Stany graniczne
Stany graniczne
Wewn
ę
trzny stan bryły
Bryła (konstrukcja) jest w równowadze, jeżeli oddziaływania
zewnętrzne i reakcje się równoważą.
P
P
q
α
P
P
α
Jednak drugim warunkiem
równowagi jest
przeniesienie przez materiał
bryły naprężeń, które
występują w bryle z
powodu zewnętrznych sił.
Wewn
ę
trzny stan bryły
W każdym przekroju bryły mamy ciągłe wzajemne oddziaływania,
które nazywane są naprężeniami.
Siły wewnętrzne są
wypadkowymi z naprężeń.
P
P
q
q
Przekroje z siłami
wypadkowymi z naprężeń
P
P
M
W
W
M
P
P
P
q
q
M
W.
N
T
z
T
y
M
x
M
y
M
z
Przekroje z naprężeniami
Przekroje ze
składowymi sił
wypadkowych czyli
siłami wewnętrznymi
Naprężenia
σ
w przekroju zależą od odkształceń
ε
, będących
wynikiem oddziaływań zewnętrznych. Kształt wykresu,
opisującego tą zależność, decyduje m.in. o klasyfikacji
materiałów.
Modele materiału
Materiał z wyraźną
granicą plastyczności
Materiał bez
granicy plastyczności
Materiał kruchy
Przykład – stal
niskowęglowa
Przykład – stal
konstrukcyjna stopowa
Przykład – żeliwo,
beton
W obliczeniach wykorzystuje się uproszczone modele
materiałów
Modele materiału
σ
σ
σ
σ
σ
pl
ε
Materiał
idealnie sprężysty
ε
Materiał idealnie
sprężysto-plastyczny
ε
Materiał idealnie
sztywno plastyczny
ε
Materiał
ze wzmocnieniem
Wewn
ę
trzny stan w przekroju
belki
Stan użytkowania konstrukcji – stan, w którym mamy
pewien stan sił wewnętrznych, które są efektem naprężeń
dopuszczalnych w danym materiale.
z
Przekrój belki
y
Przykład belki z zestawem sił wewnętrznych
g=0.06m
z
A=gh=72·10
-4
m
2
– pole przekroju
J
z
=gh
3
/12=864·10
-8
m
4
– moment bezwładności
względem osi z
W
z
=J
z
/(h/2)=144·10
-6
m
3
– wskaźnik
wytrzymałości przy zginaniu względem osi z
S
z
=gh/2·h/4=108·10
-6
m
3
– moment statyczny
fragmentu przekroju powyżej osi z
i względem osi z
σ
pl
=50000kPa
Stan użytkowania konstrukcji – stan, w którym mamy
pewien stan sił wewnętrznych, które są efektem naprężeń
dopuszczalnych w danym materiale.
J
My
−
=
σ
α
Naprężenia w
α−α
Wewn
ę
trzny stan w przekroju
belki
z
J
−
=
σ
M
max
=0.5qb(a+0.75b)
α
gdzie: M=0.5qb(a+0.75b)=5kNm,
q=0.5kN/m, a=2m, b=4m,
J
z
=864·10
-8
m
4
, y=h/2=0.06m
z
y
kPa
35722
m
10
864
0.06m
kNm
5
4
8
-
−
=
=
⋅
⋅
−
=
−
=
z
J
My
σ
dop
4
8
-
kPa
35722
m
10
864
0.06m
kNm
5
σ
σ
<
=
=
⋅
⋅
=
−
=
z
J
My
σ
pl
=50000kPa
pl
σ
σ
<
−
=
kPa
35722
Jeżeli na konstrukcję działa obciążenie takie, że w najbardziej
wytężonym przekroju zostaje osiągnięta granica sprężystości
czyli w przekroju mamy naprężenia równe
σ
pl
, to mówimy, że
został osiągnięty sprężysty graniczny stan nośności.
Spr
ęż
ysty stan graniczny
no
ś
no
ś
ci,
σ
ε
Materiał idealnie
sprężysto-plastyczny
σ
σ
pl
z
y
kPa
50000
=
pl
σ
kPa
50000
−
=
pl
σ
Dla obciążeń od 0 do obciążenia, przy którym nastąpi
osiągnięcie sprężystego stanu granicznego, naprężenia są wprost
proporcjonalne do obciążeń.
Wyznaczenie wartości q, przy której zostanie osiągnięty
sprężysty stan graniczny.
z
J
My
−
=
σ
α
Naprężenia w
α−α
Spr
ęż
ysty stan graniczny
no
ś
no
ś
ci
Naprężenia w skrajnych włóknach:
My
M
max
=0.5qb(a+0.75b)
α
-górnych
-dolnych
z
y
z
J
My
1
−
=
σ
z
J
My
2
−
=
σ
Naprężenia maksymalne
z
W
M
=
σ
gdzie:
1
y
J
W
z
z
=
2
y
J
W
z
z
=
dla
|
y
1
|
>
|
y
2
|
dla
|
y
2
|
>
|
y
1
|
Wyznaczenie wartości q, przy której zostanie osiągnięty
sprężysty stan graniczny.
α
Spr
ęż
ysty stan graniczny
no
ś
no
ś
ci
Naprężenia maksymalne
pl
z
W
M
σ
σ
=
=
gdzie:
M=0.5b(a+0.75b)q=10m
2
q, a=2m,
b=4m, y=h/2=0.06m,
J =gh
3
/12=864·10
-8
m
4
– moment bezwładności
M
max
=0.5qb(a+0.75b)
α
J
z
=gh
3
/12=864·10
-8
m
4
– moment bezwładności
względem osi z;
W
z
=J
z
/(h/2)=144·10
-6
m
3
– wskaźnik
wytrzymałości przy zginaniu względem osi z
z
y
pl
σ
σ
=
=
kPa
50000
pl
σ
σ
−
=
−
=
kPa
50000
3
6
2
m
10
144
m
10
kPa
50000
−
⋅
=
q
q=0.72kN/m
Wzrost obci
ąż
enia
Wzrost
obciążenia
może
spowodować
przekroczenie
naprężeń w części przekroju.
z
J
My
−
=
σ
α
Naprężenia w
α−α
gdzie: M=0.5qb(a+0.75b), a=2m,
σ
=50000kPa
gdzie: M=0.5qb(a+0.75b), a=2m,
b=4m, J
z
=864·10
-8
m
4
, y=h/2=0.06m
z
y
kPa
35722
−
=
σ
dop
kPa
35722
σ
σ
<
=
σ
dop
=50000kPa
M=5kNm
q=0.5kN/m
M=9.2kNm
q=0.92kN/m
kPa
63889
−
=
σ
kPa
63889
=
σ
Rozkład naprężeń bez uwzględnienia
przekroczenia naprężeń dopuszczalnych
kPa
50000
−
=
σ
kPa
50000
=
σ
Rozkład naprężeń rzeczywisty
czyli po uwzględnieniu
przekroczenia naprężeń
dopuszczalnych i
uplastycznieniu części
przekroju
M=9.2kNm, q=0.92kN/m
c=0.02m
c
Wzrost obci
ąż
enia
Wzrost
obciążenia
może
spowodować
przekroczenie
naprężeń w części przekroju.
z
J
My
=
σ
α
Naprężenia w
α−α
gdzie: M=0.5qb(a+0.75b)=10m
2
q, a=2m,
gdzie: M=0.5qb(a+0.75b)=10m
2
q, a=2m,
b=4m, J
z
=864·10
-8
m
4
, y=h/2=0.06m
z
y
σ
pl
=50000kPa
kPa
50000
−
=
σ
kPa
50000
=
σ
A
Moment wyznaczony jako moment od
obciążenia ciągłego względem punktu A:
−
−
⋅
+
−
⋅
=
=
∫
c
h
c
h
c
h
c
g
ydA
M
pl
pl
A
2
3
2
2
5
.
0
2
2
2
σ
σ
σ
kNm
2
.
9
02
.
0
2
12
.
0
3
2
5
.
0
2
02
.
0
2
12
.
0
02
.
0
0.06m
kPa
50000
2
2
=
=
−
⋅
+
−
⋅
⋅
=
m
m
m
m
m
M
c=0.02m
c
q=0.92kN/m
Wzrost obci
ąż
enia
Dalszy wzrost obciążenia doprowadza do osiągnięcia
uplastycznienia w całym przekroju czyli osiągnięcia stanu, po
którym kolejnym etapem jest utrata nośności przekroju. Taki stan
graniczny nosi nazwę plastycznego stanu granicznego nośności.
z
y
kPa
35722
−
=
σ
dop
kPa
35722
σ
σ
<
=
σ
pl
=50000kPa
q=0.5kN/m
Rozkład naprężeń przed
przekroczeniem naprężeń
dopuszczalnych
q=0.92kN/m
kPa
50000
−
=
σ
kPa
50000
=
σ
q=1.08kN/m
kPa
50000
−
=
σ
kPa
50000
=
σ
4
/
)
2
/
(
2
,
h
gh
M
dop
o
A
σ
=
Moment przeniesiony w
stanie granicznym:
g
h
A
Wzrost obci
ąż
enia
Dalszy wzrost obciążenia doprowadza do osiągnięcia uplastycznienia w całym
przekroju czyli osiągnięcia stanu, po którym kolejnym etapem jest utrata nośności
przekroju. Taki stan graniczny nosi nazwę stanu granicznego nośności.
σ
pl
=50000kPa
Moment przeniesiony w stanie granicznym,
wyznaczony jako moment od obciążenia
q=???
kPa
50000
−
=
σ
kPa
50000
=
σ
4
/
)
2
/
(
2
,
h
gh
M
ydA
M
dop
gr
A
A
gr
σ
σ
=
=
=
∫
wyznaczony jako moment od obciążenia
ciągłego względem punktu A:
z
y
g
h
A
kPa
8
.
10
4
/
m
12
.
0
kPa
50000
)
2
/
m
12
.
0
m
06
.
0
(
2
=
=
⋅
⋅
⋅
=
o
M
Ponieważ M=0.5qb(a+0.75b), a=2m, b=4m,
to q
max
=M
A,o
/[0.5b(a+0.75b)]=
=10.8kPa/(0.5·4m (2m+0.75·4m))=1.08kNm
Jeżeli przyjmujemy za wyjściowe obciążenie q=0.5kN/m, to mnożnik
obciążenia granicznego wynosi
µµµµ
G
=q
max
/q=1.08/0.5=2.16
Przegub plastyczny
Dalszy wzrost obciążenia doprowadza do osiągnięcia uplastycznienia w
całym przekroju. Taki stan graniczny nosi nazwę stanu granicznego nośności. W
przekroju, w którym nastąpiło uplastycznienie całego przekroju powstaje przegub
plastyczny.
kPa
50000
−
=
σ
h
A
kPa
50000
=
σ
z
g
h
A
Przegub plastyczny
Różnica pomiędzy zwykłym przegubem a przegubem plastycznym:
•
zwykły przegub jest to połączenie, które pozwala na obrót i w ogóle nie stawia
oporu przy obrocie;
•
przegub plastyczny nie pozwala na obrót przy obciążeniu mniejszym niż to
powodujące uplastycznienie przegubu, natomiast przy większym obciążeniu
przenosi moment graniczny M
gr
i pozwala na obrót przekroju.
Przegub plastyczny
Różnica pomiędzy zwykłym przegubem a przegubem plastycznym:
•
zwykły przegub jest to połączenie, które pozwala na obrót i w ogóle nie stawia
oporu przy obrocie;
•
przegub plastyczny nie pozwala na obrót przy obciążeniu mniejszym niż to
powodujące uplastycznienie przegubu, natomiast przy większym obciążeniu
przenosi moment graniczny M i pozwala na obrót przekroju.
kPa
50000
−
=
σ
kPa
50000
=
σ
z
g
h
A
Przegub plastyczny
przenosi moment graniczny M
gr
i pozwala na obrót przekroju.
W układach statycznie wyznaczalnych wzrost obciążenia powyżej tego, który
spowodował uplastycznienie przegubu oznacza utratę nośności, a w układach
statycznie niewyznaczalnych oznacza zmianę rozkładu momentu zginającego
(dystrybucja momentów zginających).
Przegub plastyczny w układzie
statycznie niewyznaczalnym
q
µ
przegub zwykły
W układach statycznie wyznaczalnych wzrost obciążenia powyżej tego, który
spowodował uplastycznienie przegubu oznacza utratę nośności, a w układach
statycznie niewyznaczalnych oznacza zmianę rozkładu momentu zginającego
(dystrybucja momentów zginających).
q
µ
M
gr
przegub zwykły
przegub zwykły
przegub plastyczny
Przegub plastyczny w układzie
statycznie niewyznaczalnym
12ql
µ
q
µ
W układach statycznie wyznaczalnych wzrost obciążenia powyżej tego, który
spowodował uplastycznienie przegubu oznacza utratę nośności, a w układach
statycznie niewyznaczalnych oznacza zmianę rozkładu momentu zginającego
(dystrybucja momentów zginających).
12ql
µ
q
µ
M
gr
M
gr
M
gr
M
gr
Plastyczny wska
ź
nik
wytrzymało
ś
ci przy zginaniu
Moment graniczny można wyznaczyć ze wzoru
pl
σ
y
(
)
1
2
1
2
S
S
S
dA
y
ydA
M
pl
pl
A
pl
A
gr
σ
σ
σ
σ
=
+
=
=
=
∫
∫
gr
gr
pl
W
M
S
M
2
=
=
σ
S
1
– moment statyczny przekroju powyżej osi z względem osi z
S
2
– moment statyczny przekroju poniżej osi z względem osi z
pl
pl
σ
z
g
h
A
2
1
S
S
=
z
pl
pl
W
S
,
1
2
=
=
σ
gdzie plastyczny wskaźnik przekroju
przy zginaniu wynosi:
1
,
2S
W
z
pl
=
Plastyczny wska
ź
nik wytrzymało
ś
ci
przy zginaniu - prostok
ą
t
z
y
h/4
4
4
/
)
2
/
(
2
4
/
2
2
2
1
1
,
gh
h
gh
h
A
S
W
z
pl
=
=
=
=
Wskaźnik plastyczny prostokąta:
h/2
h
Wskaźnik sprężysty prostokąta:
3
gh
g
c
Ay
S
=
- moment statyczny figury płaskiej można liczyć jako iloczyn pola i
odległości środka ciężkości od osi, względem której liczony jest
moment statyczny.
Współczynnik kształtu k – iloraz plastycznego wskaźnika wytrzymałości przy
zginaniu do sprężystego wskaźnika wytrzymałości. Współczynnik kształtu jest
zawsze większy niż 1.
6
2
/
12
2
1
gh
h
gh
y
J
W
z
z
=
=
=
5
.
1
6
4
2
2
=
=
=
gh
gh
W
W
k
pl
Badanie zmian w belce pod
wpływem wzrastaj
ą
cego obci
ąż
enia
Przykładowa belka z obciążeniem statycznym
10kN
2.0kN/m
2m
3m
6m
4m
2m
3m
6m
4m
g=0.06m
z
Przekrój belki
y
ε
σ
α
Moduł Younga
E=tg(
α)
Wykres
σ
-
ε
dla materiału
idealnie sprężysto-plastycznego
W=J
z
/(h/2)=gh
2
/6=144·10
-6
m
3
–
wskaźnik wytrzymałości przy
zginaniu względem osi z
W
pl
=2(gh/2)(h/4)=gh
2
/4=216·10
-6
m
3
– plastyczny wskaźnik
wytrzymałości przy zginaniu
względem osi z
σ
dop
=σ
pl
=50000kPa
E=2·10
8
kPa
σ
pl
Wykresy sił wewn
ę
trznych w
zakresie spr
ęż
ystym
10kN
2.0kN/m
2m
3m
6m
4m
6.47
A
B
C
D
V
B
=10.44kN
V =6.03kN
M
A
=-6.45kNm
+
+
-
-
T [kN]
M
[kNm]
6.45
5.61
6.30
3.51
4.09
6.03
3.97
6.47
5.53
0.88
V
D
=-0.88kN
V
C
=6.41kN
V
B
=10.44kN
V
A
=6.03kN
Maksymalne napr
ęż
enia normalne
dla danego obci
ąż
enia
10kN
2.0kN/m
2m
3m
6m
4m
6.47
A
B
C
D
V
B
=10.44kN
V =6.03kN
M
A
=-6.45kNm
M
[kNm]
6.45
5.61
6.30
3.51
4.09
6.47
V
D
=-0.88kN
V
C
=6.41kN
V
B
=10.44kN
V
A
=6.03kN
kPa
44792
kN/m
44792
m
10
144
kNm
45
.
6
2
3
6
=
=
⋅
=
=
−
W
M
σ
Największy moment zginający jest w punkcie A
ε
α
σ
pl
W=144·10
-6
m
3
σ
pl
=50000kPa
Maksymalne napr
ęż
enia normalne
dla danego obci
ąż
enia
10kN
2.0kN/m
2m
3m
6m
4m
6.47
A
B
C
D
V
D
=-0.88kN
V
C
=6.41kN
V
B
=10.44kN
V
A
=6.03kN
M
A
=-6.45kNm
M
[kNm]
6.45
5.61
6.30
3.51
4.09
6.47
V
D
=-0.88kN
V
C
=6.41kN
kPa
44792
=
σ
Rozkład naprężeń w przekroju w p. A
z
y
pl
kPa
44792
σ
σ
<
=
kPa
44792
−
=
σ
g
h
Dystrybucja momentów zginaj
ą
cych
µ
10kN
µ
2.0kN/m
2m
3m
6m
4m
6.47
A
B
C
D
V
D
=-
µ
0.88kN
V
C
=
µ
6.41k
V
B
=
µ
10.44k
N
V
A
=
µ
6.03kN
M
A
=-
µ
6.45kNm
M
[kNm]
7.20
6.26
7.03
3.92
4.56
6.47
V
D
=-
µ
0.88kN
V
C
=
µ
6.41k
N
N
Proporcjonalne zwiększenie obciążenia, dla
którego mnożnik obciążenia wynosi
µµµµ
=1.116. Przy
µµµµ
=1.116 osiągamy sprężysty stan graniczny.
pl
kPa
50000
σ
σ
=
=
kPa
50000
−
=
σ
Rozkład
naprężeń w p.A
Dystrybucja momentów zginaj
ą
cych
µ
10kN
µ
2.0kN/m
2m
3m
6m
4m
6.47
A
B
C
D
V
D
=-
µ
0.88kN
V
C
=
µ
6.41k
V
B
=
µ
10.44k
N
V
A
=
µ
6.03kN
M
A
=-
µ
6.45kNm
M
[kNm]
10.8
9.39
10.55
5.88
6.84
6.47
V
D
=-
µ
0.88kN
V
C
=
µ
6.41k
N
N
M
gr
zostanie uzyskane przy mnożniku obciążenia
µµµµ
=1.674
pl
kPa
50000
σ
σ
=
=
Rozkład
naprężeń w p.A
10.8kNm
kPa
50000
m
216·10
3
-6
,
=
⋅
=
=
pl
z
pl
gr
W
M
σ
kPa
50000
−
=
σ
Dystrybucja momentów zginaj
ą
cych
µ
10kN
µ
2.0kN/m
2m
3m
6m
4m
6.47
A
B
C
D
V
D
=-1.47kN
V
C
=
10
.73kN
V
B
=17.48kN
V
A
=
10
.09kN
M
gr
=
-
10.8
kNm
µµµµ
=1.674
10.8kNm
=
gr
M
K
L
M
[kNm]
10.8
9.39
10.55
5.88
6.84
6.47
V
D
=-1.47kN
V
C
=
10
.73kN
kPa
47500
−
=
σ
kPa
47500
=
σ
pl
kPa
50000
σ
σ
=
=
Punkt A
kPa
50000
−
=
σ
Punkt L
c=0.022m
Punkt K
kPa
50000
−
=
σ
kPa
50000
=
σ
c=0.044m
kPa
50000
−
=
σ
kPa
50000
=
σ
Punkt B
Dystrybucja momentów zginaj
ą
cych
µ
10kN
µ
2.0kN/m
2m
3m
6m
4m
6.47
A
B
C
D
V
D
=-1.47kN
V
C
=
10
.73kN
V
B
=17.48kN
V
A
=
10
.09kN
M
gr
=
-
10.8
kNm
µµµµ
=1.674
10.8kNm
=
gr
M
K
L
µµµµ
=1.674
⋅⋅⋅⋅
1.019=1.706
Kolejnym punktem, gdzie zostanie osiągnięty moment graniczny jest punkt B.
Moment zginający wynosi M=10.55kNm. W celu uzyskania wartości granicznej
M
gr
=10.8kNm trzeba zwiększyć obciążenie z mnożnikiem 1.019 (siła skupiona w p. K
i obciążenie ciągłe). Współczynnik obciążenia wynosi:
M
[kNm]
10.8
9.39
10.55
5.88
6.84
6.47
V
D
=-1.47kN
V
C
=
10
.73kN
Dystrybucja momentów zginaj
ą
cych
µ
10kN
µ
2.0kN/m
2m
3m
6m
4m
6.47
A
B
C
D
V
D
=-1.49kN
V
C
=
10
.92kN
V
B
=17.86kN
V
A
=
10
.24kN
M
gr
=
-
10.8
kNm
10.8kNm
=
gr
M
K
L
µµµµ
=1.674
⋅⋅⋅⋅
1.019=1.706
-M
gr
-M
gr
M
[kNm]
10.8
9.67
10.8
5.97
6.97
6.47
V
D
=-1.49kN
V
C
=
10
.92kN
kPa
48403
−
=
σ
kPa
48403
=
σ
pl
kPa
50000
σ
σ
=
=
Punkt A
kPa
50000
−
=
σ
Punkt L
c=0.026m
Punkt K
kPa
50000
−
=
σ
kPa
50000
=
σ
kPa
50000
−
=
σ
kPa
50000
=
σ
Punkt B
Dystrybucja momentów zginaj
ą
cych
µ
10kN
µ
2.0kN/m
2m
3m
6m
4m
6.47
A
B
C
D
V
D
=-1.49kN
V
C
=
10
.92kN
V
B
=17.86kN
V
A
=
10
.24kN
M
gr
=
-
10.8
kNm
10.8kNm
=
gr
M
K
L
µµµµ
=1.706
-M
gr
-M
gr
M
[kNm]
10.8
9.67
10.8
5.97
6.97
6.47
V
D
=-1.49kN
V
C
=
10
.92kN
µµµµ
=1.706
⋅⋅⋅⋅
1.055=1.8
Kolejnym punktem, gdzie zostanie osiągnięty moment graniczny jest punkt K.
Moment zginający wynosi M=9.67kNm. W celu uzyskania wartości granicznej
M
gr
=10.8kNm trzeba zwiększyć obciążenie z mnożnikiem 1.055 (siła skupiona w p. K
i obciążenie ciągłe). Współczynnik obciążenia wynosi:
Dystrybucja momentów zginaj
ą
cych
µ
10kN
µ
2.0kN/m
2m
3m
6m
4m
6.47
A
B
C
D
V
D
=-1.62kN
V
C
=
11
.42kN
V
B
=18.55kN
V
A
=
10
.8kN
M
gr
=
-
10.8
kNm
10.8kNm
=
gr
M
K
L
µµµµ
=1.706
⋅⋅⋅⋅
1.055=1. 8
-M
gr
-M
gr
M
gr
M
gr
M
[kNm]
10.8
10.8
10.8
6.48
7.56
6.47
V
D
=-1.62kN
V
C
=
11
.42kN
pl
kPa
50000
σ
σ
=
=
Punkt A
kPa
50000
−
=
σ
Punkt C
c=0.003m
Punkt K
kPa
50000
−
=
σ
kPa
50000
=
σ
kPa
50000
−
=
σ
kPa
50000
=
σ
Punkt B
Punkt L
pl
kPa
50000
σ
σ
=
=
kPa
50000
−
=
σ
pl
kPa
43750
σ
σ
=
=
kPa
43750
−
=
σ
Dystrybucja momentów zginaj
ą
cych
µ
10kN
µ
2.0kN/m
2m
3m
6m
4m
6.47
A
B
C
D
V
D
=-1.62kN
V
C
=
11
.7kN
V
B
=18.76kN
V
A
=
10
.8kN
M
gr
=
-
10.8
kNm
10.8kNm
=
gr
M
K
L
µµµµ
=1. 8
-M
gr
-M
gr
M
gr
M
gr
M
[kNm]
10.8
10.8
10.8
6.48
7.56
6.47
V
D
=-1.62kN
Układ jest trzykrotnie statycznie niewyznaczalny czyli układ na rysunku po wstawieniu trzech
przegubów stałby się statycznie wyznaczalny, gdyby nie fakt, że akurat taki układ przegubów powoduje,
ż
e po lewej stronie podpory B mam już mechanizm (układ jest geometrycznie zmienny), a po lewej układ
jest przesztywniony. A więc w ten sposób osiągnięty został plastyczny stan graniczny a
µµµµ
=1. 8=
µµµµ
G
i jest graniczny mnożnik obciążenia.
Przegub, który byłby wprowadzony jako kolejny,
gdyby nie uzyskanie geometrycznej zmienności
pomiędzy punktami A i B.
Graniczny mno
ż
nik obci
ąż
enia
µ
10kN
µ
2.0kN/m
2m
3m
6m
4m
A
B
C
D
M
gr
=
-
10.8
kNm
10.8kNm
=
gr
M
K
L
-M
gr
-M
gr
M
gr
M
gr
M
gr
V
D
=-1.62kN
V
C
=
11
.7kN
V
B
=18.76kN
V
A
=
10
.8kN
Graniczny mnożnik obciążenia:
µµµµ
G
=1.8
Graniczny mnożnik obciążenia spełnia warunek:
µµµµ
s
<µ
<µ
<µ
<µ
G
<
µµµµ
k
µµµµ
s
– statyczny mnożnik obciążenia granicznego wyznacza się, przy założenia, że w konstrukcji
powstają pełne (zwykłe) przeguby i na podstawie analizy rozkładu momentów zginających,
które nie mogą być większe w układzie niż M
gr
µµµµ
k
– kinematyczny mnożnik obciążenia granicznego wyznacza się, przy założeniu, że w
konstrukcji powstają przeguby plastyczne, które pozwalają na obrót gdy M=M
gr
, ale jednak jest
tam wykonywana praca wewnętrznych. Do wyznaczenia
µµµµ
k
wykorzystuje się zasadę prac
wirtualnych
L
z
=-L
w
V
D
=-1.62kN
V
C
=
11
.7kN
Graniczny mno
ż
nik obci
ąż
enia
µ
10kN
µ
2.0kN/m
2m
3m
6m
4m
A
B
C
D
M
gr
=
-
10.8
kNm
10.8kNm
=
gr
M
K
L
-M
gr
-M
gr
M
gr
M
gr
M
gr
V
D
=-1.62kN
V
C
=
11
.7kN
V
B
=18.76kN
V
A
=
10
.8kN
Graniczny mnożnik obciążenia:
µµµµ
G
=1.8
Graniczny mnożnik obciążenia spełnia warunek:
µµµµ
s
<µ
<µ
<µ
<µ
G
<
µµµµ
k
µµµµ
s
– statyczny mnożnik obciążenia granicznego wyznacza się, przy założenia, że w konstrukcji
powstają pełne (zwykłe) przeguby i na podstawie analizy rozkładu momentów zginających,
które nie mogą być większe w układzie niż M
gr
µµµµ
k
– kinematyczny mnożnik obciążenia granicznego wyznacza się, przy założeniu, że w
konstrukcji powstają przeguby plastyczne, które pozwalają na obrót gdy M=M
gr
, ale jednak jest
tam wykonywana praca wewnętrznych. Do wyznaczenia
µµµµ
k
wykorzystuje się zasadę prac
wirtualnych
L
z
=-L
w
V
D
=-1.62kN
V
C
=
11
.7kN
∑
⋅
k
k
k
u
P
∑
=
i
i
gr
M
θ
Graniczny mno
ż
nik obci
ąż
enia
Twierdzenie statyczne
Jeżeli dla danego obciążenia może być znalezione pole momentów, spełniających
warunki równowagi i nie przekraczających wartości M
0
, to konstrukcja nie ulegnie pod
tym obciążeniem zniszczeniu, lecz co najwyżej osiągnie stan granicznej nośności.
Wniosek:
Każdy statyczny mnożnik obciążenia µ
s
jest mniejszy lub co najwyżej równy
Każdy statyczny mnożnik obciążenia µ
s
jest mniejszy lub co najwyżej równy
rzeczywistemu mnożnikowi granicznemu µ
G
. Oszacowanie następuje od dołu (zbliżamy
się do maksimum).
Twierdzenie kinematyczne
Konstrukcja idealnie plastyczna ulegnie zniszczeniu pod wpływem danego obciążenia
jeśli można znaleźć taki mechanizm, dla którego praca obciążeń zewnętrznych będzie
większa niż praca jaką mogą wykonać siły wewnętrzne.
Wniosek:
Każdy kinematyczny mnożnik obciążenia µ
k
jest mniejszy lub co najwyżej równy
rzeczywistemu mnożnikowi granicznemu µ
G
. Oszacowanie następuje od góry (zbliżamy
się do minimum).
Koniec