1

Prawdopodobieństwo warunkowe

Przykład

Rzucamy 1 raz kostką do gry, przy czym interesuje nas rpawdopodobieństwo zdarzenia A - wypadnie liczba
oczek ¬ 3. Oczywiście Ω = {ω

1

, ω

2

, ω

3

, ω

4

, ω

5

, ω

6

} oraz A = {ω

1

, ω

2

, ω

3

} Zgodnie z klasyczną definicją prawdo-

podobieństwa ?? mamy

P [A] =

n(A)

n

=

3

6

=

1

2

Przypuścmy teraz, że nie znamy dokłądnego wyniku rzutu ale ktoś inny poinformował naz, że zaszło zdarzenie
B - na kostce wypadła niepażysta liczba oczek. Czy prawdopodobieństwo zdarzenia A jest teraz takie samo?
Zauważmy, że jako pzestrzeń zdarzeń elementarnych można w tej sytuacji przyjąć B = {ω

1

, ω

3

, ω

5

}, natomiast

zajścio zdarzenia A sprzyjają 2 zdarzenia elementarne ze zbioru B, tj {ω

1

, ω

2

} = A ∩ B. Tak więc naturalną

rzeczą jest przyjąć, że prawdopodobieństwo zdarzenia A przy warunku, że zaszło zdarzenie B kest równe

P [A|B] =

n(A ∩ B)

n(B)

=

2

3

=

n(A∩B)

n

n(B)

n

=

P [A ∩ B]

P [B]

Niech B ∈ F będzie wolnym zdarzeniem o dodatnik prawdopodobieństwie, P [B] > 0. Wtedy prawdopodobieńś-
two dowolnego zdarzenia A ∈ F przy warunku, że zdarzenie B definiujemy wzorem

P [A|B] =

P [A ∩ B]

P [B]

(1.1)

Tw. Dla ustalonego zdarzenia B ∈ F takiego, że P [B] > 0, funkcja P [.|B] : F → R spełnia aksjomaty prawdopo-
dobieństwa (oczywiście zakładając, że wyjściowe funkcje P : F → R spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa).

Dowód

??

V

A∈F

P [A|B] ­ 0

Rzeczywiście P [A|B] =

P [A∩B]

P [B]

­ 0 dla każdego A ∈ F

?? Niech A

1

, A

2

, . . . ∈ F , oraz A

i

∩ A

j

= ∅ dla i 6= j. Wtedy A

1

∩ B, A

2

∩ B, . . . ∈ F i są to zbiory roz-

łączne (A

i

∩ B) ∩ (A

j

∩ B) = (A

i

∩ A

j

) ∩ B = ∅ dla i 6= j.

Kożystając z ?? aksjomaty prawdopodobieństwa dla funkcji P stwierdzamy, że

P [

∞

[

n=1

A

n

|B] =

P [(

∞

S

n=1

A

n

) ∩ B]

P [B]

=

P [

∞

S

n=1

(A

n

∩ B)]

P [B]

??

=

∞

P

n=1

P [A

n

∩ B]

P [B]

=

∞

X

n=1

P [A

n

∩ B]

P [B]

=

∞

X

n=1

P [A

n

|B]

?? P [Ω|B] =

P [Ω∩B]

P [B]

=

P [B]
P [B]

= 1

1