Algebra z Geometrią Analityczną

01.10.2013

Lista 0. Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna i wzór Newtona.

1. Obliczyć lub uprościć następujące wyrażenia:

a)

12

5

4

4

· 3

6

;

b)

x

−2

y

4

z

−3

x

3

y

−5

z

3

;

c)

r

y

3

q

x

6

5

p(x

5

y

15

)

3

;

d)

q

7

1
9

;

e)

3

q

2

10
27

.

2. Podane wyrażenia zapisać w postaci potęgi 2:

a) 2

3

4

;

b) 4

5

√

8 ;

c)

p

2

3

√

2 ;

d)

4

√

2

16

;

e)

3

q

32

√

2

.

3. Podane ułamki uwolnić od niewymierności w mianowniku:

a)

2

√

3

;

b)

6

4

√

2

;

c)

11

5 −

√

3

;

d)

√

3 −

√

2

√

3 +

√

2

;

e)

5

3

√

2 + 1

.

4. Metodą indukcji matematycznej uzasadnić, że dla n ∈ N zachodzą tożsamości:

a) 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n

2

;

b)

1

1 · 2

+

1

2 · 3

+

1

3 · 4

+ . . . +

1

n(n + 1)

=

n

n + 1

.

5. Metodą indukcji matematycznej uzasadnić nierówności:

a) 2

n

> n

2

dla n

> 5 ;

b)

1

1

2

+

1

2

2

+

1

3

2

+ . . . +

1

n

2

6 2 −

1

n

dla n ∈ N;

c) (1 + x)

n

> 1 + nx dla x > −1 oraz n ∈ N (nierówność Bernoulliego).

6. Pokazać, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 8

n

+ 6 jest podzielna przez 7.

7. Zastosować wzór dwumianowy Newtona do wyrażeń: a) (2x + y)

4

;

b)

x +

1

x

3

5

.

8. W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia:

a)

a

3

+

1

a

2

15

znaleźć współczynnik stojący przy a

5

;

b)

4

√

x

5

−

3

x

3

17

znaleźć wyraz wolny (tzn. współczynnik przy x

0

).

Powyższe zadania zostały wybrane z list zadań „Algebra z geometrią analityczną” opracowanych
przez dra Mariana Gewerta i doc. Zbigniewa Skoczylasa, które w całości dostępne są na stronie:
http://prac.im.pwr.wroc.pl/˜gewert/WYNIKI/azga.pdf