Stany graniczne

Wewn

ę

trzny stan bryły

Bryła (konstrukcja) jest w równowadze, jeżeli oddziaływania
zewnętrzne i reakcje się równoważą.

P

P

q

α

P

P

α

Jednak drugim warunkiem
równowagi jest
przeniesienie przez materiał
bryły naprężeń, które
występują w bryle z
powodu zewnętrznych sił.

Wewn

ę

trzny stan bryły

W każdym przekroju bryły mamy ciągłe wzajemne oddziaływania,
które nazywane są naprężeniami.
Siły wewnętrzne są
wypadkowymi z naprężeń.

P

P

q

q

Przekroje z siłami
wypadkowymi z naprężeń

P

P

M

W

W

M

P

P

P

q

q

M

W.

N

T

z

T

y

M

x

M

y

M

z

Przekroje z naprężeniami

Przekroje ze
składowymi sił
wypadkowych czyli
siłami wewnętrznymi

Naprężenia

σ

w przekroju zależą od odkształceń

ε

, będących

wynikiem oddziaływań zewnętrznych. Kształt wykresu,
opisującego tą zależność, decyduje m.in. o klasyfikacji
materiałów.

Modele materiału

Materiał z wyraźną
granicą plastyczności

Materiał bez
granicy plastyczności

Materiał kruchy

Przykład – stal
niskowęglowa

Przykład – stal
konstrukcyjna stopowa

Przykład – żeliwo,
beton

W obliczeniach wykorzystuje się uproszczone modele
materiałów

Modele materiału

σ

σ

σ

σ

σ

pl

ε

Materiał
idealnie sprężysty

ε

Materiał idealnie
sprężysto-plastyczny

ε

Materiał idealnie
sztywno plastyczny

ε

Materiał
ze wzmocnieniem

Wewn

ę

trzny stan w przekroju

belki

Stan użytkowania konstrukcji – stan, w którym mamy
pewien stan sił wewnętrznych, które są efektem naprężeń
dopuszczalnych w danym materiale.

z

Przekrój belki

y

Przykład belki z zestawem sił wewnętrznych

g=0.06m

z

A=gh=72·10

-4

m

2

– pole przekroju

J

z

=gh

3

/12=864·10

-8

m

4

– moment bezwładności

względem osi z
W

z

=J

z

/(h/2)=144·10

-6

m

3

– wskaźnik

wytrzymałości przy zginaniu względem osi z
S

z

=gh/2·h/4=108·10

-6

m

3

– moment statyczny

fragmentu przekroju powyżej osi z
i względem osi z

σ

pl

=50000kPa

Stan użytkowania konstrukcji – stan, w którym mamy
pewien stan sił wewnętrznych, które są efektem naprężeń
dopuszczalnych w danym materiale.

J

My

−

=

σ

α

Naprężenia w

α−α

Wewn

ę

trzny stan w przekroju

belki

z

J

−

=

σ

M

max

=0.5qb(a+0.75b)

α

gdzie: M=0.5qb(a+0.75b)=5kNm,

q=0.5kN/m, a=2m, b=4m,

J

z

=864·10

-8

m

4

, y=h/2=0.06m

z

y

kPa

35722

m

10

864

0.06m

kNm

5

4

8

-

−

=

=

⋅

⋅

−

=

−

=

z

J

My

σ

dop

4

8

-

kPa

35722

m

10

864

0.06m

kNm

5

σ

σ

<

=

=

⋅

⋅

=

−

=

z

J

My

σ

pl

=50000kPa

pl

σ

σ

<

−

=

kPa

35722

Jeżeli na konstrukcję działa obciążenie takie, że w najbardziej
wytężonym przekroju zostaje osiągnięta granica sprężystości
czyli w przekroju mamy naprężenia równe

σ

pl

, to mówimy, że

został osiągnięty sprężysty graniczny stan nośności.

Spr

ęż

ysty stan graniczny

no

ś

no

ś

ci,

σ

ε

Materiał idealnie
sprężysto-plastyczny

σ

σ

pl

z

y

kPa

50000

=

pl

σ

kPa

50000

−

=

pl

σ

Dla obciążeń od 0 do obciążenia, przy którym nastąpi
osiągnięcie sprężystego stanu granicznego, naprężenia są wprost
proporcjonalne do obciążeń.

Wyznaczenie wartości q, przy której zostanie osiągnięty
sprężysty stan graniczny.

z

J

My

−

=

σ

α

Naprężenia w

α−α

Spr

ęż

ysty stan graniczny

no

ś

no

ś

ci

Naprężenia w skrajnych włóknach:

My

M

max

=0.5qb(a+0.75b)

α

-górnych

-dolnych

z

y

z

J

My

1

−

=

σ

z

J

My

2

−

=

σ

Naprężenia maksymalne

z

W

M

=

σ

gdzie:

1

y

J

W

z

z

=

2

y

J

W

z

z

=

dla

|

y

1

|

>

|

y

2

|

dla

|

y

2

|

>

|

y

1

|

Wyznaczenie wartości q, przy której zostanie osiągnięty
sprężysty stan graniczny.

α

Spr

ęż

ysty stan graniczny

no

ś

no

ś

ci

Naprężenia maksymalne

pl

z

W

M

σ

σ

=

=

gdzie:

M=0.5b(a+0.75b)q=10m

2

q, a=2m,

b=4m, y=h/2=0.06m,
J =gh

3

/12=864·10

-8

m

4

– moment bezwładności

M

max

=0.5qb(a+0.75b)

α

J

z

=gh

3

/12=864·10

-8

m

4

– moment bezwładności

względem osi z;
W

z

=J

z

/(h/2)=144·10

-6

m

3

– wskaźnik

wytrzymałości przy zginaniu względem osi z

z

y

pl

σ

σ

=

=

kPa

50000

pl

σ

σ

−

=

−

=

kPa

50000

3

6

2

m

10

144

m

10

kPa

50000

−

⋅

=

q

q=0.72kN/m

Wzrost obci

ąż

enia

Wzrost

obciążenia

może

spowodować

przekroczenie

naprężeń w części przekroju.

z

J

My

−

=

σ

α

Naprężenia w

α−α

gdzie: M=0.5qb(a+0.75b), a=2m,

σ

=50000kPa

gdzie: M=0.5qb(a+0.75b), a=2m,
b=4m, J

z

=864·10

-8

m

4

, y=h/2=0.06m

z

y

kPa

35722

−

=

σ

dop

kPa

35722

σ

σ

<

=

σ

dop

=50000kPa

M=5kNm

q=0.5kN/m

M=9.2kNm
q=0.92kN/m

kPa

63889

−

=

σ

kPa

63889

=

σ

Rozkład naprężeń bez uwzględnienia

przekroczenia naprężeń dopuszczalnych

kPa

50000

−

=

σ

kPa

50000

=

σ

Rozkład naprężeń rzeczywisty

czyli po uwzględnieniu

przekroczenia naprężeń

dopuszczalnych i

uplastycznieniu części

przekroju

M=9.2kNm, q=0.92kN/m

c=0.02m

c

Wzrost obci

ąż

enia

Wzrost

obciążenia

może

spowodować

przekroczenie

naprężeń w części przekroju.

z

J

My

=

σ

α

Naprężenia w

α−α

gdzie: M=0.5qb(a+0.75b)=10m

2

q, a=2m,

gdzie: M=0.5qb(a+0.75b)=10m

2

q, a=2m,

b=4m, J

z

=864·10

-8

m

4

, y=h/2=0.06m

z

y

σ

pl

=50000kPa

kPa

50000

−

=

σ

kPa

50000

=

σ

A

Moment wyznaczony jako moment od
obciążenia ciągłego względem punktu A:

























−













−

⋅

+













−

⋅

=

=

∫

c

h

c

h

c

h

c

g

ydA

M

pl

pl

A

2

3

2

2

5

.

0

2

2

2

σ

σ

σ

kNm

2

.

9

02

.

0

2

12

.

0

3

2

5

.

0

2

02

.

0

2

12

.

0

02

.

0

0.06m

kPa

50000

2

2

=

=



























−

⋅

+













−

⋅

⋅

=

m

m

m

m

m

M

c=0.02m

c

q=0.92kN/m

Wzrost obci

ąż

enia

Dalszy wzrost obciążenia doprowadza do osiągnięcia
uplastycznienia w całym przekroju czyli osiągnięcia stanu, po
którym kolejnym etapem jest utrata nośności przekroju. Taki stan
graniczny nosi nazwę plastycznego stanu granicznego nośności.

z

y

kPa

35722

−

=

σ

dop

kPa

35722

σ

σ

<

=

σ

pl

=50000kPa

q=0.5kN/m

Rozkład naprężeń przed
przekroczeniem naprężeń
dopuszczalnych

q=0.92kN/m

kPa

50000

−

=

σ

kPa

50000

=

σ

q=1.08kN/m

kPa

50000

−

=

σ

kPa

50000

=

σ

4

/

)

2

/

(

2

,

h

gh

M

dop

o

A

σ

=

Moment przeniesiony w
stanie granicznym:

g

h

A

Wzrost obci

ąż

enia

Dalszy wzrost obciążenia doprowadza do osiągnięcia uplastycznienia w całym
przekroju czyli osiągnięcia stanu, po którym kolejnym etapem jest utrata nośności
przekroju. Taki stan graniczny nosi nazwę stanu granicznego nośności.

σ

pl

=50000kPa

Moment przeniesiony w stanie granicznym,
wyznaczony jako moment od obciążenia

q=???

kPa

50000

−

=

σ

kPa

50000

=

σ

4

/

)

2

/

(

2

,

h

gh

M

ydA

M

dop

gr

A

A

gr

σ

σ

=

=

=

∫

wyznaczony jako moment od obciążenia
ciągłego względem punktu A:

z

y

g

h

A

kPa

8

.

10

4

/

m

12

.

0

kPa

50000

)

2

/

m

12

.

0

m

06

.

0

(

2

=

=

⋅

⋅

⋅

=

o

M

Ponieważ M=0.5qb(a+0.75b), a=2m, b=4m,
to q

max

=M

A,o

/[0.5b(a+0.75b)]=

=10.8kPa/(0.5·4m (2m+0.75·4m))=1.08kNm

Jeżeli przyjmujemy za wyjściowe obciążenie q=0.5kN/m, to mnożnik
obciążenia granicznego wynosi

µµµµ

G

=q

max

/q=1.08/0.5=2.16

Przegub plastyczny

Dalszy wzrost obciążenia doprowadza do osiągnięcia uplastycznienia w

całym przekroju. Taki stan graniczny nosi nazwę stanu granicznego nośności. W
przekroju, w którym nastąpiło uplastycznienie całego przekroju powstaje przegub
plastyczny.

kPa

50000

−

=

σ

h

A

kPa

50000

=

σ

z

g

h

A

Przegub plastyczny

Różnica pomiędzy zwykłym przegubem a przegubem plastycznym:

•

zwykły przegub jest to połączenie, które pozwala na obrót i w ogóle nie stawia

oporu przy obrocie;

•

przegub plastyczny nie pozwala na obrót przy obciążeniu mniejszym niż to

powodujące uplastycznienie przegubu, natomiast przy większym obciążeniu
przenosi moment graniczny M

gr

i pozwala na obrót przekroju.

Przegub plastyczny

Różnica pomiędzy zwykłym przegubem a przegubem plastycznym:

•

zwykły przegub jest to połączenie, które pozwala na obrót i w ogóle nie stawia

oporu przy obrocie;

•

przegub plastyczny nie pozwala na obrót przy obciążeniu mniejszym niż to

powodujące uplastycznienie przegubu, natomiast przy większym obciążeniu
przenosi moment graniczny M i pozwala na obrót przekroju.

kPa

50000

−

=

σ

kPa

50000

=

σ

z

g

h

A

Przegub plastyczny

przenosi moment graniczny M

gr

i pozwala na obrót przekroju.

W układach statycznie wyznaczalnych wzrost obciążenia powyżej tego, który
spowodował uplastycznienie przegubu oznacza utratę nośności, a w układach
statycznie niewyznaczalnych oznacza zmianę rozkładu momentu zginającego
(dystrybucja momentów zginających).

Przegub plastyczny w układzie
statycznie niewyznaczalnym

q

µ

przegub zwykły

W układach statycznie wyznaczalnych wzrost obciążenia powyżej tego, który
spowodował uplastycznienie przegubu oznacza utratę nośności, a w układach
statycznie niewyznaczalnych oznacza zmianę rozkładu momentu zginającego
(dystrybucja momentów zginających).

q

µ

M

gr

przegub zwykły

przegub zwykły

przegub plastyczny

Przegub plastyczny w układzie
statycznie niewyznaczalnym

12ql

µ

q

µ

W układach statycznie wyznaczalnych wzrost obciążenia powyżej tego, który
spowodował uplastycznienie przegubu oznacza utratę nośności, a w układach
statycznie niewyznaczalnych oznacza zmianę rozkładu momentu zginającego
(dystrybucja momentów zginających).

12ql

µ

q

µ

M

gr

M

gr

M

gr

M

gr

Plastyczny wska

ź

nik

wytrzymało

ś

ci przy zginaniu

Moment graniczny można wyznaczyć ze wzoru

pl

σ

y

(

)

1

2

1

2

S

S

S

dA

y

ydA

M

pl

pl

A

pl

A

gr

σ

σ

σ

σ

=

+

=

=

=

∫

∫

gr

gr

pl

W

M

S

M

2

=

=

σ

S

1

– moment statyczny przekroju powyżej osi z względem osi z

S

2

– moment statyczny przekroju poniżej osi z względem osi z

pl

pl

σ

z

g

h

A

2

1

S

S

=

z

pl

pl

W

S

,

1

2

=

=

σ

gdzie plastyczny wskaźnik przekroju
przy zginaniu wynosi:

1

,

2S

W

z

pl

=

Plastyczny wska

ź

nik wytrzymało

ś

ci

przy zginaniu - prostok

ą

t

z

y

h/4

4

4

/

)

2

/

(

2

4

/

2

2

2

1

1

,

gh

h

gh

h

A

S

W

z

pl

=

=

=

=

Wskaźnik plastyczny prostokąta:

h/2

h

Wskaźnik sprężysty prostokąta:

3

gh

g

c

Ay

S

=

- moment statyczny figury płaskiej można liczyć jako iloczyn pola i
odległości środka ciężkości od osi, względem której liczony jest
moment statyczny.

Współczynnik kształtu k – iloraz plastycznego wskaźnika wytrzymałości przy
zginaniu do sprężystego wskaźnika wytrzymałości. Współczynnik kształtu jest
zawsze większy niż 1.

6

2

/

12

2

1

gh

h

gh

y

J

W

z

z

=

=

=

5

.

1

6

4

2

2

=

=

=

gh

gh

W

W

k

pl

Badanie zmian w belce pod
wpływem wzrastaj

ą

cego obci

ąż

enia

Przykładowa belka z obciążeniem statycznym

10kN

2.0kN/m

2m

3m

6m

4m

2m

3m

6m

4m

g=0.06m

z

Przekrój belki

y

ε

σ

α

Moduł Younga

E=tg(

α)

Wykres

σ

-

ε

dla materiału

idealnie sprężysto-plastycznego

W=J

z

/(h/2)=gh

2

/6=144·10

-6

m

3

–

wskaźnik wytrzymałości przy
zginaniu względem osi z
W

pl

=2(gh/2)(h/4)=gh

2

/4=216·10

-6

m

3

– plastyczny wskaźnik
wytrzymałości przy zginaniu
względem osi z

σ

dop

=σ

pl

=50000kPa

E=2·10

8

kPa

σ

pl

Wykresy sił wewn

ę

trznych w

zakresie spr

ęż

ystym

10kN

2.0kN/m

2m

3m

6m

4m

6.47

A

B

C

D

V

B

=10.44kN

V =6.03kN

M

A

=-6.45kNm

+

+

-

-

T [kN]

M

[kNm]

6.45

5.61

6.30

3.51

4.09

6.03

3.97

6.47

5.53

0.88

V

D

=-0.88kN

V

C

=6.41kN

V

B

=10.44kN

V

A

=6.03kN

Maksymalne napr

ęż

enia normalne

dla danego obci

ąż

enia

10kN

2.0kN/m

2m

3m

6m

4m

6.47

A

B

C

D

V

B

=10.44kN

V =6.03kN

M

A

=-6.45kNm

M

[kNm]

6.45

5.61

6.30

3.51

4.09

6.47

V

D

=-0.88kN

V

C

=6.41kN

V

B

=10.44kN

V

A

=6.03kN

kPa

44792

kN/m

44792

m

10

144

kNm

45

.

6

2

3

6

=

=

⋅

=

=

−

W

M

σ

Największy moment zginający jest w punkcie A

ε

α

σ

pl

W=144·10

-6

m

3

σ

pl

=50000kPa

Maksymalne napr

ęż

enia normalne

dla danego obci

ąż

enia

10kN

2.0kN/m

2m

3m

6m

4m

6.47

A

B

C

D

V

D

=-0.88kN

V

C

=6.41kN

V

B

=10.44kN

V

A

=6.03kN

M

A

=-6.45kNm

M

[kNm]

6.45

5.61

6.30

3.51

4.09

6.47

V

D

=-0.88kN

V

C

=6.41kN

kPa

44792

=

σ

Rozkład naprężeń w przekroju w p. A

z

y

pl

kPa

44792

σ

σ

<

=

kPa

44792

−

=

σ

g

h

Dystrybucja momentów zginaj

ą

cych

µ

10kN

µ

2.0kN/m

2m

3m

6m

4m

6.47

A

B

C

D

V

D

=-

µ

0.88kN

V

C

=

µ

6.41k

V

B

=

µ

10.44k

N

V

A

=

µ

6.03kN

M

A

=-

µ

6.45kNm

M

[kNm]

7.20

6.26

7.03

3.92

4.56

6.47

V

D

=-

µ

0.88kN

V

C

=

µ

6.41k

N

N

Proporcjonalne zwiększenie obciążenia, dla
którego mnożnik obciążenia wynosi

µµµµ

=1.116. Przy

µµµµ

=1.116 osiągamy sprężysty stan graniczny.

pl

kPa

50000

σ

σ

=

=

kPa

50000

−

=

σ

Rozkład
naprężeń w p.A

Dystrybucja momentów zginaj

ą

cych

µ

10kN

µ

2.0kN/m

2m

3m

6m

4m

6.47

A

B

C

D

V

D

=-

µ

0.88kN

V

C

=

µ

6.41k

V

B

=

µ

10.44k

N

V

A

=

µ

6.03kN

M

A

=-

µ

6.45kNm

M

[kNm]

10.8

9.39

10.55

5.88

6.84

6.47

V

D

=-

µ

0.88kN

V

C

=

µ

6.41k

N

N

M

gr

zostanie uzyskane przy mnożniku obciążenia

µµµµ

=1.674

pl

kPa

50000

σ

σ

=

=

Rozkład
naprężeń w p.A

10.8kNm

kPa

50000

m

216·10

3

-6

,

=

⋅

=

=

pl

z

pl

gr

W

M

σ

kPa

50000

−

=

σ

Dystrybucja momentów zginaj

ą

cych

µ

10kN

µ

2.0kN/m

2m

3m

6m

4m

6.47

A

B

C

D

V

D

=-1.47kN

V

C

=

10

.73kN

V

B

=17.48kN

V

A

=

10

.09kN

M

gr

=

-

10.8

kNm

µµµµ

=1.674

10.8kNm

=

gr

M

K

L

M

[kNm]

10.8

9.39

10.55

5.88

6.84

6.47

V

D

=-1.47kN

V

C

=

10

.73kN

kPa

47500

−

=

σ

kPa

47500

=

σ

pl

kPa

50000

σ

σ

=

=

Punkt A

kPa

50000

−

=

σ

Punkt L

c=0.022m

Punkt K

kPa

50000

−

=

σ

kPa

50000

=

σ

c=0.044m

kPa

50000

−

=

σ

kPa

50000

=

σ

Punkt B

Dystrybucja momentów zginaj

ą

cych

µ

10kN

µ

2.0kN/m

2m

3m

6m

4m

6.47

A

B

C

D

V

D

=-1.47kN

V

C

=

10

.73kN

V

B

=17.48kN

V

A

=

10

.09kN

M

gr

=

-

10.8

kNm

µµµµ

=1.674

10.8kNm

=

gr

M

K

L

µµµµ

=1.674

⋅⋅⋅⋅

1.019=1.706

Kolejnym punktem, gdzie zostanie osiągnięty moment graniczny jest punkt B.
Moment zginający wynosi M=10.55kNm. W celu uzyskania wartości granicznej
M

gr

=10.8kNm trzeba zwiększyć obciążenie z mnożnikiem 1.019 (siła skupiona w p. K

i obciążenie ciągłe). Współczynnik obciążenia wynosi:

M

[kNm]

10.8

9.39

10.55

5.88

6.84

6.47

V

D

=-1.47kN

V

C

=

10

.73kN

Dystrybucja momentów zginaj

ą

cych

µ

10kN

µ

2.0kN/m

2m

3m

6m

4m

6.47

A

B

C

D

V

D

=-1.49kN

V

C

=

10

.92kN

V

B

=17.86kN

V

A

=

10

.24kN

M

gr

=

-

10.8

kNm

10.8kNm

=

gr

M

K

L

µµµµ

=1.674

⋅⋅⋅⋅

1.019=1.706

-M

gr

-M

gr

M

[kNm]

10.8

9.67

10.8

5.97

6.97

6.47

V

D

=-1.49kN

V

C

=

10

.92kN

kPa

48403

−

=

σ

kPa

48403

=

σ

pl

kPa

50000

σ

σ

=

=

Punkt A

kPa

50000

−

=

σ

Punkt L

c=0.026m

Punkt K

kPa

50000

−

=

σ

kPa

50000

=

σ

kPa

50000

−

=

σ

kPa

50000

=

σ

Punkt B

Dystrybucja momentów zginaj

ą

cych

µ

10kN

µ

2.0kN/m

2m

3m

6m

4m

6.47

A

B

C

D

V

D

=-1.49kN

V

C

=

10

.92kN

V

B

=17.86kN

V

A

=

10

.24kN

M

gr

=

-

10.8

kNm

10.8kNm

=

gr

M

K

L

µµµµ

=1.706

-M

gr

-M

gr

M

[kNm]

10.8

9.67

10.8

5.97

6.97

6.47

V

D

=-1.49kN

V

C

=

10

.92kN

µµµµ

=1.706

⋅⋅⋅⋅

1.055=1.8

Kolejnym punktem, gdzie zostanie osiągnięty moment graniczny jest punkt K.
Moment zginający wynosi M=9.67kNm. W celu uzyskania wartości granicznej
M

gr

=10.8kNm trzeba zwiększyć obciążenie z mnożnikiem 1.055 (siła skupiona w p. K

i obciążenie ciągłe). Współczynnik obciążenia wynosi:

Dystrybucja momentów zginaj

ą

cych

µ

10kN

µ

2.0kN/m

2m

3m

6m

4m

6.47

A

B

C

D

V

D

=-1.62kN

V

C

=

11

.42kN

V

B

=18.55kN

V

A

=

10

.8kN

M

gr

=

-

10.8

kNm

10.8kNm

=

gr

M

K

L

µµµµ

=1.706

⋅⋅⋅⋅

1.055=1. 8

-M

gr

-M

gr

M

gr

M

gr

M

[kNm]

10.8

10.8

10.8

6.48

7.56

6.47

V

D

=-1.62kN

V

C

=

11

.42kN

pl

kPa

50000

σ

σ

=

=

Punkt A

kPa

50000

−

=

σ

Punkt C

c=0.003m

Punkt K

kPa

50000

−

=

σ

kPa

50000

=

σ

kPa

50000

−

=

σ

kPa

50000

=

σ

Punkt B

Punkt L

pl

kPa

50000

σ

σ

=

=

kPa

50000

−

=

σ

pl

kPa

43750

σ

σ

=

=

kPa

43750

−

=

σ

Dystrybucja momentów zginaj

ą

cych

µ

10kN

µ

2.0kN/m

2m

3m

6m

4m

6.47

A

B

C

D

V

D

=-1.62kN

V

C

=

11

.7kN

V

B

=18.76kN

V

A

=

10

.8kN

M

gr

=

-

10.8

kNm

10.8kNm

=

gr

M

K

L

µµµµ

=1. 8

-M

gr

-M

gr

M

gr

M

gr

M

[kNm]

10.8

10.8

10.8

6.48

7.56

6.47

V

D

=-1.62kN

Układ jest trzykrotnie statycznie niewyznaczalny czyli układ na rysunku po wstawieniu trzech
przegubów stałby się statycznie wyznaczalny, gdyby nie fakt, że akurat taki układ przegubów powoduje,
ż

e po lewej stronie podpory B mam już mechanizm (układ jest geometrycznie zmienny), a po lewej układ

jest przesztywniony. A więc w ten sposób osiągnięty został plastyczny stan graniczny a

µµµµ

=1. 8=

µµµµ

G

i jest graniczny mnożnik obciążenia.

Przegub, który byłby wprowadzony jako kolejny,
gdyby nie uzyskanie geometrycznej zmienności
pomiędzy punktami A i B.

Graniczny mno

ż

nik obci

ąż

enia

µ

10kN

µ

2.0kN/m

2m

3m

6m

4m

A

B

C

D

M

gr

=

-

10.8

kNm

10.8kNm

=

gr

M

K

L

-M

gr

-M

gr

M

gr

M

gr

M

gr

V

D

=-1.62kN

V

C

=

11

.7kN

V

B

=18.76kN

V

A

=

10

.8kN

Graniczny mnożnik obciążenia:

µµµµ

G

=1.8

Graniczny mnożnik obciążenia spełnia warunek:

µµµµ

s

<µ

<µ

<µ

<µ

G

<

µµµµ

k

µµµµ

s

– statyczny mnożnik obciążenia granicznego wyznacza się, przy założenia, że w konstrukcji

powstają pełne (zwykłe) przeguby i na podstawie analizy rozkładu momentów zginających,
które nie mogą być większe w układzie niż M

gr

µµµµ

k

– kinematyczny mnożnik obciążenia granicznego wyznacza się, przy założeniu, że w

konstrukcji powstają przeguby plastyczne, które pozwalają na obrót gdy M=M

gr

, ale jednak jest

tam wykonywana praca wewnętrznych. Do wyznaczenia

µµµµ

k

wykorzystuje się zasadę prac

wirtualnych

L

z

=-L

w

V

D

=-1.62kN

V

C

=

11

.7kN

Graniczny mno

ż

nik obci

ąż

enia

µ

10kN

µ

2.0kN/m

2m

3m

6m

4m

A

B

C

D

M

gr

=

-

10.8

kNm

10.8kNm

=

gr

M

K

L

-M

gr

-M

gr

M

gr

M

gr

M

gr

V

D

=-1.62kN

V

C

=

11

.7kN

V

B

=18.76kN

V

A

=

10

.8kN

Graniczny mnożnik obciążenia:

µµµµ

G

=1.8

Graniczny mnożnik obciążenia spełnia warunek:

µµµµ

s

<µ

<µ

<µ

<µ

G

<

µµµµ

k

µµµµ

s

– statyczny mnożnik obciążenia granicznego wyznacza się, przy założenia, że w konstrukcji

powstają pełne (zwykłe) przeguby i na podstawie analizy rozkładu momentów zginających,
które nie mogą być większe w układzie niż M

gr

µµµµ

k

– kinematyczny mnożnik obciążenia granicznego wyznacza się, przy założeniu, że w

konstrukcji powstają przeguby plastyczne, które pozwalają na obrót gdy M=M

gr

, ale jednak jest

tam wykonywana praca wewnętrznych. Do wyznaczenia

µµµµ

k

wykorzystuje się zasadę prac

wirtualnych

L

z

=-L

w

V

D

=-1.62kN

V

C

=

11

.7kN

∑

⋅

k

k

k

u

P

∑

=

i

i

gr

M

θ

Graniczny mno

ż

nik obci

ąż

enia

Twierdzenie statyczne

Jeżeli dla danego obciążenia może być znalezione pole momentów, spełniających
warunki równowagi i nie przekraczających wartości M

0

, to konstrukcja nie ulegnie pod

tym obciążeniem zniszczeniu, lecz co najwyżej osiągnie stan granicznej nośności.
Wniosek:
Każdy statyczny mnożnik obciążenia µ

s

jest mniejszy lub co najwyżej równy

Każdy statyczny mnożnik obciążenia µ

s

jest mniejszy lub co najwyżej równy

rzeczywistemu mnożnikowi granicznemu µ

G

. Oszacowanie następuje od dołu (zbliżamy

się do maksimum).

Twierdzenie kinematyczne

Konstrukcja idealnie plastyczna ulegnie zniszczeniu pod wpływem danego obciążenia
jeśli można znaleźć taki mechanizm, dla którego praca obciążeń zewnętrznych będzie
większa niż praca jaką mogą wykonać siły wewnętrzne.
Wniosek:
Każdy kinematyczny mnożnik obciążenia µ

k

jest mniejszy lub co najwyżej równy

rzeczywistemu mnożnikowi granicznemu µ

G

. Oszacowanie następuje od góry (zbliżamy

się do minimum).

Koniec