3-1

3. Fale EM w dielektryku idealnym i stratnym

3.1. Równanie falowe w dielektryku idealnym

W obszarach ośrodka materialnego, w których nie ma ładunków swobod-
nych i prądów swobodnych, równania Maxwella mają postać przedstawio-
ną w pierwszej kolumnie tabeli 3.1. Ośrodek ten można nazwać idealnym
dielektrykiem (σ = 0) bez źródeł. W ośrodku liniowym

ε

=

D

E i

μ

=

B

H

i jednorodnym równania Maxwella redukują się do postaci podanej
w drugiej kolumnie tabeli 3.1.

Tabela 3.1. Równania Maxwella (materia) bez swobodnych ładunków i prądów

Postać ogólna

Ośrodek liniowy

i jednorodny

t

∂

∇ × =

∂

D

H

t

με

∂

∇ × =

∂

E

B

(3.1a)

prawo Ampère’a
z poprawką Maxwella

t

∂

∇ × = −

∂

B

E

t

∂

∇ × = −

∂

B

E

(3.1b)

prawo Faradaya

0

∇ ⋅ =

D

0

∇ ⋅ =

E

(3.1c) prawo Gaussa

0

∇ ⋅ =

B

0

∇ ⋅ =

B

(3.1d) bez nazwy

Zależność (3.1a) poddajemy rotacji

(

)

t

με

∂

⎛

⎞

∇ × ∇ ×

= ∇ × ⎜

⎟

∂

⎝

⎠

E

B

stosujemy tożsamość (5) z tabeli 1.3 i zmieniamy kolejność operatorów

2

(

)

(

)

t

με

∂

∇ ∇ ⋅

− ∇

=

∇ ×

∂

B

B

E

wykorzystujemy (3.1b)

2

2

2

(

)

t

με

∂

∇ ∇ ⋅

− ∇

= −

∂

B

B

B

a następnie (3.1d) i przenosimy wszystkie składniki na jedną stronę

2

2

2

0

t

με

∂

∇ −

=

∂

B

B

(3.2a)

Podobnie postępując z (3.1b) otrzymujemy

2

2

2

0

t

με

∂

∇ −

=

∂

E

E

(3.2b)

3-2

Otrzymaliśmy oddzielne (tzw. rozprzężone) równania różniczkowe dru-
giego rzędu dla E i B nazywane wektorowymi równaniami falowymi.
W układzie kartezjańskim każda składowa pól E i B spełnia skalarne
równanie falowe

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

3

1

0

i

i

i

i

E

E

E

E

x

x

x

t

∂

∂

∂

∂

+

+

−

=

∂

∂

∂

∂

v

dla i = 1, 2, 3

(3.3a)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

3

1

0

i

i

i

i

B

B

B

B

x

x

x

t

∂

∂

∂

∂

+

+

−

=

∂

∂

∂

∂

v

dla i = 1, 2, 3

(3.3b)

Prędkość rozchodzenia się fal elektromagnetycznych w liniowym jedno-
rodnym dielektryku idealnym wyrażona jest zależnością

r

r 0 0

1

1

c

n

εμ

ε μ ε μ

=

=

=

v

(3.4)

gdzie

8

0 0

1

m

3,0 10

s

c

ε μ

=

≈

⋅

oraz

r

r

n

ε μ

≡

.

Oznaczenie n to współczynnik załamania ośrodka materialnego. Dla
większości materiałów μ

r

jest bliskie jedności i dlatego

r

n

ε

≅

.

3.2. Płaska fala monochromatyczna

Ważne miejsce w teorii fal ma rozwiązanie wektorowego równania falo-
wego (3.2b) w postaci płaskiej fali monochromatycznej:

j(

)

0

( , )

t

t

e

⋅ −

=

k r

E r

E

ω

(3.5)

gdzie

0

01

02

03

ˆ

ˆ

ˆ

E

E

E

=

+

+

E

x

y

z

,

1

2

3

ˆ

ˆ

ˆ

x

x

x

=

+

+

r x

y

z

,

1

2

3

ˆ

ˆ

ˆ

k

k

k

=

+

+

k x

y

z

.

Wielkości E

0i

dla i = 1, 2, 3 są amplitudami w odpowiednich kierunkach

układu kartezjańskiego.

Dla fali płaskiej powierzchnie falowe (powierzchnie o jednakowej fa-

zie) są płaszczyznami wzajemnie równoległymi. Postać fali płaskiej jest
szczególnie użyteczna z matematycznego punktu widzenia.

Podstawiając (3.5) do równania falowego (3.2b) uzyskujemy zależ-

ność między długością wektora falowego k a pulsacją

ω

, czyli tzw. zależ-

ność dyspersyjną:

2

2

j(

)

j(

)

0

0

2

0

t

t

e

e

k

t

ω

ω

ω

με

⋅ −

⋅ −

∂

∇

−

= ⇒ =

∂

k r

k r

E

E

v

(3.6)

Powyższa zależność liniowa oznacza, że dielektryk idealny jest ośrodkiem
niedyspersyjnym.

Przykład: Wyznaczyć rotację, dywergencję oraz laplasjan dla płaskiej
fali monochromatycznej danej wzorem (3.5).

3-3

Rozwiązanie. Zauważamy, że E

0i

dla i = 1, 2, 3 nie zależą od współrzęd-

nych. Wyznaczając operatory różniczkowe obliczamy pochodne cząstko-
we wyłącznie członu eksponencjalnego, np. po współrzędnej x

1

1 1

2 2

3 3

j(

)

j(

)

j(

)

1

1

1

j

k x k x

k x

t

t

t

e

e

k e

x

x

ω

ω

ω

+

+

−

⋅ −

⋅ −

∂

∂

=

=

∂

∂

k r

k r

a po współrzędnej x

i

, i = 1, 2, 3

j(

)

j(

)

0

0

j

t

t

i

i

e

k

e

x

ω

ω

⋅ −

⋅ −

∂

=

∂

k r

k r

E

E

Dywergencja (3.5) to z definicji

j(

)

j(

)

j(

)

01

02

03

1

2

3

j(

)

j(

)

j(

)

1 01

2

02

3

03

j

j

j

t

t

t

t

t

t

E e

E e

E e

x

x

x

k E e

k E e

k E e

ω

ω

ω

ω

ω

ω

⋅ −

⋅ −

⋅ −

⋅ −

⋅ −

⋅ −

∂

∂

∂

+

+

=

∂

∂

∂

+

+

k r

k r

k r

k r

k r

k r

stąd

j(

)

j(

)

0

0

j

t

t

e

e

ω

ω

⋅ −

⋅ −

∇ ⋅

=

⋅

k r

k r

E

k E

(3.7)

Pierwsza składowa rotacji (3.5) to

j(

)

j(

)

03

02

2

3

j(

)

j(

)

2

03

3

02

j

j

t

t

t

t

E e

E e

x

x

k E e

k E e

ω

ω

ω

ω

⋅ −

⋅ −

⋅ −

⋅ −

∂

∂

−

=

∂

∂

−

k r

k r

k r

k r

pozostałe składowe uzyskujemy przez cykliczną zamianę wskaźników.
Stąd rotacja

j(

)

j(

)

0

0

j

t

t

e

e

ω

ω

⋅ −

⋅ −

∇ ×

=

×

k r

k r

E

k E

(3.8)

Druga pochodna

2

j(

)

2

j(

)

0

2

t

t

i

i

e

k

e

x

ω

ω

⋅ −

⋅ −

∂

= −

∂

k r

k r

E

stąd laplasjan (3.5)

2

j(

)

2

2

2

j(

)

2

j(

)

0

1

2

3

0

0

(

)

t

t

t

e

k

k

k

e

k

e

ω

ω

ω

⋅ −

⋅ −

⋅ −

∇

= −

+

+

= −

k r

k r

k r

E

E

E

(3.9)

3.3. Właściwości płaskiej fali monochromatycznej

Równania falowe (3.2) zostały wyprowadzone z równań Maxwella. Każde
rozwiązanie równań Maxwella (dla dielektryka idealnego) musi więc speł-
niać równanie falowe, ale twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe —
równania Maxwella nakładają dodatkowe ograniczenia na E i B.

W szczególności, rozpatrując płaską falę monochromatyczną rozcho-

dzącą się w kierunku

ˆk

, ponieważ

0

∇ ⋅ =

B

i

0,

∇ ⋅ =

E

więc

ˆ

0

⋅ =

k E

i

ˆ

0

⋅ =

k B

(3.10)

3-4

Oznacza to, że zarówno wektor natężenia pola elektrycznego jak i wektor
indukcji magnetycznej są prostopadłe do kierunku propagacji. Takie fale
nazywamy poprzecznymi elektromagnetycznymi (TEM – transverse
electromagnetic).

Z prawa Faradaya

t

∂

∇ × = −

∂

B

E

wynika dodatkowo związek

1 ˆ

(

)

=

×

B

k E

v

. (3.11)

Przykład: Wyprowadzić zależność (3.11).

Rozwiązanie: Podstawiamy do prawa Faradaya

ˆ

:

j

j

L

k

∇ × =

× =

×

E

k E

k E

:

j

P

t

ω

∂

−

=

∂

B

B

Podstawiając z (3.6) zależność dyspersyjną k

ω

=

v

uzyskujemy (3.11).

3.4. Impedancja falowa i impedancja właściwa ośrodka

Definicja: Impedancją właściwą ośrodka bezstratnego nazywamy wiel-
kość

Z

μ
ε

=

(3.12)

Wprowadza się też impedancję właściwą próżni

0

0

0

120

377 .

Z

μ
ε

=

≈

πΩ ≈

Ω (3.13)

Za pomocą impedancji właściwej ośrodka można zapisać zależność mię-
dzy natężeniem pola magnetycznego H a natężeniem pola elektrycznego E
dla fali płaskiej typu TEM w postaci

1 ˆ

(

)

=

×

H

k E

Z

. (3.13)

Definicja: Impedancją falową nazywamy stosunek prostopadłych do kie-
runku rozchodzenia się fali składowych natężenia pola elektrycznego
i magnetycznego:

f

E

Z

H

⊥

⊥

=

(3.14)

Ze wzoru (3.13) wynika, że dla fali TEM impedancja falowa jest równa
impedancji właściwej ośrodka Z

f

= Z.

3-5

3.5. Równanie falowe w ośrodku stratnym

Rozważmy liniowy, jednorodny ośrodek materialny w których istnieją ła-
dunki swobodne ρ, a gęstość prądu swobodnego J jest, zgodnie z prawem
Ohma, proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego

σ

=

J

E. W takim

ośrodku, podobnie jak dla idealnego dielektryka

ε

=

D

E i

μ

=

B

H

i równania Maxwella przyjmują postać podaną w pierwszej kolumnie tabe-
li 3.2. Można wykazać, że w ośrodku o niezerowej konduktywności σ po-
czątkowa gęstość ładunku swobodnego ρ

0

(0) zanika z czasem wg wzoru

0

0

( )

(0)exp

t

t

σ

ρ

ρ

ε

⎛

⎞

=

−

⎜

⎟

⎝

⎠

. (3.15)

Wielkość

τ ε σ

≡

jest tzw. czasem relaksacji. Dla miedzi (dobry prze-

wodnik) jest on rzędu 10

–19

s, dla „słabych” przewodników jest znacznie

dłuższy, ale w końcu gęstość ładunku swobodnego zanika. Po tym okresie
przejściowym przyjmujemy ρ

0

= 0 i równania Maxwella przyjmują postać

podaną w drugiej kolumnie tabeli 3.2.

Tabela 3.2. Równania Maxwella w ośrodku stratnym

Ośrodek liniowy

i jednorodny

Ten sam ośrodek po „rozpłynię-

ciu” ładunku swobodnego ρ

0

t

μσ

με

∂

∇ × =

+

∂

E

B

E

t

μσ

με

∂

∇ × =

+

∂

E

B

E

(3.16a)

prawo Ampère’a
z poprawką
Maxwella

t

∂

∇ × = −

∂

B

E

t

∂

∇ × = −

∂

B

E

(3.16b)

prawo Faradaya

1

ρ

ε

∇ ⋅ =

E

0

∇ ⋅ =

E

(3.16c)

prawo Gaussa

0

∇ ⋅ =

B

0

∇ ⋅ =

B

(3.16d)

bez nazwy

Przykład. Wykazać słuszność wzoru (3.15).

Wskazówka. Korzystamy z równania ciągłości dla ładunku swobodnego

0

t

ρ

∂

∇ ⋅ +

=

∂

J

a następnie z prawa Ohma w postaci różniczkowej i prawa Gaussa.

3-6

Analogicznie jak dla ośrodków bezstratnych stosując rotację do (3.16a)
oraz (3.16b) otrzymujemy

2

2

2

2

(

)

(

)

(

)

(

)

t

t

t

t

μσ

με

μσ

με

μσ

με

∂

⎛

⎞

∇ × ∇ ×

= ∇ ×

+

⎜

⎟

∂

⎝

⎠

∂

∇ ∇ ⋅

− ∇

=

∇ ×

+

∇ ×

∂

∂

∂

−∇

= −

−

∂

∂

E

B

E

B

B

E

E

B

B

B

oraz

2

2

(

)

(

)

(

)

t

t

t

t

μσ

με

∂

⎛

⎞

∇ × ∇ ×

= ∇ × −

⎜

⎟

∂

⎝

⎠

∂

∇ ∇ ⋅

− ∇

= −

∇ ×

∂

∂

∂

⎛

⎞

−∇ = −

+

⎜

⎟

∂

∂

⎝

⎠

B

E

E

E

B

E

E

E

Wykorzystaliśmy tożsamość (5) z tabeli 1.3 oraz

0

∇ ⋅ =

B

i

0,

∇ ⋅ =

E

stąd

2

2

2

0

t

t

μσ

με

∂

∂

∇ −

−

=

∂

∂

E

E

E

(3.17a)

2

2

2

0

t

t

μσ

με

∂

∂

∇ −

−

=

∂

∂

B

B

B

(3.17b)

Podobnie jak dla ośrodka bezstratnego otrzymaliśmy identyczne w swej
postaci rozprzężone równania falowe dla pól E i B.

3.6. Płaska fala monochromatyczna w ośrodku stratnym

Poszukajmy rozwiązania równań (3.17) w postaci fali płaskiej monochro-
matycznej:

j(

)

0

( , )

t

t

e

ω

⋅ −

=

K r

E r

E

,

j(

)

0

( , )

t

t

e

ω

⋅ −

=

K r

B r

B

(3.18)

Skoncentrujmy naszą uwagę na polu elektrycznym E. Podstawiając (3.18)
do (3.17)

2

2

j

0

K

μσω μεω

−

+

+

=

2

2

2

2

2

j

1 j

1 j

K

σ

ω

σ

μσω μεω

μεω

εω

εω

⎛

⎞

⎛

⎞

=

+

=

+

=

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

v

2

2

1 j

K

k

σ

εω

⎛

⎞

=

+

⎜

⎟

⎝

⎠

oraz

k

ω

=

v

(3.19)

uzyskujemy równanie dyspersyjne.

3-7

Obliczając pierwiastek z tego wyrażenia otrzymujemy

1 j

j

K k

σ

α

β

εω

=

+

= +

(3.20)

gdzie

2

2

1

1

1

1

,

2

2

k

k

σ

σ

εω

εω

α

β

⎛

⎞

⎛

⎞

+

+

+

−

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

=

=

(3.21)

Wektor K nazywany jest zespolonym wektorem propagacji. We wzo-

rze (3.18), a wcześniej (3.5) wprowadzając jednostkę urojoną „j” przyjęli-
śmy wygodniejszy do obliczeń zespolony zapis fali monochromatycznej.
Jak widać „zapłaciliśmy” za to przekształceniem wektorów E i B oraz K
w wektory zespolone, które nie mają sensu fizycznego i nie należy im
przypisywać właściwości geometrycznych.

Przykład. Równanie falowe w ośrodku stratnym w przybliżeniu har-
monicznym.

Wektorowe równanie falowe w dielektryku idealnym ma postać

2

2

2

( , )

( , )

0

t

t

t

∂

∇

−

=

∂

E r

E r

με

W przybliżeniu harmonicznym można je zapisać jako

2

2

( , )

( , ) 0

∇

+

=

E r

E r

ω

ω με

ω

Dla ośrodka stratnego wprowadzając formalnie zamiast przenikalności
dielektrycznej

ε

zespoloną przenikalność dielektryczną ε

1 j

⎛

⎞

=

−

⎜

⎟

⎝

⎠

σ

ε ε

ωε

otrzymujemy

2

2

0

∇ +

=

E

E

ω με

Pozwala to na wyznaczenie zamiast liczby falowej

k

= ω εμ

, zespolonej

liczby falową K w postaci

1 j

j

K

k

≡

=

−

= −

σ

ω εμ

α

β

ωε

gdzie

2

2

1

1

1

1

,

2

2

k

k

⎛

⎞

⎛

⎞

+

+

+

−

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

=

=

σ

σ

εω

εω

α

β

3-8

3.7. Właściwości płaskiej fali monochromatycznej w ośrodku stratnym

Bez straty ogólności możemy tak zorientować układ współrzędnych

aby rozwiązaniem równania (3.17) były postaci

3

~ exp( j

)

Kx

E

albo

3

~ exp( j

)

Kx

−

E

. Występują dwa znaki, ze względu na kwadratową zależ-

ność we wzorze (3.19). Jeżeli szukamy fali płaskiej monochromatycznej
poruszającej się w dodatnim kierunku osi x

3

to rozwiązanie równania

(3.17) może być zapisane w postaci

3

3

3

j(

)

j(

)

3

0

0

( , )

e

e

e

Kx

t

x

x

t

x t

ω

β

α

ω

−

−

−

=

=

E

E

E

(3.22a)

Postępując analogicznie dla pola B otrzymujemy

3

3

3

j(

)

j(

)

3

0

0

( , )

e

e

e

Kx

t

x

x

t

x t

ω

β

α

ω

−

−

−

=

=

B

B

B

(3.22b)

Jak widać część urojona β wielkości K prowadzi do tłumienia fali. Z wiel-
kością tą wiąże się głębokość wnikania δ

w

1

w

δ

β

=

(3.23)

Część rzeczywista wielkości K określa następujące parametry fali:
• długość fali

2

λ

α

π

=

(3.24)

• prędkość rozchodzenia się (prędkość fazową)

f

ω
α

=

v

(3.25)

• współczynnik załamania

c

n

α

ω

=

(3.26)

Przykład. Moduł i część rzeczywista wektora zespolonego E.

Wektor zespolony E można zapisać w postaci sumy dwóch wektorów rze-
czywistych

Re( ) j Im( )

=

+

E

E

E

Modułem wektora zespolonego nazywamy wyrażenie o postaci

*

=

⋅

E

E E

.

Część rzeczywistą wektora zespolonego można obliczyć z wyrażenia

*

Re( )

2

+

=

E E

E

.

Przykład. Wychodząc z równania (3.20) wyznaczyć α i β w postaci
podanej w (3.21).

3-9

Tłumione fale płaskie (3.22) spełniają zmodyfikowane równania falowe
(3.17) dla dowolnych wartości E

0

i B

0

. Ale równania Maxwella nakładają

dodatkowe ograniczenia, które pozwalają określić względne amplitudy,
fazy i polaryzacje E i B.

Analogicznie jak w ośrodku bezstratnym rozpatrując falę płaską roz-

chodzącą się w kierunku dodatnim osi x

3

, ponieważ

0

∇ ⋅ =

B

i

0,

∇ ⋅ =

E

więc

3

0

E

=

i

3

0

B

=

(3.27)

Tłumione fale płaskie, podobnie jak w dielektryku idealnym są także po-
rzecznymi elektromagnetycznymi (TEM – transverse electromagnetic).
Możemy tak zorientować osie układu współrzędnych aby natężenie pola
elektrycznego E było spolaryzowane wzdłuż osi x

1

3

3

j(

)

3

01

ˆ

( , )

e

e

x

x

t

x t

E

β

α

ω

−

−

=

E

x

(3.28)

wtedy z prawa Faradaya

t

∂

∇ × = −

∂

B

E

otrzymujemy

3

3

j(

)

3

01

ˆ

( , )

e

e

x

x

t

K

x t

E

β

α

ω

ω

−

−

=

B

y

(3.29)

(z prawa Ampère’a z poprawką Maxwella wynika to samo). Jak widać po-
la E i B są do siebie prostopadłe.

3.8. Wyznaczenie rzeczywistych pól E i B

Wektory opisane równaniami (3.28) i (3.29) są zespolone i nie mają sensu
fizycznego. Sens fizyczny mają części rzeczywiste tych wektorów. Aby je
wyznaczyć zastosujemy przedstawienie zespolonych wielkości za pomocą
ich modułu i fazy:

01

0

0

0

0

01

0

0

exp j

;

exp j

exp j

exp j(

)

exp j

E

E

E

B

E

E

K

K

K E

E

E

B

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ω

ω

ω

=

=

=

+

=

(3.30)

W powyższych wyrażeniach wielkości E

0

, B

0

, K

0

są wielkościami rze-

czywistymi przy czym

2

2

2

2

4

0

1

1

K

K

k

σ

σ

α

β

ω με

εω

εω

⎛

⎞

⎛

⎞

≡

=

+

=

+

=

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

oraz

arctg

β

ϕ

α

⎛ ⎞

≡

⎜ ⎟

⎝ ⎠

(3.31)

3-10

Jak widać ze wzoru (3.30)

B

E

ϕ

ϕ

ϕ

−

=

tak więc pole magnetyczne opóź-

nia się względem pola elektrycznego. Rzeczywiste amplitudy wielkości E
i B są powiązane zależnością

2

0

0

0

1

B

K

E

σ

με

ω

εω

⎛

⎞

=

=

+ ⎜

⎟

⎝

⎠

(3.32)

Stąd rzeczywiste pola E i B dla fali płaskiej w ośrodku stratnym mają po-
stać

3

3

3

0

3

3

0

3

ˆ

( , )

e

cos(

)

ˆ

( , )

e

cos(

)

x

E

x

E

x t

E

x

t

x t

B

x

t

β

β

α

ω ϕ

α

ω ϕ

ϕ

−

−

=

−

+

=

−

+

+

E

x

B

y

(3.33)

3.9. Przybliżenie słabego przewodnika (dielektryk o małych stratach)

Rozważmy ośrodek o małych stratach, tzn. dla którego

1

σ

εω

<<

.

Dla obliczenia α i β wykorzystamy rozwinięcie w szereg Maclaurina wy-
rażenia

2

1

1

1

2

8

2

1

1

1

u

u

u

u

+ = +

−

+

≈ +

…

gdzie

2

u

σ

εω

⎛

⎞

= ⎜

⎟

⎝

⎠

. W tym przypadku

2

2

2

1

1

,

2

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

k

k

k

k

k

σ

εω

α

ω με

σ

σ

ω με

σ

σ

σ μ

εω

εω

β

εω

εω

ε

⎛

⎞

+

+

⎜

⎟

⎝

⎠

=

≈ =

⎛

⎞

⎛

⎞

+

−

+

−

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

=

≈

=

=

=

3-11

Wynika stąd, że współczynnik tłumienia β w przybliżeniu nie zależy od
częstotliwości. Natomiast współczynnik fazy α, a co za tym idzie prędkość
fazowa i długość fali

f

1

2

2

2

;

k

k

ω ω

λ

α

α

με

ω με

π

π

π

=

≈

=

=

≈

=

v

są w przybliżeniu identyczne w ośrodku małostratnym i bezstratnym. Mo-
żemy także zaniedbać przesunięcie fazowe pola magnetycznego względem
elektrycznego, ponieważ

1

2

tg

0

0

2

k

k

σ

β

σ

εω

ϕ

ϕ

α

εω

=

≈

=

≈ ⇒ ≈ .

Pola elektryczne i magnetyczne fali płaskiej w ośrodku bezstratnym

i małostratnym przedstawia rysunek 3.1.

Rys. 3.1. Płaska fala elektromagnetyczna w ośrodku bezstratnym i małostratnym

3.10. Przybliżenie rzeczywistego przewodnika

Przewodniki charakteryzują się bardzo dużą konduktywnością i możemy
założyć, że

1

σ

εω

>> .

Wykorzystując to przybliżenie dla obliczenia α

2

2

1

1

2

2

2

2

2

k

k

k

σ

σ

σ

σ

ωμσ

εω

εω

α

ω με

εω

εω

⎛

⎞

⎛

⎞

+

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

=

≈

=

=

=

3-12

i analogicznie β

2

1

1

2

2

k

σ

ωμσ

εω

β

⎛

⎞

+

−

⎜

⎟

⎝

⎠

=

≈

wyznaczamy prędkość fazową i długość fali

f

2

2

2

2

;

2

2

ω

ω

ω

λ

α

μσ

α

ωμσ

ωμσ

ωμσ

π

π

π

=

≈

=

=

≈

=

v

Jak widać prędkość fazowa zależy od częstotliwości. Ten efekt nazywamy
dyspersją.
Można obliczyć przesunięcie fazowe czyli kąt o jaki pole magnetyczne
opóźnia się względem pola elektrycznego

tg

1

4

β

ϕ

ϕ

α

π

=

≈ ⇒ ≈ .

Głębokość wnikania maleje wraz ze wzrostem częstotliwości zgodnie ze
wzorem

1

2

w

δ

β

ωμσ

=

=

Szczególnie dla dużych częstotliwości (rzędu mega- i gigaherców) głębo-
kość wnikania jest bardzo mała. Mówimy wtedy o zjawisku naskórkowo-
ści.

Pola elektryczne i magnetyczne fali płaskiej w ośrodku stratnym

przedstawia rysunek 3.2.

Rys. 3.2. Płaska fala elektromagnetyczna w przewodniku rzeczywistym.

3-13

3.11. Zespolona

przenikalność elektryczna i magnetyczna

Gdy zależność pól E i H dana jest przez czynnik exp( j t)

ω

−

dogodnie jest

dysponować oznaczeniami dla części rzeczywistej i urojonej obu przeni-
kalność. Przyjęły się następujące oznaczenia

1

:

j

ε ε

ε

′

′′

= +

,

j

μ μ

μ

′

′′

=

+

W niektórych podręcznikach zależność od czasu jest dana przez czynnik

exp( j t)

ω

+

; przyjmuje się wtedy oznaczenia

j

ε ε

ε

′

′′

= −

,

j

μ μ

μ

′

′′

=

−

Dysponując tymi definicjami można omówić zjawisko strat mocy fali na
przykładzie strat elektrycznych.

Całkowity prąd (przewodzenia i przesunięcia) w dielektryku dla pól

proporcjonalnych do exp( j t)

ω

−

ma gęstość wyrażającą się wzorem

j (

j )

(

)

j

σ

ω ε

ε

σ ωε

ωε

′

′′

′′

′

=

−

+

=

+

+

j

E

E

E

E

Składowa prądu będąca w fazie z polem elektrycznym, czyli propor-

cjonalna do (

)

σ ωε

′′

+

E

wywołuje straty mocy, natomiast składowa prądu

proporcjonalna do (

)

ωε

′

E

powoduje magazynowanie energii.

Definiuje się wielkość zwaną tangensem kąta stratności (w tym przy-

padku stratności elektrycznej) jako stosunek tych dwóch składowych

tg

ε

σ ωε

δ

ωε

′′

+

=

′

Wzór ten jest szczególnie ważny przy dużych częstościach (decyduje licz-
nik). Natomiast przy małych częstościach pomija się składową urojoną
przenikalności elektrycznej i o stratach decyduje konduktywność ośrodka.
Wzór powyższy przyjmuje wtedy prostszą postać

tg

ε

σ

δ

ωε

=

W ośrodkach ferromagnetycznych rozważa się też starty magnetyczne i
wprowadza analogicznie tangens kąta stratności magnetycznej

tg

μ

ωμ

μ

δ

ωμ

μ

′′

′′

=

=

′

′

Zwróćmy uwagę, że dzięki odmiennym definicjom zespolonych prze-

nikalności, definicje kątów stratności są jednakowe zarówno dla pól pro-
porcjonalnych do exp( j t)

ω

−

jak i do exp( j t)

ω

+

.

1

K. Bochenek, „Metody analizy pól elektromagnetycznych” PWN Warszawa, Wrocław 1961 str. 13.

3-14

3.12.

Impedancja falowa i impedancja właściwa ośrodka stratnego

Definicja: Impedancją właściwą ośrodka stratnego nazywamy wielkość

j

j

Z

ωμ

σ

ωε

=

+

Definicja: Impedancją falową ośrodka stratnego nazywamy stosunek pro-
stopadłych do siebie i kierunku rozchodzenia się fali wektorów zespolo-
nych pola elektrycznego i magnetycznego:

f

E

Z

H

⊥

⊥

=

Można wykazać, podobnie jak dla fali TEM w ośrodku idealnym, że im-
pedancja falowa jest równa impedancji właściwej ośrodka:

2

2

1

2

f

2

2

1

2

.

E

E

Z

Z

H

H

+

=

=

+

Inne definicje
Definicja. Impedancja falowa (charakterystyczna) – stosunek napięcia do
prądu fali docelowej w płaszczyźnie poprzecznej do osi toru transmisyjne-
go.
Definicja: Impedancja – całkowity opór (pozorny) stawiany przez element,
obwód, kabel przepływowi prądu przemiennego o określonej częstotliwo-
ści.