2008

K.M.Gawrylczyk

Dopasowanie odbiornika do źródła ze względu na moc pozorną

Oznaczenia:
E - napięcie źródłowe,
I - prąd w obwodzie,
Z

O

= |Z

O

|·e

jφ

impedancja zespolona odbiornika,

Z

W

= |Z

W

|·e

jψ

impedancja zespolona źródła, oraz parametr k = |Z

O

| / |Z

W

|.

Moc pozorna |S| w odbiorniku wynosi:

O

O

2

2

2

2

W

W

O

O

2

2

2

j

W

W

O

W

O

O

j

W

W

O

2

2

W

2

2

2

2

j(

)

W

W

2

2

2

W

e

1

1

e

[ cos(

) 1]

(

)

sin

e

1

2 cos(

) 1

-

| Z |

| Z |

| Z |

| Z |

| E

| E

| E

|

|

|

| S |=| Z | | I =| Z |

=

=

|

| Z |

| Z |

| Z + Z |

Z

Z

+

+

Z

Z

| Z |

| Z |

| E

| E

k

|

|

=

=

=

| Z |

| Z | k

+

+ k

k

+

| E

k

| E

|

|

=

=

| Z |

+ k

-

+

|

k

ϕ

ψ

ϕ ψ

ϕ ψ

ϕ ψ

ϕ ψ

⋅

⋅

⋅

⋅

=

























⋅

⋅

−

−

⋅

W

1

1

2 cos(

)

Z |

k + +

k

ψ ϕ

⋅

−

|S| w odbiorniku zale

ż

y od dwóch parametrów :

φ

i k. Najpierw zakładamy,

ż

e

φ

= const i

obliczamy pochodn

ą

∂

|S|/

∂

k = 0. Daje to k

2

– 1 = 0, czyli k = 1. Pochodna

∂

2

|S|/

∂

k

2

< 0, czyli

uzyskali

ś

my maksimum. Podstawiaj

ą

c k = 1 otrzymuje si

ę

:

Wyra

ż

enie to przyjmuje warto

ść

maksymaln

ą

(

∞

) dla:

cos(

ψ

−

φ

) =

−

1, czyli

ψ

−

φ

=

π

.

Oznacza to,

ż

e: dla

ź

ródła o charakterze indukcyjno-czynnym najlepsze dopasowanie daje

kondensator idealny, a dla

ź

ródła o charakterze pojemno

ś

ciowo-czynnym cewka idealna. W

wypadku

ź

ródła o charakterze samej reaktancji moc pozorna osi

ą

ga przy dopasowaniu

niesko

ń

czono

ść

.

Dopasowanie ze względu na moc czynną:

2

W

cos

cos

1

2 cos(

)

| E|

P = S

| Z |

k + +

k

ϕ

ϕ

ψ ϕ

=

⋅

−

Podobnie jak poprzednio dopasowanie ma miejsce dla k = 1. Wtedy moc P wynosi :

2

W

cos

2

1 cos(

)

| E|

P =

| Z |

+

ϕ

ψ ϕ

⋅

−

Warunek zerowania się pierwszej pochodnej ∂P/∂φ = 0 daje sin φ =

−

sin ψ,

skąd dla kątów ψ i φ leżących w pierwszej lub czwartej ćwiartce otrzymujemy ψ =

−

φ

czyli

łącznie : Z

O

= Z

W

*

.

2

W

1

2

1 cos(

)

| E|

| S |=

| Z |

+

ψ ϕ

⋅

−