1. Własności przedziału.
Podział przedziału -

, punkty pośrednie-

, suma całkowa-

, ciąg podziałów

przedziału -

, maksymalna dł.

przedziału w n-tym podziale

2. Ciąg normalny.
Mówimy, że ciąg przedziałów jest normalnym witw gdy

3.Ciąg sum całkowych.
Zał.

,

;

4.Całka oznaczona.
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału istnieje
skończona granica ciągu

niezależna od ciągu podziałów i

niezależna od wyboru punktów pośrednich to tą granicę nazywamy

. Jeżeli dla funkcji istnieje całka to mówimy, że funkcja jest

całkowalna w przedziale
5.Całka oznaczona w sensie Riemanna.
Jeżeli dla i jest całkowalna na przedziale , to

(pole pod wykresem)

gdzie

(uporządkowany układ równań)
6.Własnosci całek.

Tw.

,

Całka ze stałej to stała razy dł. przedziału

całkowania,
Tw. Jeżeli i jest całkowalna na prz. , to

Def. Niech funkcja

będzie całkowalna na przedziale ,

7. Tw. Newtona-Liebniza.
Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale to

, gdzie funkcja jest dowolna funkcją pierwotną funkcji
.
8.Całkowanie przez części.
Niech funkcja

i będą funkcjami kl.

w przedziale

wtedy

całka

9.Całkowanie przez podstawienie.
Jeżeli funkcja jest ciągła w zbiorze wartości funkcji
różniczkowalnej kl.

w przedziale

, to

10.Zast. całki oznaczonej.

dla

to

:

-objętość,

- pole

powierzchni bocznej
11.Dlugość łuku krzywej.
Jeżeli funkcje dla są kl.

w

to dł. łuku

krzywej zadanej równaniami parametrycznymi wyraża się wzorem

– dł. krzywej płaskiej , jeżeli

to

12.Całka niewłaściwa.
Niech funkcja

będzie określona w przedziale i całkowalna w

gdzie jest on zawarty w

. Punkt nazywamy osobliwym witw gdy

lub funkcja jest nieograniczona w pkt. . Jeżeli jest pkt.
osobliwym funkcji

w przedziale i istnieje granica skończona

, to tą granice nazywamy całką niewłaściwą z funkcji

na przedziale

i oznaczamy

13.Kryt. całkowe zbieżności szeregu
Jeżeli funkcja jest dodatnia i malejąca w przedziale i

, to

jest zbieżny witw, gdy całka

jest

zbieżna, czyli ma granicę skończoną.
14.Funkcja n-zmiennych.

15.Punkt skupienia zbioru.
Mówimy, że jest punktem skupienia zbioru,
, 2) Jeżeli każde otoczenie punktu zawiera co
najmniej jeden element zb.

różny od . Mówimy, że zb. jest domknięty

jeżeli wszystkie pkt. skupienia. Mówimy, że zb. jest otwarty jeżeli każdy
jego pkt. jest pkt. wewnętrznym. Zb. nazywamy obszarem jeśli jest zb.
otwartym i każde 2 pkt. tego zbioru można połączyć łamaną zawartą w
tym zb. Zb. domknięty i ograniczony nazywamy zb. zwartym.
16.Funkcja dwóch zmiennych.

Każdej parze przyporządkowuje 3

liczbę.
17.Definicja granicy funkcji Cauchy ’ego

.

18. Definicja granicy funkcji Heinego

.

19.Ciągłość funkcji w pkt.
Funkcja

jest ciągła w

z definicji gdy istnieje

,

i

20. Ciągłość funkcji w zbiorze.
Niech funkcja

będzie ciągła w zb. zwartym

wtedy istnieje

takie, że

jest wartością największą funkcji

w zb. i

jest wartością najmniejszą funkcji w zb. .

Funkcja ciągła w zb. zwartym jest ograniczona.
21.Pochodne cząstkowe I rzędu.
Pochodna- współczynnik zmiany długości,

- pochodna przy ustalonym y

- pochodna przy ustalonym x

22.Rózniczkowalność f. dwóch zmiennych.
Funkcja jest różniczkowalna w punkcie

z def. gdy zachodzi

Tw. Jeżeli pochodne cząstkowe są ciągłe w punkcie

to funkcja

jest różniczkowalna.

-

ogólny wzór,

– różniczka zupełna

23.Twierdzenie Schwarza.
Jeżeli pochodne mieszane są ciągłe to są równe.
24.Twierdzenie o gradiencie, gradient.
Gradient wyznacza kierunek najszybszego wzrostu funkcji.

25.Ekstrema f. dwóch zmiennych.
Mówimy, że funkcja określona w otoczeniu

posiada

ekstremum w

witw gdy istnieje otoczenie

takie, że

26. Ekstrema f. trzech zmiennych.
Mówimy, że funkcja określona w obszarze , gdzie

posiada w

max lokalne { min } witw gdy

istnieje kula o śr. w

i

takie, że

27.Def. Całka podwójna.
Prostokąt . Niech będzie
okreslona i ograniczona na prostokącie .

suma mnogościowa

;

-pole; suma algebraiczna

; Określenie prostokątow

podział prostkąta

Średnica podziału

; Pkt. pośrednie

; Suma całkowa

; ciąg podziałów

; Pola ciągu podziałów

; Pkt.

pośrednie ciągu podziałów

; ciag sum całkowych

; Jeżeli dla ciągu podziałów

to

mówimy, że ciag podziałów jest normalnym ciągiem podziałów. Jeżeli
norm. ciągu podziałów skończona

, niezależna od ciągu

podziałów i od wyboru pkt. pośrednich, to tą granicę nazywamy

28.Całki podwójne iterowane.
Niech

ciągła na prostokącie , wtedy istnieją całki iterowane

.

29.Def. całka potrójna.
Prostopadłościan .
Niech

będzie okreslona i ograniczona na prostopadłościanie

.

-podział prostopadłościanu

,

-objętość; pkt. pośrednie

; Suma całkowa

; średnica podziału

; ciąg

podziałów

; średnica ciągu podziału

; Jeżeli dla ciągu podziałów

to

mówimy, że ciag podziałów jest normalnym ciągiem podziałów; pkt.
pośrednie ciągu podziałów

; Jeżeli norm. ciągu

podziałów i dowolnego wyboru pkt. pośrednich skończona

,

niezależna od ciągu podziałów i od wyboru pkt. pośrednich, to tą granicę
nazywamy

30. Całki potrójne iterowane.
Jeżeli jest ciągła na prostopadłościanie , to istnieją całki

iterowane np.

31.Zast. całki potrójnej.
Niech obszar

będzie okr. obszar reg. ,

gdzie funkcje

są okr. i ciągłe na obszarze reg. , wtedy objętość

. Niech

,

obszar reg., funkcja jest kl.

w

i

są ograniczone, wtedy

pole płata pow.

32.Tw. o zmianie zmiennej.
Niech przekształcenie , odwzorowuje obszar
reg.

w obszar reg. . Niech w będzie określona funkcja

ograniczona i ciągła. Jeżeli 1)funkcje są kl.

w obszarze

obejmującym (brzeg); 2)jakobian przekszt.

w ;

3)przekształcenie jest różnowartościowe w to zachodzi wzór

,

33.Równanie R zwyczajne.

34.Co to jest problem początkowy Cauchy ’ego dla rów. R n-tego
rzędu.
Znaleźć rozwiązanie równania klasy

postaci

w

przedziale

, spełniające warunki początkowe:

,

.

35.Równanie R o zmiennych rozdzielonych.
Jeżeli jest ciągła w a , ciągła w , to
równanie

nazywamy równaniem różniczkowym o zm.

rozdzielonych. Przy powyższych zał. wzór przedst.
całkę ogólną równania
36.Równanie R jednorodne.

, funkcja ciągła w , ,

;

37.Równanie R liniowe I- rzędu.
ciągłe w

; Rozwiązaniem równania jednorodnego jest

przestrzeń liniowa(wektorowa) ; Rozwiązanie równania
niejednorodnego jest postaci

, gdzie

jest dowolnym rozw.

równania jednorodnego, a

jest pewnym rozw. równania

niejednorodnego (CSRN) ,

, gdzie

-(CORN), a -

(CORJ).
Tw.

.

Tw. Jeżeli jest ciągła w to wzór

,

,

, przedst.. całkę ogólną równania

, ponadto przez

każdy pkt. zb. przechodzi dokł. jedna całka równania
. Metoda uzmienniania stałych(wariacja zmiennych)

, np.

(1).
Tw. Jeżeli funkcje są ciągłe w , to wzór (1) przedstawia CORN
równania wyjściowego i ponadto przez każdy pkt. zb. przechodzi
dokł. jedna całka.
38.Równanie R Bernoulliego.

.

39.Równanie R zupełne.

,

są kl.

w pewnym obszarze

jednospójnym

.

gdy lewa str. jest

różniczką zupełną pewnej w , jest równanie różniczkowe
zupełne. jest całką ogólną równania

40.Warunek na zupełność (Schwarza).
Jeżeli funkcje są określone i kl.

, w prostokącie

, to równanie jest równaniem
różniczkowym zupełnym gdy spełniają warunek

.

41.Równanie R II- rzędu o stałych współczynnikach.

, są ciągłe w . Rozwiązaniem

jest

.