LISTA 7/ MATEMATYKA/ LOGISTYKA/ STUDIA NIESTACJONARNE

Pochodna funkcji

1. Obliczyć pochodną funkcji:

a)

5

2

( )

2

4

7

f x

x

x





 ;

b)

3

( )

4

f x

x

x





;

c)

4

( )

(3

7 )(sin

3)

f x

x

x

x







;

d)

5

8

( )

2

f x

x

x





;

e)

4

( )

3

5sin

ln

f x

x

x

x

 





;

f)

( )

(sin )5

x

f x

x



;

g)

7

( )

(

3)(2

ln )

f x

ctgx

x

x







;

h)

5

10

( )

(

7)

f x

x





;

i)

3

( )

x

f x

e



;

j)

7

4

( )

x

f x

e





;

k)

2

5

( )

x

f x

e





;

l)

4

1

( )

f x

x



;

ł)

( )

(

5)

x

f x

x

e





;

m)

( )

(3

7)

x

f x

x

e





;

n)

2

( )

(4

1)

x

f x

x

e





;

o)

2

( )

3

4

x

f x

x

x







;

p)

2

3

5

3

( )

5 4

x

x

f x

x







;

q)

2

2

( )

5

x

f x

x

x



 

;

r)

( )

f x

ctgx



;

s)

( )

f x

ctg x



;

t)

2

( )

ln(

)

f x

x

x





;

u) ( )

2

arctgx

f x 

;

v)

ln

( )

x

f x

e



;

x)

( )

ln(4

3)

f x

x





;

y)

sin(3 )

( )

2

x

f x 

.

2. Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji:

a)

2

( )

5

4

f x

x

x





 ;

b)

3

2

( )

2

21

60

f x

x

x

x







; c)

2

( )

3

16

x

f x

x

x







;

d)

3

2

( )

2

2

f x

x

x

x







;

e)

4

3

2

( )

4

3

x

x

f x

x







f)

2

2

( )

(1

)

f x

x

x





;

g)

2

( )

(

1)

x

f x

x

e





;

h)

2

1

( )

4

f x

x

x





;

i)

3

( )

x

f x

e





;

j)

4

2

( )

2

4

x

f x

x





;

k)

2

3

( )

x

f x

xe





;

l)

ln

( )

x

f x

x



;

ł)

4

( )

(3

5)

7

f x

x





 ;

m)

2

( )

(

8)

x

f x

x

e





;

n)

2

( )

(

3)

x

f x

x

e







.

3. Dla jakich wartości parametru

a funkcja

3

2

( )

5

f x

x

ax

x







ma w punkcie

1

x 

lokalne ekstre-

mum? Jakie to jest ekstremum? Wyznaczyć przedziały monotoniczności tej funkcji.

4. Wykazać, że funkcja

( )

5

cos

f x

x

x





nie ma ekstremów lokalnych. Wyznaczyć przedziały mono-

toniczności tej funkcji.

5. Wykazać, że funkcja

5

4

3

( )

6

15

10

f x

x

x

x

 





nie ma ekstremów lokalnych. Wyznaczyć przedzia-

ły monotoniczności tej funkcji.

6. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji w podanym przedziale:

a)

2

( )

7

10

f x

x

x







,

3, 4



;

b)

4

2

( )

2

3

f x

x

x





 ,

2, 2



;

c)

( )

8

3

f x

x



 ,

1, 5

;

d)

 

2

x

f x

x

e





,

1, 2



;

e)

2

( )

4

x

f x

x

x



 

,

0, 3

.

7. Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji

( )

f x w punkcie

0

x :

a)

3

2

( )

2

f x

x

x





,

0

1

x  ,

b)

2

( )

2

3

1

f x

x

x





 ,

0

2

x  ,

c)

4

2

( )

3

f x

x

x





,

0

1

x   ,

d)

2

3

( )

1

x

f x

x







,

0

0

x  ,

e)

2

1

( )

x

f x

x





,

0

1

x  ,

f)

( )

x

f x

x e

 

,

0

0

x  .

Obowiązują dodatkowo zadania z wiadomej książki