Akademia Górniczo-Hutnicza

im. S. Staszica w Krakowie

Matematyka

Granice funkcji

1. Obliczanie granic funkcji f (x) przy x −→ ∞.

Symbol nieoznaczony [

∞

∞

], granica wielomianu.

lim

x−→∞

2x + 3

3x

,

lim

x−→∞

2x

2

− x + 1

x

+ 2

,

lim

x−→−∞

x − 1

x

3

− 3x

2

+ 1

,

(1)

lim

x−→∞

(2x

3

+ 10x

2

− 5),

lim

x−→

+∞

1 + 7

x

+2

3 − 7

x

.

Symbol nieoznaczony

[∞ − ∞]

.

lim

x−→

+∞

(

p

x

2

+ 2 − x),

lim

x−→

+∞



3

q

x

(x + 1)

2

−

3

q

x

(x − 1)

2



.

(2)

2. Obliczanie granic funkcji f (x) przy x −→ a.

Proste przykłady obliczania granic funkcji elementarnych.

lim

x−→

2

x − 1

x

2

+ 2

,

lim

x−→

2

(x

2

− 4),

lim

x−→

π

2

sin 2x,

lim

x−→

1

ln(1 − x + e

−x

).

(3)

Symbol nieoznaczony [

0
0

].

lim

x−→

2

x − 2

x

2

− 4

,

lim

x−→

0

1 −

√

x

+ 1

x

,

lim

x−→

0

sin 3x

2x

,

lim

x−→

0

10x

tg 4x

,

lim

x−→

0

tg x

sin x

.

(4)

Symbol nieoznaczony [0 · ∞].

lim

x−→π

sin 2x ctg x,

lim

x−→

0

x

ctg x.

(5)

Symbol nieoznaczony [1

∞

].

lim

x−→

0

(1 − 2x)

1

x

,

lim

x−→

0

(1 + x)

3

x

.

(6)

Granice jednostronne funkcji:

lim

x−→

0

1

x

3

,

lim

x−→

0

1

x

2

,

lim

x−→

2

2

1

x−2

.

(7)

Zadania

. Obliczyć granice:

lim

x−→∞

2x

2

+ 1

3 − x

2

,

lim

x−→∞

1 +

√

2x

2

− 1

x

,

lim

x−→

+∞

(x −

p

x

2

+ 5x),

lim

x−→−

2

(x

2

+ 3),

lim

x−→

2

√

x

2

− 4

2x + 1

,

lim

x−→

2

ln(x

3

+ x

2

− 2x − 7),

lim

x−→

π

4

sin x sin 2x sin 3x,

lim

x−→

3

x

2

− 6x + 9

x

2

− 9

,

lim

x−→

1

1 −

√

x

1 − x

2

,

lim

x−→

0

sin 2x

x

,

lim

x−→

0

sin 3x
sin 4x

,

lim

x−→

0

x

ctg 2x,

lim

x−→

0

(1 − 2x)

−

2

x

,

lim

x−→

3

2

x − 3

,

lim

x−→

0

2

1

x

,

lim

x−→∞

x

√

x

2

+ 1

,

lim

x−→−

2

(x

2

+ 5x + 6),

lim

x−→−

1

(x

5

− 5

x

+1

+ 3),

lim

x−→−

1

3

1

x

+1

,

lim

x−→

1

1 − x

3

1 − x

,

lim

x−→

+∞

x

(

p

x

2

+ 1 − x),

lim

x−→

0

tg 3x

4x

,

lim

x−→

0

1 −

√

1 − x

sin 4x

,

lim

x−→

1



3

1 − x

3

+

1

x − 1



,

lim

x−→

0

(1 + 3x)

1

2x

.

Literatura

:

W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach

,

rozdział V, zadania 5.19 - 5.48

.