Akademia Górniczo-Hutnicza
im. S. Staszica w Krakowie
Matematyka
Granice funkcji
1. Obliczanie granic funkcji f (x) przy x −→ ∞.
Symbol nieoznaczony [
∞
∞
], granica wielomianu.
lim
x−→∞
2x + 3
3x
,
lim
x−→∞
2x
2
− x + 1
x
+ 2
,
lim
x−→−∞
x − 1
x
3
− 3x
2
+ 1
,
(1)
lim
x−→∞
(2x
3
+ 10x
2
− 5),
lim
x−→
+∞
1 + 7
x
+2
3 − 7
x
.
Symbol nieoznaczony
[∞ − ∞]
.
lim
x−→
+∞
(
p
x
2
+ 2 − x),
lim
x−→
+∞
3
q
x
(x + 1)
2
−
3
q
x
(x − 1)
2
.
(2)
2. Obliczanie granic funkcji f (x) przy x −→ a.
Proste przykłady obliczania granic funkcji elementarnych.
lim
x−→
2
x − 1
x
2
+ 2
,
lim
x−→
2
(x
2
− 4),
lim
x−→
π
2
sin 2x,
lim
x−→
1
ln(1 − x + e
−x
).
(3)
Symbol nieoznaczony [
0
0
].
lim
x−→
2
x − 2
x
2
− 4
,
lim
x−→
0
1 −
√
x
+ 1
x
,
lim
x−→
0
sin 3x
2x
,
lim
x−→
0
10x
tg 4x
,
lim
x−→
0
tg x
sin x
.
(4)
Symbol nieoznaczony [0 · ∞].
lim
x−→π
sin 2x ctg x,
lim
x−→
0
x
ctg x.
(5)
Symbol nieoznaczony [1
∞
].
lim
x−→
0
(1 − 2x)
1
x
,
lim
x−→
0
(1 + x)
3
x
.
(6)
Granice jednostronne funkcji:
lim
x−→
0
1
x
3
,
lim
x−→
0
1
x
2
,
lim
x−→
2
2
1
x−2
.
(7)
Zadania
. Obliczyć granice:
lim
x−→∞
2x
2
+ 1
3 − x
2
,
lim
x−→∞
1 +
√
2x
2
− 1
x
,
lim
x−→
+∞
(x −
p
x
2
+ 5x),
lim
x−→−
2
(x
2
+ 3),
lim
x−→
2
√
x
2
− 4
2x + 1
,
lim
x−→
2
ln(x
3
+ x
2
− 2x − 7),
lim
x−→
π
4
sin x sin 2x sin 3x,
lim
x−→
3
x
2
− 6x + 9
x
2
− 9
,
lim
x−→
1
1 −
√
x
1 − x
2
,
lim
x−→
0
sin 2x
x
,
lim
x−→
0
sin 3x
sin 4x
,
lim
x−→
0
x
ctg 2x,
lim
x−→
0
(1 − 2x)
−
2
x
,
lim
x−→
3
2
x − 3
,
lim
x−→
0
2
1
x
,
lim
x−→∞
x
√
x
2
+ 1
,
lim
x−→−
2
(x
2
+ 5x + 6),
lim
x−→−
1
(x
5
− 5
x
+1
+ 3),
lim
x−→−
1
3
1
x
+1
,
lim
x−→
1
1 − x
3
1 − x
,
lim
x−→
+∞
x
(
p
x
2
+ 1 − x),
lim
x−→
0
tg 3x
4x
,
lim
x−→
0
1 −
√
1 − x
sin 4x
,
lim
x−→
1
3
1 − x
3
+
1
x − 1
,
lim
x−→
0
(1 + 3x)
1
2x
.
Literatura
:
W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach
,
rozdział V, zadania 5.19 - 5.48
.