                 

We define the variance as  :

1

n

i

∑

A

i

− <

A

>

(

)

2

=

σ

A

2

=

(

∆

A)

2

σ

A

2

= Ψ

*

( ˆ 

A 

∫

− <

A

>

)

2

Ψ

d

τ

   

= Ψ

*

( ˆ 

A 

2

∫

−

2

<

A

>

ˆ 

A 

+ <

A

>

2

)

Ψ

d

τ

   

= Ψ

*

ˆ 

A 

2

∫

Ψ

d

τ −

2

<

A

> Ψ

*

∫

ˆ 

A 

Ψ

d

τ+ <

A

>

2

Ψ

*

∫

Ψ

d

τ

   

       

= Ψ

*

ˆ 

A 

2

∫

Ψ

d

τ

− <

A

>

2

=

 

<

A

2

> − <

A

>

2

Appendix B

 

 

The Uncertainty Principle   

We define  :

∆

A  =  

σ

A

2

as the standard deviation   

We shall later show that two for two observables A and B     

∆

A

∆

B  =

1

2i

Ψ

*

∫

[ ˆ 

A , ˆ 

B ] 

Ψ

d

τ

Consider as an example  ˆ 

x  and  ˆ 

p 

x

[ˆ 

x , ˆ 

p 

x

]

=

ih

Since  :

∆

x

∆

p

x

  =

1

2i

Ψ

*

∫

[ˆ 

x , ˆ 

p 

x

] 

Ψ

d

τ

=

1

2

h

We can not simultaniously obtain sharp values

for x and p

x

    

Appendix B