Algebra z Geometrią Analityczną

11.12.2013

Lista 6. Macierze i wyznaczniki.

1. Wykonaj poniższe działania na macierzach, jeśli to możliwe. Jeśli nie, to wskaż powód dla którego działanie

nie jest wykonywalne.

a)





1 −1
3 −1
1

0





+

 1 −1

3 −1



;

b)

 1 −1

3 −1



−

 1 −1 3

3 −1 −5



;

c)





1 −1
3 −1
3 −2





−

 1 −1 3

3 −1 −5



;

d)

 1 −1 2

3 −1 4



−

 3 −2 3

2

1

−5



; e) 3





1 −1
3 −1
1

0





− 2

 1 −1 3

3 −1 2



T

;

f)





1

1

2 −2
3 −2









1

−1

3

−1

−2 3





;

g)

 1 −1

3 −1

 3 −2 3

2

1

−5



;

h)





1
3
1





 1 −1 3 ;

i)





1

1

1

2 −2

0

0

0

−1





2

.

2. Rozwiąż równanie macierzowe: a) 3

 1 −3 2

0

3

5



− X

!

= X +

 5 1 −2

2 4

3



;

b) X

2

=

 4 0

0 9



.

3. Podaj przykłady macierzy kwadratowych A, B takich, że:

a) AB 6= BA;

b) AB = 0, ale A 6= B, A 6= 0 i B 6= 0;

b) A

2

= 0, ale A 6= 0.

4. Dane są przekształcenia liniowe L : R

2

7→ R

3

oraz K : R

3

7→ R określone wzorami L(x, y) = (x, y, x + y)

oraz K(u, v, w) = u − w. Wyznacz macierz złożenia K ◦ L dwoma sposobami: z definicji oraz korzystając
z twierdzenia o postaci macierzy złożenia przekształceń. Ponadto, korzystając z postaci macierzowej tych
przekształceń, oblicz: L(1, 2), K(1, −2, −1) oraz K ◦ L(3, −1).

5. Oblicz A

n

dla:

a) A =





1

0

0

0 −2 0
0

0

3





;

b) A =





2 0 2
0 2 0
2 0 2





.

6. Korzystając z rozwinięcia Laplace’a, oblicz wyznaczniki: a)








−1 4 3
−3 1 0

2

5 −2








;

b)










2

0

0

0

3 −3 5

7

4

0

1

4

5

0

2 −2










.

7. Oblicz wyznaczniki jakąkolwiek inną metodą: a)






1

3

−3 1






;

b)








1 −1

2

3

2

−4

2

2

1








;

c)










1

4 −3

7

−2 4 2

0

5

4

1

6

2

0

0

−3










.

8. Oblicz






a b

c d






, wiedząc że: a)








a b 0

c d 0

2 1 3








= −24;

b)










0

0

a

b

0

0

c

d

4 −2 1

4

3

1

2 −2










= 30.

9. Jakie są możliwe wartości wyznacznika macierzy kwadratowej A stopnia n, jeżeli:

a) A

3

= 4A;

b) A

T

= −A

2

?

10. Oblicz det(2A), jeżeli det(3A) = 54 oraz det(4A) = 128.

11. Oblicz pole równoległoboku rozpiętego przez wektory u = (2, −4) i v = (3, 7).

12. Oblicz objętość równoległościanu rozpiętego przez wektory u = (1, 1, 0), v = (1, 0, 1) i w = (0, 1, 1).

Powyższe zadania zostały wybrane z list zadań „Algebra z geometrią analityczną” opracowanych przez dra Mariana
Gewerta i doc. Zbigniewa Skoczylasa, które w całości dostępne są na stronie:
http://prac.im.pwr.wroc.pl/˜gewert/WYNIKI/azga.pdf