LISTA 3/ MATEMATYKA/ LOGISTYKA/ STUDIA NIESTACJONARNE

Wyznacznik macierzy kwadratowej. Wzory Cramera

1. Obliczyć wyznaczniki z macierzy:

a)

3

5

1 7

A





 









; b)

























5

0

4

0

2

3

1

3

0

B

; c)

























2

0

2

4

5

0

4

3

1

C

; d)

1

2

3

3

5

3

2

1

2

2

1

2

3

4

5

1 0

8 1

2

7

2

1

3

2

D







































;

e)

B

7

;

f) B C



;

g)

B

C 

;

h)

4

B

;

i)

4

2B

;

j)

4

)

2

( B

;

k)

5

2

C

B

;

l) B

C



;

m)

4

I

;

n)

5

3I

.

W odpowiednich podpunktach skorzystać z twierdzenia Cauchy’ego oraz z faktu,

że jeżeli macierz

B

powstaje z macierzy

A

przez pomnożenie ustalonego

wiersza

(lub kolumny) przez liczbę

a

to

A

a

B

det

det



.

2. Dana jest macierz



























28

18

10

0

36

30

35

24

20

A

.Obliczyć wyznaczniki z macierzy:

a)

A

;

b)

A

3

;

c)

4

)

3

( A

d)

T

A)

3

(

.

3. Rozwiązać układ równań stosując wzory Cramera:

a)

1

2

1

2

2

5

3

4

7

x

x

x

x















;

b)































6

5

4

4

3

2

3

4

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

;

c)

1

2

4

1

2

4

1

2

3

4

1

4

2

3

5

3

1

9

2

8

0

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x
















 






















Wzory Cramera

Układ równań

Ax

b

 , gdzie

 

ij n n

A

a





,

1

n

x

x

x









  









 ,

1

n

b

b

b









  









 nazywamy układem Cramera,

jeżeli

det

0

A  . Jest to układ oznaczony, którego rozwiązanie ma postać:

det

det

i

i

A

x

A



;

1, ...,

i

n



,

gdzie

i

A powstaje z A przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną

b .

Twierdzenie (Cauchy’ego)
Jeżeli A i B są macierzami kwadratowymi tego samego stopnia, to



 

 



det

det

det

A B

A

B







.

Obowiązują dodatkowo zadania z książki Mariana Matłoki Zastosowanie matematyki w

ekonomii