Matematyka-ćwiczenia nr 1 05.03.2011

Ciągłość funkcji

Zadanie 1

Zbadaj ciągłość funkcji $f\left( x \right) = \frac{5x - 3}{x + 1}$ w punkcie x=-1.

Zadanie 2.

Czy funkcja $f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} x + 1\ \ \ \ \ \ \ \ dla\ x < 0 \\ x^{2} + 1\ \ \ \ \ dla\ x \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ $ jest ciągła w punkcie x=0?

Zadanie 3.

Zbadaj ciągłość funkcji $f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} 2x - 3\ \ \ \ \ dla\ x < 2 \\ x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla\ x \geq 2 \\ \end{matrix} \right.\ $ w punkcie x=2.

Zadanie 4.

Zbadaj ciągłość funkcji $f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} \frac{x^{2} - 2x}{2x - 4}\ \ \ \ \ dla\ x \neq 2 \\ 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla\ x = 2 \\ \end{matrix} \right.\ $ w punkcie x=2.

Zadanie 5. Czy funkcja $f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} 2^{x}\ \ \ \ \ \ \ \ dla\ x \geq 0 \\ x + 1\ \ \ \ dla\ x < 0 \\ \end{matrix} \right.\ $ jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych?

Zadanie 6. Dana jest funkcja $f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla\ x < 0 \\ \sqrt{x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla\ 0 \leq x \leq 1 \\ x - 1\ \ \ \ \ dla\ x > 1 \\ \end{matrix} \right.\ $. Czy funkcja jest ciągła w punktach x=0 i x=1? Czy jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych? Narysuj wykres tej funkcji.

Pochodna funkcji

Zadanie 1. Oblicz pochodne pierwszego rzędu następujących funkcji :

1. y = −2x² + 3x + +1

2. y = 2x⁴ + 3x³ − x² + 4x − 1

3. $y = 9x^{2} - \sqrt[3]{x} - \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x^{2}} + 4$

4. $y = 15t^{- 4} + 4t^{0,75} - \frac{2}{\sqrt[4]{t}} - \frac{1}{t}$

5. y = 3sinx + cosx − x

6. y = tgx − x