TWIERDZENIE

THEVENINA -NORTONA

TWIERDZENIE THEVENINA- NORTONA

• Rozpatrujemy obwód

liniowy.

• Wykorzystując

zasadę superpozycji

i A

u

zasadę superpozycji
mamy :

B

u

i

u

G

j

b

e

a

z

k

m

k

k

k

l

k

k

k

=

+

+

∑

∑

=

=

=

1

1

Wprowadzamy

oznaczenie:













+

−

=

∑

∑

=

=

m

k

k

k

l

k

k

k

z

j

b

e

a

i

1

1

u

G

i

i

+

−

=

i A

Otrzymujemy :

u

G

j

b

e

a

z

k

m

k

k

k

l

k

k

k

+

+

∑

∑

=

=

=

1

1

u

G

i

i

z

z

+

−

=

z

i

z

G

B

u

Dwójniki

i

Są opisane

tym samym

równaniem

więc są

równoważne

.

u

G

i

i

z

z

+

−

=

z

i

z

G

B

i
A

i
A

B

u

Rozpatrujemy stan obwodu , gdy u = 0

Wyznaczenie parametrów i

Z

, G

Z

dwójnika zastępczego

u

G

i

i

z

z

+

−

=

z

i

i

−

=

u

G

i

i

z

z

+

−

=

wówczas

:

Zaciski AB są

ZWARTE

z

i

A

B

i

i

u

G

j

b

e

a

z

k

m

k

k

k

l

k

k

k

=

+

+

∑

∑

=

=

=

1

1

Jeżeli w obwodzie

dla k = 1...l

0

=

k

e

0

=

k

j

dla j = 1...m

u

u

i

G

z

=

A

i

to i mamy :

0

=

z

i

u

i

G

u

G

i

z

z

=

=

u

G

i

i

z

z

+

−

=

u

G

z

=

B

Konduktancja

obwodu

„widziana”z zacisków AB

u

i

G

z

=

konduktancja

„

widziana

”

z zacisków A, B obwodu

otrzymanego w wyniku

przyrównania do zera

wszystkich wymuszeń

Twierdzenie Nortona

Obwód liniowy , rozpatrywany od strony wybranej

pary zacisków AB można zastąpić równoległym
połączeniem utworzonym ze źródła prądowego
oraz opornika o konduktancji

G

z

.

Prąd źródłowy jest równy prądowi płynącemu w zwartej

gałęzi AB, a

G

z

jest konduktancją

„widzianą”

z

zacisków AB, po przyrównaniu do zera wszystkich
napięć i prądów źródeł niezależnych.

Wiadomo, że rzeczywiste źródło prądowe

i

ż

,

, G

z

można

zastąpić równoważnym źródłem napięciowym

e

z

, G

z

.

gdzie

z

z

G

R

1

=

z

z

z

i

R

e =

z

e

z

R

u

z

z

z

Z równoważności dwójników źródłowych wynika ,że jest
napięciem na zaciskach AB .

Można je wyznaczyć w układzie

z

e

u

i=0

zaś rezystancję zastępczą
wyznaczamy tak jak G

Z

Pomiarowe wyznaczenie prądu i

z

wymaga

zwarcia zacisków A, B co nie zawsze jest dopuszczalne.

Można zmierzyć napięcie e

z

i obliczyć i

z

ze wzoru

UWAGA 1

Można zmierzyć napięcie e

z

i obliczyć i

z

ze wzoru

z

z

z

R

e

i =

Pomiarowe wyznaczenie G

z

(lub R

z

) wymaga przyrównania

do zera wszystkich napięć i prądów źródeł niezależnych.
Jeżeli taka ingerencja w obwodzie nie jest możliwa dokonujemy

pomiaru napięcia u

R

w obwodzie z dołączonym do zacisków

A, B opornikiem o znanej rezystancji R.

u

G

i

i

z

z

+

−

=

R

u

i

i

R

R

−

=

−

=

i A

UWAGA

R

R

R

z

z

R

u

G

i

R

u

+

−

=

−

R

R

z

z

u

R

u

i

R

G

−

=

z

z

z

R

e

i =

R

z

R

z

z

z

Ru

R

u

R

Re

G

−

=

B

u

AB

R

Przykłady

Przykład 1

W układzie jak na rys. obliczyć prąd i

i

1

e

2

e

i

1

R

2

R

R

1

e

2

e

1

R

2

R

2

2

1

1

R

e

R

e

i

z

+

=

i

Z

2

1

2

1

R

R

R

R

R

z

+

=

1

R

2

R

A

B

R

Z

z

z

R

i

i

+

=

i

Zastępujemy układ wyjściowy rzeczywistym
ź

ródłem prądu i konduktancją zastępczą

z

z

R

R

i

i

+

=

R

z

z

R

G

1

=

i

Z

Przykład 2

Rozpatrzmy obwód zawierający źródło sterowane

s

i

R

3

i

α

3

i

A

s

i

1

R

2

R

B

Stosujemy NPK

2

'

2

'

2

2

0

R

i

i

i

i

R

s

s

α

α

−

=

=

+

Stosujemy PPK

Aby policzyć parametry zastępczego źródła

B

s

i

1

R

2

R

3

i

α

3

i

A

`

2

i

`

1

i

z

i

Stosujemy PPK













+

=

2

1

R

i

i

s

z

α

0

'

2

'

3

=

+

+

−

z

i

i

i

0

`

1

=

i

s

i

i =

`

3

2. Znajdujemy konduktancję układu

z

G

1

R

2

R

u

A

B

i

"

i

"

i

1

3

−

=

1

1

R

u

"

i =

"

i

R

u

"

i

R

"

i

u

2

2

1

2

2

1

R

+

α

−

=

+

α

−

=

i

G =

``

3

i

'`

3

i

α

'`

2

i

1

R

u

R

R

"

i













α

+

=

1

2

2

1

1

u

i

i

G

z

``

3

``

2

−

=

1

1

2

1

1

1

R

R

R

G

z

+













+

=

α

u

i

G

z

=

Parametry zastępczego dwójnika wynoszą:













+

=

2

1

R

i

i

s

z

α

1

1

2

1

1

1

R

R

R

G

z

+













+

=

α