Statystyka In˙zynierska

W7: Wnioskowanie o populacji. Testowanie hipotez

dr hab. in˙z. Katarzyna Filipiak

Instytut Matematyki

Politechnika Pozna´

nska

18.12.2015

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

18.12.2015

1 / 15

Testowanie hipotez

Hipoteza statystyczna

(parametryczna) to przypuszczenie

dotycz¸ace parametr´ow badanej populacji. Jej
wiarygodno´s´c jest badana na podstawie informacji
zawartej w pr´obie.

Wnioskowanie statystyczne polegaj¸ace na podj¸eciu
decyzji na podstawie pr´oby czy hipotez¸e nale˙zy odrzuci´c
czy te˙z nie nazywamy

testowaniem hipotez

.

Hipoteza obustronna lewostronna prawostronna

H

0

=

=

(

≥)

=

(

≤)

H

1

6=

<

>

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

18.12.2015

2 / 15

Testowanie hipotez

Stan Natury

Wynik Testu

H

0

prawdziwa

H

0

fa lszywa

Odrzuci´c

H

0

B l¸ad

(

I-go rodzaju

)

Poprawna

Nie odrzuci´c

H

0

Poprawna

B l¸ad

(

II-go rodzaju

)

Prawdopodobie´nstwo pope lnienia b l¸edu I-go rodzaju
nazywa si¸e

poziomem istotno´sci

i oznaczane jest przez

α

.

Prawdopodobie´nstwo pope lnienia b l¸edu II-go rodzaju
oznaczane jest przez

β

, a warto´s´c

1 −β

nazywa si¸e

moc¸a

testu

.

♦

♦ ♦ ♦

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

18.12.2015

3 / 15

Testowanie hipotez

Statystyk¸e, kt´orej warto´sci pozwalaj¸a zdecydowa´c o
odrzuceniu

H

0

nazywamy

statystyk¸a testow¸a

.

Zbi´or warto´sci tej statystyki, przy kt´orych

H

0

jest

odrzucana nazywamy

obszarem krytycznym

(obszarem

odrzucenia) testu.

Obszar krytyczny:

R

.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

18.12.2015

4 / 15

Procedura testowa

Sformu lowanie hipotezy
Wyb´or statystyki testowej

ˆθ

Wyznaczenie obszaru krytycznego

R

Podj¸ecie decyzji:

–

Na poziomie istotno´sci

α

odrzucamy hipotez¸e

H

0

na

korzy´s´c

H

1

je˙zeli

P( ˆ

θ ∈ R) = α

–

Na poziomie istotno´sci

α

nie ma podstaw do odrzucenia

hipotezy

H

0

je˙zeli

P( ˆ

θ 6∈ R) = α

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

18.12.2015

5 / 15

Testy hipotez o ´sredniej

Hipoteza:

1)

H

0

:

µ ≤ µ

0

przeciwko

H

1

:

µ > µ

0

2)

H

0

:

µ ≥ µ

0

przeciwko

H

1

:

µ < µ

0

3)

H

0

:

µ = µ

0

przeciwko

H

1

:

µ 6= µ

0

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

18.12.2015

6 / 15

Test hipotezy o ´sredniej

Za lo˙zenie: populacja normalna

N(

µ,σ)

,

σ znana

Statystyka testowa:

Z =

X − µ

0

σ/√n ∼

H

0

N(0,1)

Zbi´or krytyczny testu na poziomie istotno´sci

α

:

1)

Z > z

α

2)

Z < −z

α

3)

|Z| > z

α/2

gdzie

z

β

: P(Z > z

β

) =

β

;

Z ∼ N(0,1)

.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

18.12.2015

7 / 15

Test hipotezy o ´sredniej

Za lo˙zenie: populacja du˙za (

n ≥ 30

)

Statystyka testowa:

Z =

X − µ

0

s/√n ∼

H

0

N(0,1)

Zbi´or krytyczny testu na poziomie istotno´sci

α

:

1)

Z > z

α

2)

Z < −z

α

3)

|Z| > z

α/2

gdzie

z

β

: P(Z > z

β

) =

β

;

Z ∼ N(0,1)

.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

18.12.2015

8 / 15

Test hipotezy o ´sredniej

Za lo˙zenie: populacja normalna

N(

µ,σ)

,

σ nieznana

Statystyka testowa:

t =

X − µ

0

s/√n ∼

H

0

t

n−1

Zbi´or krytyczny testu na poziomie istotno´sci

α

:

1)

t > t

n−1,α

2)

t < −t

n−1,α

3)

|t| > t

n−1,α/2

gdzie

t

n−1,β

: P(t > t

n−1,β

) =

β

;

t ∼ t

n−1

.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

18.12.2015

9 / 15

Test a przedzia l ufno´sci

Za lo˙zenie: populacja normalna

N(

µ,σ)

,

σ nieznana

Hipoteza:

H

0

:

µ = µ

0

przeciwko

H

1

:

µ 6= µ

0

Poziom istotno´sci:

α

Obszar krytyczny

R

:









X − µ

0

s/√n







 > t

α/2

Zbi´or ”akceptacji”

H

0

:

X − t

α/2

· s/

√

n <

µ

0

<

X + t

α/2

· s/

√

n

100(1 − α)%

przedzia l ufno´sci dla

µ

:

X − t

α/2

· s/

√

n <

µ < X + t

α/2

· s/

√

n

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

18.12.2015

10 / 15

Testy hipotez o wariancji

Hipoteza:

1)

H

0

:

σ

2

≤ σ

2

0

przeciwko

H

1

:

σ

2

>

σ

2

0

2)

H

0

:

σ

2

≥ σ

2

0

przeciwko

H

1

:

σ

2

<

σ

2

0

3)

H

0

:

σ

2

=

σ

2

0

przeciwko

H

1

:

σ

2

6= σ

2

0

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

18.12.2015

11 / 15

Test hipotezy o wariancji

Za lo˙zenie:

populacja normalna

Statystyka testowa:

χ

2

=

∑

n

i=1

(

X

i

− X)

2

σ

2

0

=

(

n − 1)s

2

σ

2

0

∼

H

0

χ

2

n−1

Zbi´or krytyczny testu na poziomie istotno´sci

α

:

1)

χ

2

>

χ

2

n−1,α

2)

χ

2

<

χ

2

n−1,1−α

3)

χ

2

<

χ

2

n−1,1−α/2

lub

χ

2

>

χ

2

n−1,α/2

gdzie

χ

2

n−1,β

: P(

χ

2

>

χ

2

n−1,β

) =

β

;

χ

2

∼ χ

2

n−1

.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

18.12.2015

12 / 15

Test hipotezy o wariancji

Za lo˙zenie:

populacja du˙za

Statystyka testowa:

Z =

s

2(n − 1)s

2

σ

2

0

−

√

2n − 3 ∼

H

0

N(0,1)

Zbi´or krytyczny testu na poziomie istotno´sci

α

:

1)

Z > z

α

2)

Z < −z

α

3)

|Z| > z

α/2

gdzie

z

β

: P(Z > z

β

) =

β

;

Z ∼ N(0,1)

.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

18.12.2015

13 / 15

Testy hipotez o wska´zniku struktury

Pr´oba du˙za (

n > 100

):

T

- liczba sukces´ow,

ˆp = T/n

,

ˆq = 1 − ˆp

Hipoteza:

1)

H

0

: p ≤ p

0

przeciwko

H

1

: p > p

0

2)

H

0

: p ≥ p

0

przeciwko

H

1

: p < p

0

3)

H

0

: p = p

0

przeciwko

H

1

: p 6= p

0

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

18.12.2015

14 / 15

Test hipotezy o wska´zniku struktury

Pr´oba du˙za (

n > 100

):

T

- liczba sukces´ow,

ˆp = T/n

,

ˆq = 1 − ˆp

Statystyka testowa:

Z =

ˆp − p

0

√p

0

q

0

/

√n ∼

H

0

N(0,1)

Zbi´or krytyczny testu na poziomie istotno´sci

α

:

1)

Z > z

α

2)

Z < −z

α

3)

|Z| > z

α/2

gdzie

z

β

: P(Z > z

β

) =

β

;

Z ∼ N(0,1)

.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

18.12.2015

15 / 15