Prawdopodobieństwo warunkowe
Przykład 1.
W jednej urnie są tylko kule białe, a w drugiej czarne (w każdej z urn jest co najmniej dwie
kule). Wybieramy losowo urnę i wyciągamy z niej kolejno dwie kule. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że za drugim razem zostanie wylosowana kula biała, oraz
prawdopodobieństwo tego, że za drugim razem wyciągnęliśmy kulę biała, jeśli za pierwszym
razem wylosowaliśmy kulę białą.
A
- zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli białej za pierwszym razem,
B
- zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli białej za drugim razem.
( )
2
1
=
B
P
, ponieważ wybór urny determinuje wybór koloru kuli.
(
)
1
/
=
A
B
P
Jeśli wiemy, że zaszło zdarzenie A , to druga wylosowana kula będzie na pewno
biała.
Wniosek 1.
Przykład pokazuje, że zajście jakiegoś zdarzenia może zmienić prawdopodobieństwo zajścia
innego zdarzenia.
Def.
Niech
(
)
P
S,
,
Ω
przestrzeń probabilistyczna,
S
B
A
∈
,
oraz
( )
0
>
B
P
.
Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło
zdarzenie B nazywamy liczbę
(
)
( )
B
P
B
A
P
∩
i oznaczamy
(
)
B
A
P
/
.
Uwaga 1.
Jeśli
( )
0
=
B
P
, to przyjmujemy
(
)
( )
A
P
B
A
P
=
/
.
Uwaga 2.
Odwzorowanie
( )
R
S
B
P
~
:
,
→
⋅
jest miarą unormowaną na
(
)
S
,
Ω
przy ustalonym
S
B ∈
takim, że
( )
0
>
B
P
.
Dowód
Ad. 1.
(
)
( )
?
0
/
≥
∈
∀
B
A
P
S
A
Weźmy dowolne
S
B
S
A
∈
∈ ,
takie, że
( )
0
>
B
P
.
Ponieważ S jest
σ
- algebrą, to
S
B
A
∈
,
.
Wykorzystując prawo de Morgana otrzymujemy
S
B
A
B
A
B
A
∈
∩
=
∪
=
∪
czyli
(
)
(
)
( )
0
/
≥
∩
=
A
P
B
A
P
B
A
P
, gdyż
(
)
0
≥
∩ B
A
P
na podstawie pierwszego aksjomatu w definicji
miary unormowanej.
Ad. 2.
(
)
( )
?
1
/
=
Ω B
P
(
)
(
)
( )
( )
( )
1
/
=
=
∩
Ω
=
Ω
B
P
B
P
B
P
B
P
B
P
.
Ad. 3.
( ) ( )
?
,
,
1
1
∑
∞
=
∞
=
=
≠
∅
=
∩
∈
∈
∀
i
i
i
i
j
i
j
i
A
P
A
P
j
i
A
A
S
A
A
N
j
i
U
Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego i własności rachunku zbiorów mamy
( )
(
)
( )
(
)
( )
B
P
B
A
P
B
P
B
A
P
B
P
B
A
P
B
A
P
i
i
i
i
i
i
i
i
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∩
=
∩
=
∩
=
1
1
1
1
/
U
U
U
.
Ostatnią równość możemy napisać, gdyż
S
B
A
N
i
i
∈
∈
∀
,
oraz
(
)
(
)
j
i
B
B
A
A
B
A
B
A
j
i
j
i
≠
∅
=
∩
∅
=
∩
∩
=
∩
∩
∩
.
Kontynuując, otrzymujemy
(
)
( )
(
)
( )
(
)
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
=
∩
=
∩
1
1
1
/
i
i
i
i
i
i
B
A
P
B
P
B
A
P
B
P
B
A
P
.
Przykład 2.
Wybieramy jedną rodzinę spośród rodzin z dwojgiem dzieci. Obliczyć prawdopodobieństwo
zdarzenia, że wybierzemy rodzinę, w której są dwaj chłopcy, jeśli wiemy, że w tej rodzinie
a) starsze dziecko jest chłopcem,
b) jest co najmniej jeden chłopiec.
( ) ( ) ( ) (
)
{
}
d
d
c
d
d
c
c
c
,
,
,
,
,
,
,
=
Ω
( )
{
} ( ) ( )
{
}
(
)
( )
{
}
(
)
( ) ( )
{
}
(
)
2
1
,
,
,
,
,
,
,
/
,
2
1
4
1
=
=
=
d
c
c
c
P
c
c
P
d
c
c
c
c
c
P
,
( )
{
} ( ) ( ) ( )
{
}
(
)
3
1
,
,
,
,
,
/
,
=
c
d
d
c
c
c
c
c
P
.
Wniosek 2.
Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego mamy
(
)
(
) ( )
B
P
B
A
P
B
A
P
/
=
∩
.
Uogólniając, zachodzi następujący wzór
(
)
( ) (
) (
) (
)
1
1
2
1
3
1
2
1
2
1
...
/
...
/
/
...
−
∩
∩
∩
=
∩
∩
∩
n
n
n
A
A
A
P
A
A
A
P
A
A
P
A
P
A
A
A
P
,
jeśli
(
)
0
...
1
1
>
∩
∩
−
n
A
A
P
.
Dowód
Zauważmy, że
1
2
1
2
2
1
1
2
1
...
...
...
A
A
A
A
A
A
A
A
A
n
n
⊂
∩
⊂
⊂
∩
∩
∩
⊂
∩
∩
∩
−
−
,
zatem, na podstawie monotoniczności miary P otrzymujemy,
(
)
(
)
(
)
( )
1
2
1
2
2
1
1
2
1
...
...
...
0
A
P
A
A
P
A
A
A
P
A
A
A
P
n
n
≤
∩
≤
≤
∩
∩
∩
≤
∩
∩
∩
<
−
−
.
Rozpisując prawą stronę dowodzonego wzoru mamy
( ) (
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
3
1
1
2
1
...
...
...
−
−
∩
∩
∩
∩
∩
∩
∩
∩
∩
∩
∩
n
n
n
A
A
A
P
A
A
A
A
P
A
A
P
A
A
A
P
A
P
A
A
P
A
P
.
Upraszczając wyrażenia dostajemy lewą stronę.
Uwaga 3.
Powyższe twierdzenie, to uzasadnienie metody drzewek (stochastycznych) stosowanej w
rozwiązywaniu wielu zadań. Liczby przypisywane gałęziom, to są prawdopodobieństwa
warunkowe, a gdy poruszmy się wzdłuż gałęzi, to mnożymy te prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo całkowite (zupełne)
Def.
Niech
(
)
P
S,
,
Ω
przestrzeń probabilistyczna.
Rodzinę zdarzeń
{ }
n
i
i
B
1
=
nazywamy rozbiciem (rozkładem) zbioru Ω , jeśli
{
}
Ω
=
≠
∅
=
∩
∈
∀
=
U
n
i
i
j
i
B
j
i
B
B
n
j
i
1
,
,
,...,
1
,
.
Twierdzenie 1. (o prawdopodobieństwie całkowitym, zupełnym)
Jeśli rodzina zdarzeń
{ }
n
i
i
B
1
=
będzie rozbiciem zbioru Ω takim, że
{
}
( )
0
,...,
1
>
∈
∀
i
B
P
n
i
,
to
( )
(
) ( )
i
n
i
i
B
P
B
A
P
A
P
S
A
∑
=
=
∈
∀
1
/
.
Dowód
Weźmy dowolne
S
A∈
( )
(
)
(
)
(
)
(
) ( )
∑
∑
=
=
=
=
=
∩
=
∩
=
∩
=
Ω
∩
=
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
B
P
B
A
P
B
A
P
B
A
P
B
A
P
A
P
A
P
1
1
1
1
/
U
U
.
Uwaga 4.
Twierdzenie powyższe obowiązuje również w przypadku, gdy
U
∞
=
=
Ω
1
i
i
B .
Twierdzenie 2. (wzór Bayesa)
Jeśli rodzina zdarzeń
{ }
n
i
i
B
1
=
będzie rozbiciem zbioru Ω takim, że
{
}
( )
0
,...,
1
>
∈
∀
i
B
P
n
i
oraz
( )
0
>
A
P
, to
{
}
(
) (
) ( )
( )
A
P
B
P
B
A
P
A
B
P
n
j
j
j
j
/
/
,...,
1
=
∈
∀
.
Zdarzenia
j
B nazywamy hipotezami (przyczyny zajścia zdarzenia A , które nazywane jest
skutkiem),
( )
A
P
to prawdopodobieństwo skutku (a priori). Jeśli zdarzenie A zaszło,
interesuje nas prawdopodobieństwo, że zdarzenie
j
B było przyczyną zajścia zdarzenia A ,
czyli
(
)
A
B
P
j
/
(prawdopodobieństwo a posteriori).
Przykład 3.
Dane są dwie urny z kulami: urna
1
B
zawiera 6 czarnych i 9 białych kul, a urna
2
B
5
czarnych i 15 kul białych. Wylosowano białą kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
pochodzi ona z urny
1
B
.
A - zdarzenie polegające na wyciągnięciu kuli białej,
1
B
- zdarzenie polegające na losowaniu z urny pierwszej,
2
B
- zdarzenie polegające na losowaniu z urny drugiej.
( )
( )
2
1
2
1
=
=
B
P
B
P
,
(
)
15
9
/
1
=
B
A
P
,
(
)
20
15
/
2
=
B
A
P
,
( )
(
) ( ) (
) ( )
40
27
2
1
20
15
2
1
15
9
/
/
2
2
1
1
=
+
=
+
=
B
P
B
A
P
B
P
B
A
P
A
P
,
(
)
(
) ( )
( )
9
4
/
/
1
1
1
=
=
A
P
B
P
B
A
P
A
B
P
.
Niezależność zdarzeń
Def.
Niech
(
)
P
S,
,
Ω
przestrzeń probabilistyczna.
Zdarzenia losowe
S
B
A
∈
,
są niezależne, jeśli
(
)
( ) ( )
B
P
A
P
B
A
P
=
∩
.
Uogólniając mówimy, że
Zdarzenia
n
A
A
A
,...,
,
2
1
są niezależne, jeśli
(
)
( )
( )
s
s
k
k
k
k
s
s
A
P
A
P
A
A
P
n
k
k
k
k
...
...
...
1
:
,...,
1
1
1
1
=
∩
∩
≤
<
<
≤
∀
.
Zdarzenia
,...
,
2
1
A
A
są niezależne, jeśli
n
A
A
A
n
,...,
,
2
2
1
≥
∀
są niezależne.
Uwaga 5.
Jeśli dla pewnego układu wskaźników
(
)
n
k
k
k
s
s
≤
≤
1
,...,
1
(
)
( )
( )
s
s
k
k
k
k
A
P
A
P
A
A
P
...
...
1
1
≠
∩
∩
,
to zdarzenia
n
A
A
A
,...,
,
2
1
nazywamy zależnymi.
Przykład 4.
Prawdopodobieństwem przekazania sygnału przez jeden przekaźnik jest
9
,
0
=
p
. Przekaźniki
działają niezależnie, tzn. zadziałanie jednego z nich nie ma wpływu na zadziałanie drugiego.
Obliczyć prawdopodobieństwo przekazania sygnału przy połączeniu
a) szeregowym dwu przekaźników (muszą działać oba przekaźniki),
b) równoległym dwu przekaźników (wystarczy, aby jeden z przekaźników
działał).
Niech A - oznacza zdarzenie polegające na przekazaniu sygnału przez przekaźnik oznaczony
litera A , natomiast B przez przekaźnik B .
Przy połączeniu szeregowym sygnał zostanie przekazany, jeśli nastąpi zdarzenie A i
zdarzenie B , czyli iloczyn
B
A ∩
. Ponieważ zdarzenia te są niezależne zatem
(
)
( ) ( )
81
,
0
2
=
=
=
∩
p
B
P
A
P
B
A
P
.
Przy połączeniu równoległym sygnał zostanie przekazany, jeśli nastąpi zdarzenie A lub
zdarzenie B , czyli suma
B
A ∪
. Ponieważ zdarzenia są niezależne mamy
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
99
,
0
2
2
=
−
=
−
+
=
∪
p
p
B
P
A
P
B
P
A
P
B
A
P
.
Uwaga 6.
Niezawodność elementu określamy jako prawdopodobieństwo tego, że wykonuje on
poprawnie swoja pracę w ciągu pewnego określonego czasu.
Wówczas powyższy przykład można sformułować następująco:
Obliczyć niezawodność układu złożonego z dwu przekaźników połączonych szeregowo lub
równolegle, przy założeniu, że przekaźniki działają niezależnie i niezawodność każdego z
nich równa jest p .
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Prawdopodobieństwo warunkowe
Prawdopodobieństwo warunkowe
35. Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite, Studia, Semestr VI, licen
inne, Pamięć2, WARUNKOWANIE INSTRUMENTALNE (sprawcze): proces, w którym reakcja staje się mniej lub
PRAWDOPODOBIEŃSTWO KLASYCZNE I WARUNKOWE
TNiB, Teoria z TNiB-ów (18.08.2007), Intensywność uszkodzeń - l(t) - jest to warunkowe prawdopodobie
05 Instrukcje warunkoweid 5533 ppt
Prawdopodobieństwo
5 Warunki ewakuacji (PPTminimizer)
Opracowanka, warunkowanie
Czynniki warunkujące zdrowie
zakresy ruchów w stawach w warunkach normy i patologii
więcej podobnych podstron