LISTA 8/ MATEMATYKA/ LOGISTYKA/ STUDIA NIESTACJONARNE

Pochodne wyższych rzędów. Wypukłość. Reguła de l’Hospitala

1. Obliczyć drugą pochodną funkcji:

a)

5

)

(

x

x

f



;

b)

7

3

)

(

x

x

f



;

c)

 

x

f x

e





;

d)

 

3x

f x

e



;

e)

x

e

x

f

3

)

(





;

f)

4

2

)

(

x

e

x

f



;

g)

x

e

x

x

f

3

2

)

(





;

h)

1

4

2

3

)

(







x

x

x

f

;

i)

)

4

(

)

(

3

5

x

x

x

f





;

j)

)

2

4

sin(

)

(





x

x

f

;

k)

x

e

x

f

4

2

1

3

)

(







;

l)

5

2

)

(





x

x

e

e

x

f

;

ł)

7

3

)

(

e

x

f



;

m)

x

e

x

f

sin

7

)

(

2

3



.

2. Wyznaczyć przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji:

a)

 

1

7

3

2

3









x

x

x

x

f

;

b)

 

7

2

2

3

4









x

x

x

x

f

;

c)

 

1

3

2







x

x

x

f

;

d)

 





2

3

f x

x

x





;

e)

 

2

2

1

f x

x

x





;

f)

 

ln

f x

x

x





;

g)

 

2

x

f x

e





;

h)

 

x

f x

xe





;

i)

 

2

2

5

6

1

x

x

f x

x









;

j)

 

2

(

2)

x

f x

x

e







;

k)

 

2

(

1)

x

f x

x

e





;

l)

5

4

( )

2

f x

x

x





.

3. Wyznaczyć przedziały wypukłości, wklęsłości, punkty przegięcia, granice w

0

i



i na-

szkicować wykres funkcji logistycznej:

a)

5

2

)

(





x

x

e

e

x

f

;

b)

x

e

x

f

4

2

1

3

)

(







;

c)

x

x

e

e

x

f





1

)

(

.

4. Obliczyć (korzystając z reguły de l’Hospitala, tam gdzie jest to możliwe) granice:

a)

1

5

2

3

3

4

lim

3

2

3















x

x

x

x

x

x

;

b)

3

2

4

1

3

5

lim

2

3













x

x

x

x

x

;

c)

1

lim

3

1







x

x

x

x

;

d)

2

2

2

lim

4

x

x

x







;

e)

2

1

2

lim

2

2

1











x

x

x

x

x

;

f)

x

x

x

x

3

1

3

lim

2

0







;

g)

2

3

7

lim

2









x

x

x

;

h)

3

8

2

lim

3







x

x

x

;

i)

x

x

x

2

)

3

sin(

lim

0



;

j)

1

ln

lim

2

1





x

x

x

;

k)

4

lim

3

1







x

x

x

x

;

l)

2

2

5

6

5

lim

7

10

x

x

x

x

x











.

Obowiązują dodatkowo zadania z książki M. Matłoki Zastosowanie matematyki w ekonomii