Algebra z Geometrią Analityczną

6.11.2013

Lista 3. Działania na wektorach w R

n

i geometria analityczna na płaszczyźnie.

1. Dla jakich wartości parametru p ∈ R wektory u = (p, 1, p, 1, p

2

) i v = (p, p, −1, −9, 0) są

prostopadłe w przestrzeni R

5

? Dla p = 1 sprawdź, że wektory te spełniają nierówności:

ku + vk 6 kuk + kvk oraz |u ◦ v| 6 kuk · kvk.

2. Wyznacz kąt między wektorami:

a) u = (1, 2, −1, 0) i v = (4, −2, 0, 5) w przestrzeni R

4

;

b)

→

AB i

→

AC, gdzie A = (1, −1, 2), B = (1, 1, 1) i C = (6, 7, 3) są punktami w R

3

.

3. Za pomocą rachunku wektorowego pokazać, że środki boków dowolnego czworokąta w R

n

są

wierzchołkami równoległoboku.

4. Długości wektorów u i v w R

n

mierzą odpowiednio 3 i 5, a ich iloczyn skalarny wynosi −2.

Obliczyć (u − v) ◦ (2u + 3v).

5. Równoległobok jest rozpięty na wektorach u = (−3, 4) i v = (1, 2). Wyznaczyć kąt ostry

między przekątnymi tego równoległoboku.

6. Znaleźć punkty przecięcia prostej l o równaniu parametrycznym

(

x = 4 − 2t

y = −6 + t

, t ∈ R, z osiami

układu współrzędnych. Czy punkt (4, 7) leży na l?

7. Znaleźć punkt wspólny prostych o równaniach:

k :

(

x = 1 − t

y = 3 + t

, t ∈ R,

l :

(

x = 2t

y = 3 − t

, t ∈ R.

8. Znaleźć równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = (−1, 2) i jest:

a) równoległa do prostej 3x − y + 2 = 0;

b) prostopadła do prostej x + y = 0.

9. Dla jakiej wartości parametru m odległość punktów P = (1, 0) i Q = (m + 3, −2) jest równa 4?

10. Znaleźć odległość między prostymi równoległymi l

1

i l

2

o równaniach odpowiednio x − 2y = 0,

−3x + 6y − 16 = 0.

11. Obliczyć wysokość trójkąta o wierzchołkach A = (0, 0), B = (−1, 3), C = (2, 5) opuszczoną z

wierzchołka C.

12. Znaleźć równania dwusiecznych kątów wyznaczonych przez proste o równaniach 3x+4y −2 = 0

oraz 4x − 3y + 5 = 0.

Powyższe zadania zostały wybrane z list zadań „Algebra z geometrią analityczną” opracowanych
przez dra Mariana Gewerta i doc. Zbigniewa Skoczylasa, które w całości dostępne są na stronie:
http://prac.im.pwr.wroc.pl/˜gewert/WYNIKI/azga.pdf