Lista zada´

n nr 1.

( el. logiki i t. mnogo´

s´

ci)

Zad.1 Zbadaj czy nast¸

epuj¸

ace formu ly s¸

a tautologiami ( prawami rachunku zda´

n ):

1)

(p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p),

2)

(p ⇒ q) ⇒ (q ⇔ p),

3)

(p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p),

4) (p ⇔ q) ⇒ (q ⇒ p),

5) (p ⇒ q) ⇒ (¬p ⇒ ¬q),

6) (p ⇒ q) ⇒ (¬q ⇒ ¬p).

Zad.2 Poda´

c przyk lady:

a) implikacji prawdziwej do kt´

orej odwrotna jest prawdziwa (fa lszywa).

b) implikacji fa lszywej do kt´

orej odwrotna jest prawdziwa (fa lszywa).

Zad.3 Udowodnij, ˙ze je˙zeli zdanie p jest fa lszywe to dla ka˙zdego zdania q mamy:

a) p ∨ q r´

ownowa˙zne jest q,

b) p ∧ q r´

ownowa˙zne jest p

Zad.4 Udowodnij, ˙ze je˙zeli zdanie p jest prawdziwe to dla ka˙zdego zdania q mamy:

a) p ∨ q r´

ownowa˙zne jest p,

b) p ∧ q r´

ownowa˙zne jest q

Zad.5 Sprawd´

z czy nast¸

epuj¸

ce wyra˙zenia s¸

a tautologiami:

a) [(p ∨ q) ∧ ¬p] ⇒ q,

b) [(p ⇒ q) ∧ p] ⇔ q,

c) [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q,

d) p ⇒ [(¬p) ∨ q].

Zad.6 Przyporz¸

adkujmy warto´

sci logicznej 0 liczb¸

e 0 a warto´

sci logicznej 1 liczb¸e 1. Sprawdzi´

c

wzory:

a)

¬p = 1 − p,

b)

p ∧ q = min (p, q) = pq,

c)

p ∨ q = max (p, q) = p + q − pq,

d) p ⇒ q = 1 − p + pq,

e) p ⇔ q = 1 − |p − q|.

Zad.7 Czy prawdziwe s¸

a zdania:

a) Je˙zeli liczba a dzieli si¸

e przez 2 i przez 7, to z faktu, i˙z a nie dzieli si¸e przez 7, wynika, ˙ze a dzieli

si¸e przez 3. ( wsk. (p ∧ q) ⇒ (¬q ⇒ r) )

b) Je˙zeli Jan nie zna logiki, to, je´

sli Jan zna logik¸

e, to Jan urodzi l si¸e w IV wieku pne.

( wsk. (¬p) ⇒ (p ⇒ q) )

Zad.8 Znajd´

z zbiory A ∪ B, A ∩ B, A − B, B − A gdy:

a) A = {x ∈ R : |5x − x

2

| = 5}, B = {x ∈ Q : x

3

− x > 1},

b) A = {x ∈ R : |5x − x

2

| = 5}, B = {x ∈ R − Q : x

3

− x > 0},

c) A = {x ∈ N : x < 0}, B = {x ∈ N : x = 2 ∨ x

2

= 81},

d) A = {x ∈ R : |x + 2| = 5}, B = {−10, −7, −4, −1, 1, 4, 7, 10},
e) A = {n ∈ C : 3|n}, B = {n ∈ C : 2|n} gdzie C = {n ∈ N : n < 22}

Zad.9 Naszkicuj na p laszczy´

znie zbiory:

a) A = {(x, y) ∈ R

2

: 1 ≤ x

2

+ y

2

≤ 4},

b) B = {(x, y) ∈ R

2

: y ≥ x

2

},

c) C = {(x, y) ∈ R

2

: y ≥ x

2

∧ y ≤ 1},

d) D = {(x, y) ∈ R

2

: |x| + |y| < 1}.