3-1
3. Fale EM w dielektryku idealnym i stratnym
3.1. Równanie falowe w dielektryku idealnym
W obszarach ośrodka materialnego, w których nie ma ładunków swobod-
nych i prądów swobodnych, równania Maxwella mają postać przedstawio-
ną w pierwszej kolumnie tabeli 3.1. Ośrodek ten można nazwać idealnym
dielektrykiem (σ = 0) bez źródeł. W ośrodku liniowym
ε
=
D
E i
μ
=
B
H
i jednorodnym równania Maxwella redukują się do postaci podanej
w drugiej kolumnie tabeli 3.1.
Tabela 3.1. Równania Maxwella (materia) bez swobodnych ładunków i prądów
Postać ogólna
Ośrodek liniowy
i jednorodny
t
∂
∇ × =
∂
D
H
t
με
∂
∇ × =
∂
E
B
(3.1a)
prawo Ampère’a
z poprawką Maxwella
t
∂
∇ × = −
∂
B
E
t
∂
∇ × = −
∂
B
E
(3.1b)
prawo Faradaya
0
∇ ⋅ =
D
0
∇ ⋅ =
E
(3.1c) prawo Gaussa
0
∇ ⋅ =
B
0
∇ ⋅ =
B
(3.1d) bez nazwy
Zależność (3.1a) poddajemy rotacji
(
)
t
με
∂
⎛
⎞
∇ × ∇ ×
= ∇ × ⎜
⎟
∂
⎝
⎠
E
B
stosujemy tożsamość (5) z tabeli 1.3 i zmieniamy kolejność operatorów
2
(
)
(
)
t
με
∂
∇ ∇ ⋅
− ∇
=
∇ ×
∂
B
B
E
wykorzystujemy (3.1b)
2
2
2
(
)
t
με
∂
∇ ∇ ⋅
− ∇
= −
∂
B
B
B
a następnie (3.1d) i przenosimy wszystkie składniki na jedną stronę
2
2
2
0
t
με
∂
∇ −
=
∂
B
B
(3.2a)
Podobnie postępując z (3.1b) otrzymujemy
2
2
2
0
t
με
∂
∇ −
=
∂
E
E
(3.2b)
3-2
Otrzymaliśmy oddzielne (tzw. rozprzężone) równania różniczkowe dru-
giego rzędu dla E i B nazywane wektorowymi równaniami falowymi.
W układzie kartezjańskim każda składowa pól E i B spełnia skalarne
równanie falowe
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
0
i
i
i
i
E
E
E
E
x
x
x
t
∂
∂
∂
∂
+
+
−
=
∂
∂
∂
∂
v
dla i = 1, 2, 3
(3.3a)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
0
i
i
i
i
B
B
B
B
x
x
x
t
∂
∂
∂
∂
+
+
−
=
∂
∂
∂
∂
v
dla i = 1, 2, 3
(3.3b)
Prędkość rozchodzenia się fal elektromagnetycznych w liniowym jedno-
rodnym dielektryku idealnym wyrażona jest zależnością
r
r 0 0
1
1
c
n
εμ
ε μ ε μ
=
=
=
v
(3.4)
gdzie
8
0 0
1
m
3,0 10
s
c
ε μ
=
≈
⋅
oraz
r
r
n
ε μ
≡
.
Oznaczenie n to współczynnik załamania ośrodka materialnego. Dla
większości materiałów μ
r
jest bliskie jedności i dlatego
r
n
ε
≅
.
3.2. Płaska fala monochromatyczna
Ważne miejsce w teorii fal ma rozwiązanie wektorowego równania falo-
wego (3.2b) w postaci płaskiej fali monochromatycznej:
j(
)
0
( , )
t
t
e
⋅ −
=
k r
E r
E
ω
(3.5)
gdzie
0
01
02
03
ˆ
ˆ
ˆ
E
E
E
=
+
+
E
x
y
z
,
1
2
3
ˆ
ˆ
ˆ
x
x
x
=
+
+
r x
y
z
,
1
2
3
ˆ
ˆ
ˆ
k
k
k
=
+
+
k x
y
z
.
Wielkości E
0i
dla i = 1, 2, 3 są amplitudami w odpowiednich kierunkach
układu kartezjańskiego.
Dla fali płaskiej powierzchnie falowe (powierzchnie o jednakowej fa-
zie) są płaszczyznami wzajemnie równoległymi. Postać fali płaskiej jest
szczególnie użyteczna z matematycznego punktu widzenia.
Podstawiając (3.5) do równania falowego (3.2b) uzyskujemy zależ-
ność między długością wektora falowego k a pulsacją
ω
, czyli tzw. zależ-
ność dyspersyjną:
2
2
j(
)
j(
)
0
0
2
0
t
t
e
e
k
t
ω
ω
ω
με
⋅ −
⋅ −
∂
∇
−
= ⇒ =
∂
k r
k r
E
E
v
(3.6)
Powyższa zależność liniowa oznacza, że dielektryk idealny jest ośrodkiem
niedyspersyjnym.
Przykład: Wyznaczyć rotację, dywergencję oraz laplasjan dla płaskiej
fali monochromatycznej danej wzorem (3.5).
3-3
Rozwiązanie. Zauważamy, że E
0i
dla i = 1, 2, 3 nie zależą od współrzęd-
nych. Wyznaczając operatory różniczkowe obliczamy pochodne cząstko-
we wyłącznie członu eksponencjalnego, np. po współrzędnej x
1
1 1
2 2
3 3
j(
)
j(
)
j(
)
1
1
1
j
k x k x
k x
t
t
t
e
e
k e
x
x
ω
ω
ω
+
+
−
⋅ −
⋅ −
∂
∂
=
=
∂
∂
k r
k r
a po współrzędnej x
i
, i = 1, 2, 3
j(
)
j(
)
0
0
j
t
t
i
i
e
k
e
x
ω
ω
⋅ −
⋅ −
∂
=
∂
k r
k r
E
E
Dywergencja (3.5) to z definicji
j(
)
j(
)
j(
)
01
02
03
1
2
3
j(
)
j(
)
j(
)
1 01
2
02
3
03
j
j
j
t
t
t
t
t
t
E e
E e
E e
x
x
x
k E e
k E e
k E e
ω
ω
ω
ω
ω
ω
⋅ −
⋅ −
⋅ −
⋅ −
⋅ −
⋅ −
∂
∂
∂
+
+
=
∂
∂
∂
+
+
k r
k r
k r
k r
k r
k r
stąd
j(
)
j(
)
0
0
j
t
t
e
e
ω
ω
⋅ −
⋅ −
∇ ⋅
=
⋅
k r
k r
E
k E
(3.7)
Pierwsza składowa rotacji (3.5) to
j(
)
j(
)
03
02
2
3
j(
)
j(
)
2
03
3
02
j
j
t
t
t
t
E e
E e
x
x
k E e
k E e
ω
ω
ω
ω
⋅ −
⋅ −
⋅ −
⋅ −
∂
∂
−
=
∂
∂
−
k r
k r
k r
k r
pozostałe składowe uzyskujemy przez cykliczną zamianę wskaźników.
Stąd rotacja
j(
)
j(
)
0
0
j
t
t
e
e
ω
ω
⋅ −
⋅ −
∇ ×
=
×
k r
k r
E
k E
(3.8)
Druga pochodna
2
j(
)
2
j(
)
0
2
t
t
i
i
e
k
e
x
ω
ω
⋅ −
⋅ −
∂
= −
∂
k r
k r
E
stąd laplasjan (3.5)
2
j(
)
2
2
2
j(
)
2
j(
)
0
1
2
3
0
0
(
)
t
t
t
e
k
k
k
e
k
e
ω
ω
ω
⋅ −
⋅ −
⋅ −
∇
= −
+
+
= −
k r
k r
k r
E
E
E
(3.9)
3.3. Właściwości płaskiej fali monochromatycznej
Równania falowe (3.2) zostały wyprowadzone z równań Maxwella. Każde
rozwiązanie równań Maxwella (dla dielektryka idealnego) musi więc speł-
niać równanie falowe, ale twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe —
równania Maxwella nakładają dodatkowe ograniczenia na E i B.
W szczególności, rozpatrując płaską falę monochromatyczną rozcho-
dzącą się w kierunku
ˆk
, ponieważ
0
∇ ⋅ =
B
i
0,
∇ ⋅ =
E
więc
ˆ
0
⋅ =
k E
i
ˆ
0
⋅ =
k B
(3.10)
3-4
Oznacza to, że zarówno wektor natężenia pola elektrycznego jak i wektor
indukcji magnetycznej są prostopadłe do kierunku propagacji. Takie fale
nazywamy poprzecznymi elektromagnetycznymi (TEM – transverse
electromagnetic).
Z prawa Faradaya
t
∂
∇ × = −
∂
B
E
wynika dodatkowo związek
1 ˆ
(
)
=
×
B
k E
v
. (3.11)
Przykład: Wyprowadzić zależność (3.11).
Rozwiązanie: Podstawiamy do prawa Faradaya
ˆ
:
j
j
L
k
∇ × =
× =
×
E
k E
k E
:
j
P
t
ω
∂
−
=
∂
B
B
Podstawiając z (3.6) zależność dyspersyjną k
ω
=
v
uzyskujemy (3.11).
3.4. Impedancja falowa i impedancja właściwa ośrodka
Definicja: Impedancją właściwą ośrodka bezstratnego nazywamy wiel-
kość
Z
μ
ε
=
(3.12)
Wprowadza się też impedancję właściwą próżni
0
0
0
120
377 .
Z
μ
ε
=
≈
πΩ ≈
Ω (3.13)
Za pomocą impedancji właściwej ośrodka można zapisać zależność mię-
dzy natężeniem pola magnetycznego H a natężeniem pola elektrycznego E
dla fali płaskiej typu TEM w postaci
1 ˆ
(
)
=
×
H
k E
Z
. (3.13)
Definicja: Impedancją falową nazywamy stosunek prostopadłych do kie-
runku rozchodzenia się fali składowych natężenia pola elektrycznego
i magnetycznego:
f
E
Z
H
⊥
⊥
=
(3.14)
Ze wzoru (3.13) wynika, że dla fali TEM impedancja falowa jest równa
impedancji właściwej ośrodka Z
f
= Z.
3-5
3.5. Równanie falowe w ośrodku stratnym
Rozważmy liniowy, jednorodny ośrodek materialny w których istnieją ła-
dunki swobodne ρ, a gęstość prądu swobodnego J jest, zgodnie z prawem
Ohma, proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego
σ
=
J
E. W takim
ośrodku, podobnie jak dla idealnego dielektryka
ε
=
D
E i
μ
=
B
H
i równania Maxwella przyjmują postać podaną w pierwszej kolumnie tabe-
li 3.2. Można wykazać, że w ośrodku o niezerowej konduktywności σ po-
czątkowa gęstość ładunku swobodnego ρ
0
(0) zanika z czasem wg wzoru
0
0
( )
(0)exp
t
t
σ
ρ
ρ
ε
⎛
⎞
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
. (3.15)
Wielkość
τ ε σ
≡
jest tzw. czasem relaksacji. Dla miedzi (dobry prze-
wodnik) jest on rzędu 10
–19
s, dla „słabych” przewodników jest znacznie
dłuższy, ale w końcu gęstość ładunku swobodnego zanika. Po tym okresie
przejściowym przyjmujemy ρ
0
= 0 i równania Maxwella przyjmują postać
podaną w drugiej kolumnie tabeli 3.2.
Tabela 3.2. Równania Maxwella w ośrodku stratnym
Ośrodek liniowy
i jednorodny
Ten sam ośrodek po „rozpłynię-
ciu” ładunku swobodnego ρ
0
t
μσ
με
∂
∇ × =
+
∂
E
B
E
t
μσ
με
∂
∇ × =
+
∂
E
B
E
(3.16a)
prawo Ampère’a
z poprawką
Maxwella
t
∂
∇ × = −
∂
B
E
t
∂
∇ × = −
∂
B
E
(3.16b)
prawo Faradaya
1
ρ
ε
∇ ⋅ =
E
0
∇ ⋅ =
E
(3.16c)
prawo Gaussa
0
∇ ⋅ =
B
0
∇ ⋅ =
B
(3.16d)
bez nazwy
Przykład. Wykazać słuszność wzoru (3.15).
Wskazówka. Korzystamy z równania ciągłości dla ładunku swobodnego
0
t
ρ
∂
∇ ⋅ +
=
∂
J
a następnie z prawa Ohma w postaci różniczkowej i prawa Gaussa.
3-6
Analogicznie jak dla ośrodków bezstratnych stosując rotację do (3.16a)
oraz (3.16b) otrzymujemy
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
t
t
t
t
μσ
με
μσ
με
μσ
με
∂
⎛
⎞
∇ × ∇ ×
= ∇ ×
+
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
∂
∇ ∇ ⋅
− ∇
=
∇ ×
+
∇ ×
∂
∂
∂
−∇
= −
−
∂
∂
E
B
E
B
B
E
E
B
B
B
oraz
2
2
(
)
(
)
(
)
t
t
t
t
μσ
με
∂
⎛
⎞
∇ × ∇ ×
= ∇ × −
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
∂
∇ ∇ ⋅
− ∇
= −
∇ ×
∂
∂
∂
⎛
⎞
−∇ = −
+
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
B
E
E
E
B
E
E
E
Wykorzystaliśmy tożsamość (5) z tabeli 1.3 oraz
0
∇ ⋅ =
B
i
0,
∇ ⋅ =
E
stąd
2
2
2
0
t
t
μσ
με
∂
∂
∇ −
−
=
∂
∂
E
E
E
(3.17a)
2
2
2
0
t
t
μσ
με
∂
∂
∇ −
−
=
∂
∂
B
B
B
(3.17b)
Podobnie jak dla ośrodka bezstratnego otrzymaliśmy identyczne w swej
postaci rozprzężone równania falowe dla pól E i B.
3.6. Płaska fala monochromatyczna w ośrodku stratnym
Poszukajmy rozwiązania równań (3.17) w postaci fali płaskiej monochro-
matycznej:
j(
)
0
( , )
t
t
e
ω
⋅ −
=
K r
E r
E
,
j(
)
0
( , )
t
t
e
ω
⋅ −
=
K r
B r
B
(3.18)
Skoncentrujmy naszą uwagę na polu elektrycznym E. Podstawiając (3.18)
do (3.17)
2
2
j
0
K
μσω μεω
−
+
+
=
2
2
2
2
2
j
1 j
1 j
K
σ
ω
σ
μσω μεω
μεω
εω
εω
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
=
+
=
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
v
2
2
1 j
K
k
σ
εω
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
oraz
k
ω
=
v
(3.19)
uzyskujemy równanie dyspersyjne.
3-7
Obliczając pierwiastek z tego wyrażenia otrzymujemy
1 j
j
K k
σ
α
β
εω
=
+
= +
(3.20)
gdzie
2
2
1
1
1
1
,
2
2
k
k
σ
σ
εω
εω
α
β
⎛
⎞
⎛
⎞
+
+
+
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
=
=
(3.21)
Wektor K nazywany jest zespolonym wektorem propagacji. We wzo-
rze (3.18), a wcześniej (3.5) wprowadzając jednostkę urojoną „j” przyjęli-
śmy wygodniejszy do obliczeń zespolony zapis fali monochromatycznej.
Jak widać „zapłaciliśmy” za to przekształceniem wektorów E i B oraz K
w wektory zespolone, które nie mają sensu fizycznego i nie należy im
przypisywać właściwości geometrycznych.
Przykład. Równanie falowe w ośrodku stratnym w przybliżeniu har-
monicznym.
Wektorowe równanie falowe w dielektryku idealnym ma postać
2
2
2
( , )
( , )
0
t
t
t
∂
∇
−
=
∂
E r
E r
με
W przybliżeniu harmonicznym można je zapisać jako
2
2
( , )
( , ) 0
∇
+
=
E r
E r
ω
ω με
ω
Dla ośrodka stratnego wprowadzając formalnie zamiast przenikalności
dielektrycznej
ε
zespoloną przenikalność dielektryczną ε
1 j
⎛
⎞
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
σ
ε ε
ωε
otrzymujemy
2
2
0
∇ +
=
E
E
ω με
Pozwala to na wyznaczenie zamiast liczby falowej
k
= ω εμ
, zespolonej
liczby falową K w postaci
1 j
j
K
k
≡
=
−
= −
σ
ω εμ
α
β
ωε
gdzie
2
2
1
1
1
1
,
2
2
k
k
⎛
⎞
⎛
⎞
+
+
+
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
=
=
σ
σ
εω
εω
α
β
3-8
3.7. Właściwości płaskiej fali monochromatycznej w ośrodku stratnym
Bez straty ogólności możemy tak zorientować układ współrzędnych
aby rozwiązaniem równania (3.17) były postaci
3
~ exp( j
)
Kx
E
albo
3
~ exp( j
)
Kx
−
E
. Występują dwa znaki, ze względu na kwadratową zależ-
ność we wzorze (3.19). Jeżeli szukamy fali płaskiej monochromatycznej
poruszającej się w dodatnim kierunku osi x
3
to rozwiązanie równania
(3.17) może być zapisane w postaci
3
3
3
j(
)
j(
)
3
0
0
( , )
e
e
e
Kx
t
x
x
t
x t
ω
β
α
ω
−
−
−
=
=
E
E
E
(3.22a)
Postępując analogicznie dla pola B otrzymujemy
3
3
3
j(
)
j(
)
3
0
0
( , )
e
e
e
Kx
t
x
x
t
x t
ω
β
α
ω
−
−
−
=
=
B
B
B
(3.22b)
Jak widać część urojona β wielkości K prowadzi do tłumienia fali. Z wiel-
kością tą wiąże się głębokość wnikania δ
w
1
w
δ
β
=
(3.23)
Część rzeczywista wielkości K określa następujące parametry fali:
• długość fali
2
λ
α
π
=
(3.24)
• prędkość rozchodzenia się (prędkość fazową)
f
ω
α
=
v
(3.25)
• współczynnik załamania
c
n
α
ω
=
(3.26)
Przykład. Moduł i część rzeczywista wektora zespolonego E.
Wektor zespolony E można zapisać w postaci sumy dwóch wektorów rze-
czywistych
Re( ) j Im( )
=
+
E
E
E
Modułem wektora zespolonego nazywamy wyrażenie o postaci
*
=
⋅
E
E E
.
Część rzeczywistą wektora zespolonego można obliczyć z wyrażenia
*
Re( )
2
+
=
E E
E
.
Przykład. Wychodząc z równania (3.20) wyznaczyć α i β w postaci
podanej w (3.21).
3-9
Tłumione fale płaskie (3.22) spełniają zmodyfikowane równania falowe
(3.17) dla dowolnych wartości E
0
i B
0
. Ale równania Maxwella nakładają
dodatkowe ograniczenia, które pozwalają określić względne amplitudy,
fazy i polaryzacje E i B.
Analogicznie jak w ośrodku bezstratnym rozpatrując falę płaską roz-
chodzącą się w kierunku dodatnim osi x
3
, ponieważ
0
∇ ⋅ =
B
i
0,
∇ ⋅ =
E
więc
3
0
E
=
i
3
0
B
=
(3.27)
Tłumione fale płaskie, podobnie jak w dielektryku idealnym są także po-
rzecznymi elektromagnetycznymi (TEM – transverse electromagnetic).
Możemy tak zorientować osie układu współrzędnych aby natężenie pola
elektrycznego E było spolaryzowane wzdłuż osi x
1
3
3
j(
)
3
01
ˆ
( , )
e
e
x
x
t
x t
E
β
α
ω
−
−
=
E
x
(3.28)
wtedy z prawa Faradaya
t
∂
∇ × = −
∂
B
E
otrzymujemy
3
3
j(
)
3
01
ˆ
( , )
e
e
x
x
t
K
x t
E
β
α
ω
ω
−
−
=
B
y
(3.29)
(z prawa Ampère’a z poprawką Maxwella wynika to samo). Jak widać po-
la E i B są do siebie prostopadłe.
3.8. Wyznaczenie rzeczywistych pól E i B
Wektory opisane równaniami (3.28) i (3.29) są zespolone i nie mają sensu
fizycznego. Sens fizyczny mają części rzeczywiste tych wektorów. Aby je
wyznaczyć zastosujemy przedstawienie zespolonych wielkości za pomocą
ich modułu i fazy:
01
0
0
0
0
01
0
0
exp j
;
exp j
exp j
exp j(
)
exp j
E
E
E
B
E
E
K
K
K E
E
E
B
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ω
ω
ω
=
=
=
+
=
(3.30)
W powyższych wyrażeniach wielkości E
0
, B
0
, K
0
są wielkościami rze-
czywistymi przy czym
2
2
2
2
4
0
1
1
K
K
k
σ
σ
α
β
ω με
εω
εω
⎛
⎞
⎛
⎞
≡
=
+
=
+
=
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
oraz
arctg
β
ϕ
α
⎛ ⎞
≡
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(3.31)
3-10
Jak widać ze wzoru (3.30)
B
E
ϕ
ϕ
ϕ
−
=
tak więc pole magnetyczne opóź-
nia się względem pola elektrycznego. Rzeczywiste amplitudy wielkości E
i B są powiązane zależnością
2
0
0
0
1
B
K
E
σ
με
ω
εω
⎛
⎞
=
=
+ ⎜
⎟
⎝
⎠
(3.32)
Stąd rzeczywiste pola E i B dla fali płaskiej w ośrodku stratnym mają po-
stać
3
3
3
0
3
3
0
3
ˆ
( , )
e
cos(
)
ˆ
( , )
e
cos(
)
x
E
x
E
x t
E
x
t
x t
B
x
t
β
β
α
ω ϕ
α
ω ϕ
ϕ
−
−
=
−
+
=
−
+
+
E
x
B
y
(3.33)
3.9. Przybliżenie słabego przewodnika (dielektryk o małych stratach)
Rozważmy ośrodek o małych stratach, tzn. dla którego
1
σ
εω
<<
.
Dla obliczenia α i β wykorzystamy rozwinięcie w szereg Maclaurina wy-
rażenia
2
1
1
1
2
8
2
1
1
1
u
u
u
u
+ = +
−
+
≈ +
…
gdzie
2
u
σ
εω
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
. W tym przypadku
2
2
2
1
1
,
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
k
k
k
k
k
σ
εω
α
ω με
σ
σ
ω με
σ
σ
σ μ
εω
εω
β
εω
εω
ε
⎛
⎞
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
=
≈ =
⎛
⎞
⎛
⎞
+
−
+
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
=
≈
=
=
=
3-11
Wynika stąd, że współczynnik tłumienia β w przybliżeniu nie zależy od
częstotliwości. Natomiast współczynnik fazy α, a co za tym idzie prędkość
fazowa i długość fali
f
1
2
2
2
;
k
k
ω ω
λ
α
α
με
ω με
π
π
π
=
≈
=
=
≈
=
v
są w przybliżeniu identyczne w ośrodku małostratnym i bezstratnym. Mo-
żemy także zaniedbać przesunięcie fazowe pola magnetycznego względem
elektrycznego, ponieważ
1
2
tg
0
0
2
k
k
σ
β
σ
εω
ϕ
ϕ
α
εω
=
≈
=
≈ ⇒ ≈ .
Pola elektryczne i magnetyczne fali płaskiej w ośrodku bezstratnym
i małostratnym przedstawia rysunek 3.1.
Rys. 3.1. Płaska fala elektromagnetyczna w ośrodku bezstratnym i małostratnym
3.10. Przybliżenie rzeczywistego przewodnika
Przewodniki charakteryzują się bardzo dużą konduktywnością i możemy
założyć, że
1
σ
εω
>> .
Wykorzystując to przybliżenie dla obliczenia α
2
2
1
1
2
2
2
2
2
k
k
k
σ
σ
σ
σ
ωμσ
εω
εω
α
ω με
εω
εω
⎛
⎞
⎛
⎞
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
=
≈
=
=
=
3-12
i analogicznie β
2
1
1
2
2
k
σ
ωμσ
εω
β
⎛
⎞
+
−
⎜
⎟
⎝
⎠
=
≈
wyznaczamy prędkość fazową i długość fali
f
2
2
2
2
;
2
2
ω
ω
ω
λ
α
μσ
α
ωμσ
ωμσ
ωμσ
π
π
π
=
≈
=
=
≈
=
v
Jak widać prędkość fazowa zależy od częstotliwości. Ten efekt nazywamy
dyspersją.
Można obliczyć przesunięcie fazowe czyli kąt o jaki pole magnetyczne
opóźnia się względem pola elektrycznego
tg
1
4
β
ϕ
ϕ
α
π
=
≈ ⇒ ≈ .
Głębokość wnikania maleje wraz ze wzrostem częstotliwości zgodnie ze
wzorem
1
2
w
δ
β
ωμσ
=
=
Szczególnie dla dużych częstotliwości (rzędu mega- i gigaherców) głębo-
kość wnikania jest bardzo mała. Mówimy wtedy o zjawisku naskórkowo-
ści.
Pola elektryczne i magnetyczne fali płaskiej w ośrodku stratnym
przedstawia rysunek 3.2.
Rys. 3.2. Płaska fala elektromagnetyczna w przewodniku rzeczywistym.
3-13
3.11. Zespolona
przenikalność elektryczna i magnetyczna
Gdy zależność pól E i H dana jest przez czynnik exp( j t)
ω
−
dogodnie jest
dysponować oznaczeniami dla części rzeczywistej i urojonej obu przeni-
kalność. Przyjęły się następujące oznaczenia
1
:
j
ε ε
ε
′
′′
= +
,
j
μ μ
μ
′
′′
=
+
W niektórych podręcznikach zależność od czasu jest dana przez czynnik
exp( j t)
ω
+
; przyjmuje się wtedy oznaczenia
j
ε ε
ε
′
′′
= −
,
j
μ μ
μ
′
′′
=
−
Dysponując tymi definicjami można omówić zjawisko strat mocy fali na
przykładzie strat elektrycznych.
Całkowity prąd (przewodzenia i przesunięcia) w dielektryku dla pól
proporcjonalnych do exp( j t)
ω
−
ma gęstość wyrażającą się wzorem
j (
j )
(
)
j
σ
ω ε
ε
σ ωε
ωε
′
′′
′′
′
=
−
+
=
+
+
j
E
E
E
E
Składowa prądu będąca w fazie z polem elektrycznym, czyli propor-
cjonalna do (
)
σ ωε
′′
+
E
wywołuje straty mocy, natomiast składowa prądu
proporcjonalna do (
)
ωε
′
E
powoduje magazynowanie energii.
Definiuje się wielkość zwaną tangensem kąta stratności (w tym przy-
padku stratności elektrycznej) jako stosunek tych dwóch składowych
tg
ε
σ ωε
δ
ωε
′′
+
=
′
Wzór ten jest szczególnie ważny przy dużych częstościach (decyduje licz-
nik). Natomiast przy małych częstościach pomija się składową urojoną
przenikalności elektrycznej i o stratach decyduje konduktywność ośrodka.
Wzór powyższy przyjmuje wtedy prostszą postać
tg
ε
σ
δ
ωε
=
W ośrodkach ferromagnetycznych rozważa się też starty magnetyczne i
wprowadza analogicznie tangens kąta stratności magnetycznej
tg
μ
ωμ
μ
δ
ωμ
μ
′′
′′
=
=
′
′
Zwróćmy uwagę, że dzięki odmiennym definicjom zespolonych prze-
nikalności, definicje kątów stratności są jednakowe zarówno dla pól pro-
porcjonalnych do exp( j t)
ω
−
jak i do exp( j t)
ω
+
.
1
K. Bochenek, „Metody analizy pól elektromagnetycznych” PWN Warszawa, Wrocław 1961 str. 13.
3-14
3.12.
Impedancja falowa i impedancja właściwa ośrodka stratnego
Definicja: Impedancją właściwą ośrodka stratnego nazywamy wielkość
j
j
Z
ωμ
σ
ωε
=
+
Definicja: Impedancją falową ośrodka stratnego nazywamy stosunek pro-
stopadłych do siebie i kierunku rozchodzenia się fali wektorów zespolo-
nych pola elektrycznego i magnetycznego:
f
E
Z
H
⊥
⊥
=
Można wykazać, podobnie jak dla fali TEM w ośrodku idealnym, że im-
pedancja falowa jest równa impedancji właściwej ośrodka:
2
2
1
2
f
2
2
1
2
.
E
E
Z
Z
H
H
+
=
=
+
Inne definicje
Definicja. Impedancja falowa (charakterystyczna) – stosunek napięcia do
prądu fali docelowej w płaszczyźnie poprzecznej do osi toru transmisyjne-
go.
Definicja: Impedancja – całkowity opór (pozorny) stawiany przez element,
obwód, kabel przepływowi prądu przemiennego o określonej częstotliwo-
ści.