GP, sem.I, studia stacjonarne I stopnia, 2011/12.
Krzywe drugiego stopnia.
1. Wyznaczyć środek i promień okregu przechodzacego przez punkty: A(1 , 2), B(3 , 4), C(5 , 3). Narysować ten okrag w układzie
,
,
,
wspólrzednych.
,
2. W prostokatnym układzie współrzednych zaznaczyć zbiór punktów, których współrzedne spełniaja równanie:
,
,
,
,
a) ( x − 1)2 + y 2 = 4 ,
b) x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 12 = 0 , c) x 2 + y 2 − 2 x − 8 y + 15 = 0 , d) xy = 2 ,
e) xy = − 1 ,
f) x 2 + 4 x − y + 7 = 0 ,
g) y 2 − 2 y − x + 3 = 0 ,
h) ( x + y)( x + y − 2) = 0 , i) x 2 − 4 y 2 = 0 ,
j) x 2 − 6 xy + 9 y 2 = 0 , k) 4( x − 1)2 + 9 y 2 = 4 ,
l) 4( x − 1)2 − 9 y 2 = 4 ,
m) 4( x − 1)2 − 9 y = 4 ,
n) 4( x − 1) − 9 y 2 = 4 ,
o) x 2 + 4 y 2 + 4 x − 24 y + 39 = 0 , p) x 2 − 2 y 2 − 2 x + 2 y = 0 , q) 9 x 2 + 25 y 2 + 18 x − 100 y − 116 = 0 , r) 2 x 2 − 4 x − y 2 − 6 y − 9 = 0 .
3. W prostokatnym układzie współrzednych zaznaczyć zbiór punktów, których współrzedne spełniaja układ nierówności:
,
,
,
,
x 2 + 4 y 2 − 4 x − 24 y + 4 6 0
x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + 3 6 0
a)
,
b)
,
y 2 − 4 y − x + 3 6 0
y 6 1 x + 1
2
xy 6 2
xy > − 3
c)
,
d)
.
2 y 2 − x 6 0
x 2 + y 2 < 10
4. Rozwiazać algebraicznie i graficznie układ równań:
,
( x − 1)2 + ( y − 2)2 = 2
y = 2 x 2 − 4 x + 3
x 2 + y 2 + 4 x + 2 y − 8 = 0
a)
,
b)
,
c)
,
y = x + 1
y + 2 x = 3
2 y + 3 x + 8 = 0
x 2 + y 2 = 5
( x − 3)2 + ( y − 3)2 = 5
y = x 2 − 4 x + 5
d)
,
e)
,
f)
,
xy = 2
x 2 + y 2 − 6 y + 1 = 0
x 2 + y 2 − 4 x − 1 = 0
xy = 4
( x + 1)2 + ( y − 2)2 = 8
x 2 + 4 x − y = 0
g)
,
h)
,
i)
.
( y − x)(4 y − x) = 0
( x + y − 1)( x − y + 3) = 0
( y − 5)( x + y + 4) = 0
5. Wyznaczyć wierzchołki, ogniska i mimośród elipsy o równaniu: y 2
( y + 5)2
a) x 2 +
= 1 ,
b) ( x − 2)2 +
= 1 .
16
16
y 2
6. Wyznaczyć obraz elipsy x 2 +
= 1 po obrocie o kąt 30 ◦. Wykonać rysunek.
16
7. Wyznaczyć wierzchołki, ogniska, mimośród i asymptoty hiperboli o równaniu: a) 4 x 2 − 9 y 2 = 36 ,
b) 4( x − 2)2 − 9( y + 5)2 = 36 .
8. Wyznaczyć obraz hiperboli 4 x 2 − 9 y 2 = 36 po obrocie o kąt 45 ◦. Wykonać rysunek.
9. Wyznaczyć wierzchołek, ognisko i kierownicę paraboli o równaniu: a) y 2 = 10 x,
b) ( y − 1)2 = − 6( x + 2) .
10. Wyznaczyć obraz paraboli y 2 = 10 x po obrocie o kąt 60 ◦. Wykonać rysunek.