Slajd 1
ELEKTRYCZNOŚĆ i
MAGNETYZM
ELEKTROSTATYKA
zagadnienia związane z
oddziaływaniem ładunków
elektrycznych w spoczynku
Slajd 2
Podstawowe pojęcia
elektrostatyki
siły elektrostatyczne wywołane
są ładunkiem elektrycznym
ładunek elementarny e = 1.60×10
–19
C
ładunek punktowy, liniowy,
powierzchniowy i objętościowy
w układzie zamkniętym całkowity ładunek
pozostaje stały
prawo Coulomba
2
2
1
2
2
1
4
1
r
q
q
k
r
q
q
F
⋅
=
⋅
=
o
ε
π
gdzie ε
0
=8.854×10
–12
C
2
/(Nm
2
) to przenikalność dielektryczna próżni
k
q
l
q
=
λ
S
q
=
σ
V
q
=
ρ
Slajd 3
Pole elektryczne
Natężenie pola elektrycznego
Pole elektryczne ładunku punktowego
Pole od n ładunków punktowych
Pole od ładunku rozłożonego z gęstością ρ
q
F
E
r
v
=
[N/C] lub [V/m]
(
)
∑
∑
=
=
=
=
n
1
j
n
1
j
j
,
j
2
j
j
o
z
,
y
,
x
E
r
r
Q
4
1
E
r
r
r
ε
π
'
r
r
Q
4
1
E
2
o
r
r
ε
π
=
(
)
dxdydz
r
z
y
x
E
r
r
V
r
r
∫
=
2
4
1
,
,
o
ρ
ε
π
gdzie
jest wektorem jednostkowym
skierowanym od ładunku Q do punktu P(x, y, z)
'
rr
Q
P
'
r
r
r
r
r ⋅
=
E
r
rr
P
V
Q
1
Q
2
Q
3
2
E
r
1
E
r
3
E
r
F
q
Slajd 4
Dipol elektryczny
r
F
1
r
F
2
r
F
moment dipolowy
3
o
r
p
4
1
E
ε
π
=
l
Q
p
r
r =
pr
r
l
F
F
=
1
z podobieństwa trójkątów
3
2
1
r
p
qk
r
Qq
k
r
l
F
r
l
F
=
=
=
Slajd 5
Energia potencjalna
Pole elektrostatyczne jest polem zachowawczym tzn.
Energia potencjalna to praca jaką muszą wykonać siły
zewnętrzne, aby przenieść ładunek z nieskończoności do danego
punktu pola
Energia potencjalna ładunku punktowego q umieszczonego w
polu ładunku Q (tor radialny więc ds = dr)
∫
=
⋅
0
s
d
E
r
r
∫
∫
∞
∞
⋅
=
⋅
−
=
A
A
A
s
d
E
q
s
d
E
q
U
r
r
r
r
r
qQ
dr
r
Q
q
U
r
r
o
r
o
ε
ε
π
ε
ε
π
4
1
1
4
2
∫
∞
=
−
=
Q, q różnoimienne to U<0
przy rozsuwaniu siły zew. wykonują pracę to U wzrasta
r
U
r
A
r
B
⇒
=
⋅
=
⋅
=
∫
∫
0
s
d
E
q
s
d
F
W
ABA
r
r
r
r
prawo
Faradaya
dla pola
elektrosta
-tycznego
Slajd 6
Potencjał pola
elektrostatycznego
Potencjał elektryczny określamy jako energię
potencjalną jednostkowego ładunku
Potencjał elektryczny jest to praca jaką należy
wykonać aby przenieść jednostkowy ładunek z
nieskończoności na odległość r od danego
ładunku Q
q
U
V
=
wolt V = J/C
r
Q
4
1
V
r
o
ε
πε
=
∫ ⋅
−
=
∞
A
s
d
E
V
r
r
Slajd 7
Różnica potencjałów – napięcie elektryczne
∫
⋅
−
=
−
=
∆
A
B
B
A
s
d
E
V
V
V
r
r
r
r
dr
dV
E
r
r
⋅
−
=
V
grad
E
→
−
=
r
powierzchnie ekwipotencjalne – stały potencjał
V=const ⇒ ∆V=0 ⇒
czyli
0
=
⋅ r
d
E
r
r
r
d
E
r
r ⊥
powierzchnie ekwipotencjalne są prostopadłe do linii sił pola
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
→
k
z
V
j
y
V
i
x
V
V
grad
r
r
r
V
V+dV
V-dV
E
r
ds
Slajd 8
Strumień pola elektrycznego
∫
=
∑
⋅
∆
⋅
=
Φ
S
j
j
j
E
S
d
E
S
E
r
r
r
r
[Vm]
strumień określa liczbę linii sił pola
przechodzących przez daną powierzchnię
α
cos
ES
S
E
E
=
⋅
=
Φ
r
r
strumień to iloczyn natężenia
pola przez powierzchnię
j
S
r
∆
S
r
S
Slajd 9
Prawo Gaussa
strumień natężenia pola elektrycznego przez
dowolną, zamkniętą powierzchnię równy jest
całkowitemu ładunkowi zamkniętemu w tej
powierzchni podzielonemu przez
w przypadku ładunku o gęstości objętościowej
r
ε
ε
o
∑
=
n
1
=
i
r
o
E
i
q
ε
ε
Φ
∫
∫
=
⋅
V
o
S
dV
S
d
E
ρ
ε
ε
r
1
r
r
Slajd 10
PRZYKŁAD - nieskończona
płaszczyzna o gęstości
powierzchniowej ładunku σ
r
o
o
o
S
ES
2
ε
ε
σ
=
r
o
2
E
ε
ε
σ
=
σ
S
0
E
o
ES
S
d
E
2
=
⋅
∫
r
r
Slajd 11
Pole elektryczne w dielektrykach
E
0
E
p
E=E
0
-E
p
σ
z
dielektryk ulega polaryzacji
na powierzchni indukują się
ładunki związane o gęstości σ
z
Dielektryk umieszczony w zewnętrznym polu elektrycznym E
0
zamiast mówić o ładunkach
związanych wprowadzamy wektor
polaryzacji dielektrycznej P
σ
σ
z
pow. Gaussa
dielektryk
(
)
(
)
0
0
ε
σ
ε
σ
σ
S
P
S
S
d
E
n
z
S
∆
−
=
∆
⋅
−
=
⋅
∫
r
r
Prawo Gaussa
(
)
Q
S
S
d
D
S
d
P
E
S
S
o
=
∆
σ
=
∫ ⋅
=
∫
+
ε
r
r
r
r
r
P
E
D
o
r
r
r
+
=
ε
(
)
E
E
E
D
o
o
o
r
r
r
r
χ
ε
χ
ε
ε
+
=
+
=
1
E
D
r
o
r
r
ε
ε
=
χ
ε
+
= 1
r
wektor indukcji elektrostatycznej
Slajd 12
Prawo Gaussa w dielektrykach
Dla próżni ε
r
=1, a χ=0
E
D
r
o
r
r
ε
ε
=
informacja o dielektryku zawarta jest w przenikalności dielektrycznej ε
r
Q
S
d
D
S
=
⋅
∫
r
r
Q
S
d
E
S
r
o
=
⋅
∫
r
r
ε
ε
Q
S
d
E
r
o
S
ε
ε
1
=
⋅
∫
r
r
Q
S
d
E
o
S
ε
1
=
⋅
∫
r
r
Strumień wektora indukcji przez powierzchnię zamkniętą
równy jest ładunkowi swobodnemu zawartemu w obszarze
ograniczonym rozpatrywaną powierzchnią
Slajd 13
Prąd elektryczny
prąd elektryczny to ilość ładunku przepływająca
przez dany przekrój w jednostce czasu (1A)
gęstość prądu
Prawo Ohma: stosunek R =
∆
V/I nie zależy od
natężenia prądu I dla metali przy stałej
temperaturze (1om Ω = V/A)
d
d
v
ne
v
r
r
r
=
=
ρ
j
dt
dQ
t
Q
I
=
=
S
j
I
r
r
⋅
=
∫
⋅
=
S
S
d
j
I
r
r
I
linie sił prądu
R
V
I
∆
=
E
E
j
r
r
r
r
σ
µ =
=
=
ne
v
ne
d
σ
- przewodność
właściwa (S)
oddziaływanie
magnetyczne
, z
Slajd 14
Pole magnetyczne
Oddziaływania magnetyczne
elektrostatyka – oddziaływanie nieruchomych
ładunków
gdy ładunki poruszają się pojawia się nowy
typ oddziaływania –
ależne od prędkości ładunków
na naładowaną cząstkę poruszającą się w
polu magnetycznym działa siła, wynikająca z
istnienia tego pola
Slajd 15
Istnienie siły magnetycznej jest
następstwem uwzględnienia szczególnej
teorii relatywistycznej w prawie Coulomba
wzór Lorentza konsekwencją fizyki
relatywistycznej F=qvB
pole magnetyczne B=F/qv – indukcja
magnetyczna
[B]=Ns/Cm=N/Am=T (tesla)
µ
0
=1/ε
0
c
2
– przenikalność magnetyczna
próżni = 4π·10
-7
V·s/A·m c
2
=1/(ε
0
·µ
0
)
względność pól: magnet. i elektrycznego
indukcja, a natężenie pola magnetycznego
H
r
I
c
B
r
r
⋅
=
⋅
=
0
2
0
2
1
µ
π
ε
Slajd 16
Prawo Ampera
I
r
I
ds
B
ds
B
s
d
B
r
o
r
o
const
B
s
d
B
µ
µ
π
π
µ
µ
=
⋅
=
=
=
⋅
∫
∫
∫
=
r
.
|
|
2
2
4
r
r
r
r
Cyrkulacja wektora B po okręgu:
Rozważmy nieskończenie długi przewód
prostoliniowy w którym płynie prąd I
Pozwala wyznaczyć pole magnetyczne
w przypadku symetrii układów prądów
s
dr
rr
B
r
I
I
Slajd 17
Treść prawa Ampera
c
r
o
n
i
i
r
o
C
I
I
s
d
B
µ
µ
µ
µ
=
=
⋅
∑
∫
=1
r
r
w przypadku prądu niejednorodnego:
∫
∫
⋅
=
⋅
S
C
r
o
S
d
j
s
d
B
r
r
r
r
µ
µ
gdzie powierzchnia S jest rozpięta na konturze C
I
S
C
Cyrkulacja wektora indukcji magnetycznej jest równa
sumie algebraicznej natężeń prądów płynących
wewnątrz konturu całkowania pomnożonych przez
przenikalność magnetyczną ośrodka
Pol
Pol
wirowym
Pol
Slajd 18
Właściwości pola
magnetycznego
e magnetyczne nie jest polem zachowawczym,
ponieważ cyrkulacja wektora po konturze
zamkniętym jest różna od zera
e magnetyczne jest polem
e elektrostatyczne jest polem bezwirowym, bo
jest polem zachowawczym:
B
r
∫
=
⋅
C
s
d
E
0
r
r
c
r
C
o
I
s
d
B
µ
µ
∫
=
⋅ r
r
Slajd 19
Strumień magnetyczny
linie pola magnetycznego są zawsze zamknięte
w przyrodzie nie występują ładunki magnetyczne
pole magnetyczne jest bezźródłowe
jednostka strumienia weber Wb=Tm
2
∫ ⋅
=
Φ
S
B
S
d
B
r
r
N
S
1
S
2
S
Tw. Gaussa:
0
=
∫
⋅
S
S
d
B
r
r
0
=
Φ
B
Strumień magnetyczny przez dowolną
zamkniętą powierzchnię równa się zeru
Slajd 20
Skąd wynika podobny kształt linii sił pola
magnetycznego magnesu stałego (a) i solenoidu (b)?
Obwód z prądem, a magnes stały
Slajd 21
Magnetyczny moment dipolowy
Pojedynczy zamknięty obwód o powierzchni przekroju S
przez który płynie prąd o natężeniu I charakteryzuje się
dipolowym momentem magnetycznym p
m
:
[1 Am
2
]
indukcja pola na osi obwodu w odległości r wynosi
3
3
3
2
3
2
2
2
2
2
r
p
r
IS
r
R
I
r
IR
B
m
o
o
o
o
π
µ
π
µ
π
π
µ
µ
=
=
=
=
3
2 r
p
B
m
o
π
µ
r
r
=
S
I
p
m
r
r
⋅
=
Występowanie biegunów magnetycznych N i S rozsuniętych
na odległość l kojarzy się z pojęciem dipola magnetycznego
Właściwości dipolowe w czasie przepływu prądu mają
zarówno solenoid, jak i obwód kołowy czy pojedyncza ramka
analogia do dipola
elektrycznego
m
pr
I
r
B
r
Slajd 22
Dipole magnetyczne
8,0 10
-24
J/T
elektron
1,4 10
-26
J/T
proton
8,0 10
22
J/T
Ziemia
5 J/T
magnes sztabkowy
1 J/T
cewka z prądem
Przykładowe wartości niektórych
dipolowych momentów magnetycznych
I
p
m
p
m
m
pr
m
pr
−
S
I
p
m
r
r
⋅
=
Slajd 23
Indukcja
elektromagnetyczna
Czy pole
magnetyczne
powoduje powstanie
pola elektrycznego?
Slajd 24
Doświadczenie Faraday’a
2
1
G
B
+
K
M
G
I
2
I
1
B
+
K
2
K
1
Slajd 25
Siła elektromotoryczna SEM
Źródła siły elektromotorycznej:
ogniwo elektryczne (bateria)
prądnica elektryczna (SEM indukcji)
ogniwa słoneczne
ogniwa paliwowe (np. wodorowe)
termoogniwa
Źródło siły elektromotorycznej wykonuje pracę nad nośnikami ładunku
utrzymując różnicę potencjałów między zaciskami (biegunami)
Siła elektromotoryczna źródła SEM jest pracą przypadającą na
jednostkę ładunku, jaką wykonuje źródło, przenosząc ładunek z
bieguna o mniejszym potencjale, do bieguna o większym potencjale
[ ]
volt
V
dq
dW
SEM
−
=
ozn. SEM, U
0
,
ε
zmianom
str
Slajd 26
Prawo indukcji Faraday’a
dt
d
SEM
B
Φ
−
=
∫
Φ
−
=
⋅
dt
d
s
d
E
B
r
r
Siła elektromotoryczna indukcji
równa się szybkości zmiany
strumienia indukcji magnetycznej
Cyrkulacja wektora natężenia pola elektrycznego
wzdłuż dowolnej krzywej zamkniętej równa się
szybkości zmian strumienia pola magnetycznego
obejmowanego przez tę krzywą
∫
⋅
∫
−
=
⋅
S
S
d
B
dt
d
s
d
E
r
r
r
r
Slajd 27
Reguła
Lenza
prąd indukowany w obwodzie ma zawsze taki kierunek, że
wytworzony przezeń strumień magnetyczny przez
powierzchnię ograniczoną przez ten obwód przeciwdziała
umienia, które wywołały pojawienie się prądu
indukowanego
reguła Lenza jest konsekwencją zasady zachowania energii
pole elektryczne wywołane zmianami indukcji
magnetycznej powstaje niezależnie czy w polu są
przewodniki czy nie
pole elektryczne wywołane przez zmiany strumienia nie
jest polem zachowawczym – jest polem wirowym
rv
rv
Slajd 28
Indukowane pole
magnetyczne
jeśli zmienne pole
magnetyczne powoduje
powstanie pola
elektrycznego, to czy
zmiany pola elektrycznego
nie powodują powstania
pola magnetycznego?
wokół przewodnika powstaje
pole magnetyczne, a co w
obszarze między okładkami?
R
I(t)
B
r
B
r
B
r
dt
D
d
r
U
0
rozważmy płaski kondensator ładowany przez
opór R ze źródła o stałej sile elektromotorycznej
Slajd 29
Uogólnione prawo Ampera
Ampera powinno być spełnione dla
dowolnej powierzchni rozpiętej na okręgu
(
)
S
d
t
E
S
d
j
I
I
s
d
B
S
o
o
S
C
o
P
o
r
v
r
r
r
r
⋅
∂
∂
+
⋅
=
+
=
⋅
∫
∫
∫
ε
µ
µ
µ
prawo
Slajd 30
Równania Maxwella
Prawo Gaussa dla pola elektrycznego
Prawo Gaussa dla pola magnetycznego
Prawo indukcji elektromagnetycznej
Uogólnione prawo Ampera
S
d
t
B
s
d
E
C
S
r
r
r
r
⋅
∂
∂
−
=
⋅
∫
∫
S
d
t
D
j
s
d
H
C
S
r
r
r
r
r
⋅
∂
∂
+
=
⋅
∫
∫
∫
∫
=
⋅
S
dV
S
d
D
ρ
r
r
∫
=
⋅
S
S
d
B
0
r
r
źródłowość pola – ładunek elektryczny
wytwarza pole elektryczne
nie istnieje ładunek magnetyczny, pole
magnetyczne jest bezźródłowe
zmienne pole magnetyczne wytwarza
wirowe pole elektryczne (prąd elektryczny)
prąd elektryczny lub zmienne pole elektryczne
wytwarzają wirowe pole magnetyczne
H
B
E
D
r
o
r
o
r
r
r
r
µ
µ
ε
ε
=
=
Slajd 31
Fale elektromagnetyczne
Przyspieszony ładunek emituje pola
elektryczne i magnetyczne propagujące
się z prędkością światła c
Slajd 32
J
x
z
y
0
B
B
B
B
∫
∫
⋅
=
⋅
S
C
o
S
d
j
s
d
B
r
r
r
r
µ
s
d
E
dt
d
B
r
r
∫
⋅
−
=
Φ
Faraday
zmiana
B
→E
s
d
B
dt
d
E
r
r
∫
⋅
=
Φ
0
0
ε
µ
Amper
zmiana
E
→B
dx
dE
dt
dB
−
=
dx
dB
dt
dE
−
=
0
0
ε
µ
E=E
0
sin (
ωt-kx) ; B=B
0
sin (
ωt-kx)
0
0
kE
B =
ω
0
0
0
0
B
k
E =
ω
ε
µ
0
0
B
E
k
v
=
= ω
0
0
0
0
B
E
v
=
ε
µ
c
v
=
=
0
0
1
ε
µ
Rozwiązanie równań Faraday’a i Ampera
to fala elektromagnetyczna poruszająca
się w próżni z prędkością światła c
t
cos ω
=
o
J
J
E
E
E
E
Slajd 33
Wnioski
wokół płaszczyzny z prądem zmiennym w
czasie powstają pola magnetyczne i
elektryczne, spełniające równanie falowe,
tzn. pola magnetyczne i elektryczne
rozchodzą się jak fala w kierunku osi x, z
prędkością fazową c
pola te są wzajemnie prostopadłe do
siebie i do kierunku rozchodzenia się tych
pól w przestrzeni (kierunku propagacji
fali), tzn. B
z
⊥ E
y
⊥ ñ
s
m
c
o
o
8
10
3
1
⋅
=
ε
µ
=
Br
Er
nr
B
E
B
E
n
r
r
r
r
r
×
×
=
y
x
z
Slajd 34
Br
Er
z
y
x
Pole elektryczne i magnetyczne wokół płaszczyzny z sinusoidalnie zmieniającym
się prądem jest falą sinusoidalną rozchodzącą się w kierunku osi x z prędkością c
nazywaną
falą elektromagnetyczną
(
)
−
ω
=
c
x
t
E
t
x
E
o
y
cos
,
(
)
−
ω
=
c
x
t
B
t
x
B
o
z
cos
,
T
k
k
c
π
ω
λ
π
ω
2
,
2
,
=
=
=
y
z
x
c
E
E
J
B
B
Slajd 35
Widmo fal elektromagnetycznych