1

Równania Maxwella

i fale elektromagnetyczne

Strumie

ń

pola magnetycznego

B

przez powierzchni

ę

S

(analogicznie jak strumie

ń

pola elektrycznego

E

)

∫

=

S

B

S

B d

φ

Poniewa

ż

linie pola

B

s

ą

krzywymi zamkni

ę

tymi, wi

ę

c

dowolna powierzchnia zamkni

ę

ta otaczaj

ą

ca

ź

ródło pola

magnetycznego jest przecinana przez tyle samo linii
wychodz

ą

cych ze

ź

ródła co wchodz

ą

cych do niego.

strumie

ń

pola magnetycznego przez

zamkni

ę

t

ą

powierzchni

ę

jest równy zeru

0

d

=

∫

S

S

B

prawo Gaussa dla pola magnetycznego

Nie udało si

ę

zaobserwowa

ć

w przyrodzie

pojedynczych biegunów magnetycznych
analogicznych do ładunków elektrycznych.

Prawo Gaussa dla pola magnetycznego

RÓWNANIA MAXWELLA

2

Indukowane pole magnetyczne (uogólnione prawo Ampère'a)

Gdy ładujemy lub rozładowujemy kondensator to do okładek dopływa (lub z nich ubywa)
ładunek i w konsekwencji zmienia si

ę

pole elektryczne

E

w kondensatorze.

Płyn

ą

cy w obwodzie pr

ą

d I jest "uzupełniony„

polem

E

zmieniaj

ą

cym si

ę

mi

ę

dzy okładkami w

kondensatorze (kondensator si

ę

ładuje).

Do

ś

wiadczenie pokazuje,

ż

e pomi

ę

dzy

okładkami kondensatora powstaje pole
magnetyczne wytworzone przez zmieniaj

ą

ce si

ę

pole elektryczne.

∫

=

I

r

0

d

µ

µ

l

B

pole

B

pr

ą

du I

pole

B

równie

ż

w kondensatorze

Linie pola, maj

ą

kształt okr

ę

gów

tak jak linie pola
wokół
przewodnika z
pr

ą

dem.

∫













+

=

I

t

E

r

r

d

d

d

0

0

φ

ε

ε

µ

µ

l

B

Pole magnetyczne mo

ż

e by

ć

wytwarzane zarówno przez przepływ pr

ą

du (prawo Ampère'a) jak

i przez zmienne pole elektryczne.

Maxwell uogólnił prawo Ampère'a do postaci

0

0

0

r

r

r

E

S

Q

CU

C Ed

Ed

S E

d

ε ε

ε ε

ε ε φ

=

=

=

=

=

t

t

Q

I

E

r

p

d

d

d

d

0

φ

ε

ε

=

=

pr

ą

d przesuni

ę

cia

Zmianom pola elektrycznego towarzyszy zawsze powstanie pola magnetycznego.

3

Nat

ęż

enia kołowego pola elektrycznego jest zwi

ą

zane z indukowan

ą

sił

ą

elektromotoryczn

ą

∫

=

l

E d

ε

całkowanie odbywa si

ę

po

konturze wzdłu

ż

linii pola

elektrycznego

r

E

π

ε

2

=

Indukowane wirowe pole elektryczne (prawo Faradaya)

• Je

ż

eli w zmiennym polu magnetycznym umie

ś

cimy przewodz

ą

c

ą

kołow

ą

p

ę

tl

ę

(obwód) to

w tym obwodzie popłynie pr

ą

d (prawo Faradaya).

• Obecno

ść

p

ę

tli (obwodu) nie jest konieczna. Je

ż

eli go nie b

ę

dzie, to nie b

ę

dziemy obserwowa

ć

przepływu pr

ą

du jednak indukowane pole elektryczne

E

b

ę

dzie nadal istnie

ć

.

• Indukowane pole elektryczne nazywamy (ze wzgl

ę

du na kształt linii)

wirowym polem elektrycznym

∫

−

=

=

t

B

d

d

)

(

d

Φ

ε

l

E

Cyrkulacja wektora nat

ęż

enia pola

E

po dowolnym zamkni

ę

tym konturze jest równa szybko

ś

ci

zmiany strumienia magnetycznego przechodz

ą

cego przez ten kontur.

Prawo

Równanie

1

prawo Gaussa dla elektryczno

ś

ci

2

prawo Gaussa dla magnetyzmu

3

uogólnione prawo Faradaya

4

uogólnione prawo Ampère'a

0

d

r

Q

ε ε

=

∫

E S

∫

=

0

d S

B

∫

−

=

t

B

d

d

d

φ

l

E

0

0

0

d

d

d

E

r

r

r

I

t

φ

µ µ ε ε

µ µ

=

+

∫

B l

Wszystkie powy

ż

sze prawa w przypadku statycznym

(pola niezale

ż

ne od czasu) jak i w przypadku pól zale

ż

nych od czasu.

Równania Maxwella

w o

ś

rodku jednorodnym tzn.

µ

r

i

ε

r

niezmienne w przestrzeni

B

v

E

F

×

+

=

q

q

siła w polu elektromagnetycznym:

4

∫

−

=

t

B

d

d

d

φ

l

E

0

0

d

d

d

E

r

r

t

φ

µ µ ε ε

=

∫

B l

Ka

ż

da zmiana w czasie pola elektrycznego wywołuje

powstanie zmiennego pola magnetycznego, które z kolei
indukuje wirowe pole elektryczne itd.
Taki ci

ą

g sprz

ęż

onych pól elektrycznych i magnetycznych

tworzy fal

ę

elektromagnetyczn

ą

.

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

Dla

I=0

(np. pró

ż

nia lub dielektryk).

2

2

2

2

2

1

t

y

x

y

∂

∂

∂

∂

v

=

równanie dla struny:

2

2

0

0

2

2

z

z

r

r

B

B

x

t

∂

∂

µ µ ε ε

∂

∂

=

2

2

0

0

2

2

y

y

r

r

E

E

x

t

∂

∂

µ µ ε ε

∂

∂

=

Pola E i B s

ą

do siebie prostopadłe i prostopadłe do kierunku rozchodzenia si

ę

fali.

Równanie falowe

równanie fali elektromagnetycznej (z równa

ń

Maxwella):

Fala
poprzeczna

s

m

.

8

0

0

10

9979

2

1

⋅

=

=

ε

µ

c

0

0

y

z

E

c

B

=

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

Pola E i B s

ą

do siebie prostopadłe i

prostopadłe do kierunku rozchodzenia si

ę

fali.

Równanie falowe

Fala
poprzeczna

0

0

cos(

)

cos(

)

y

y

z

z

E

E

kx

t

B

B

kx

t

ω

ω

=

−

=

−

(

)

0

(

)

0

e

e

i kx

t

y

y

i kx

t

z

z

E

E

B

B

ω

ω

−

−

=

=

2

2

0

0

2

2

z

z

r

r

B

B

x

t

∂

∂

µ µ ε ε

∂

∂

=

2

2

0

0

2

2

y

y

r

r

E

E

x

t

∂

∂

µ µ ε ε

∂

∂

=

0

0

1

v

r

r

k

ω

µ µ ε ε

= =

gdzie:

lub

Re{

}

Re{

}

y

y

z

z

E

E

B

B

=

=

2

2

2

2

2

1

t

y

x

y

∂

∂

∂

∂

v

=

równanie dla fali
elektromagnetycznej:

równanie dla struny:

rozwi

ą

zanie:

Pr

ę

dko

ść

fazowe fali elektromagnetycznej:

pr

ę

dko

ść

ś

wiatła w pró

ż

ni

z równa

ń

Maxwella

5

Antena słu

ż

y do wypromieniowanie energii elektromagnetycznej do otaczaj

ą

cej przestrzeni.

Je

ż

eli ró

ż

nica potencjałów pomi

ę

dzy mi

ę

dzy drutami

zmienia si

ę

sinusoidalnie to taka antena zachowuje si

ę

jak dipol elektryczny, którego moment dipolowy zmienia
si

ę

co do wielko

ś

ci jak i kierunku.

Fala elektromagnetyczna emitowana

przez drgaj

ą

cy dipol elektryczny

Rozchodzenie si

ę

fal elektromagnetycznych w pró

ż

ni

W 1888 roku Hertz potwierdził do

ś

wiadczalnie prawdziwo

ść

istnienia hipotetycznie przyjmowanego

dot

ą

d promieniowania elektromagnetycznego, a w roku 1893 Tesla zaprezentował publicznie

eksperyment potwierdzaj

ą

cy istnienie fal radiowych.

Fala elektromagnetyczna emitowana przez antenę nadawczą odbierana jest przez dostrojony odbiornik.

antena dipolowa

warunek

rezonansu:

LC

1

0

=

=

ω

ω

220V ->10,000V.

0

1

2

1

2

1

1

L C

L C

ω

=

=

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

C U

C U

=

2

1

2

1

2

1

U

C

L

U

C

L

=

=

GENERATOR TESLI

6

Szybko

ść

przepływu energii przez jednostkow

ą

powierzchni

ę

płaskiej fali elektromagnetycznej opisujemy

wektorem

S

zwanym wektorem Poyntinga

B

E

S

×

=

0

1

µ

µ

r

Kierunek wektora

S

pokazuje kierunek przenoszenia

energii. Wektory

E

i

B

s

ą

chwilowymi warto

ś

ciami pola

elektromagnetycznego w rozpatrywanym punkcie.

Przykład : Radiostacja o mocy P

0

= 30 kW wysyła fale EM izotropowo. Obliczamy nat

ęż

enie

sygnału (moc na jednostk

ę

powierzchni) w odległo

ś

ci r = 10 km od nadajnika.

ś

rednia warto

ść

wektora Poyntinga w

odległo

ś

ci r od

ź

ródła

2

2

0

m

/

µ

W

24

4

=

=

r

P

S

π

2

0

0

1

1

E

c

EB

S

µ

µ

=

=

2

1

4

2

0

0

2

0

E

c

r

P

S

µ

π

=

=

m

/

V

13

.

0

2

1

0

0

0

=

=

π

µ

cP

r

E

cB

E

=

2

2

0

2

E

E

=

fala sinusoidalna

T

10

4

10

0

0

−

⋅

=

=

c

E

B

Wektor Poyntinga

Podział tradycyjny

Długość
fali[m]

Częstotliwość
[MHz]

Uwagi dotyczące propagacji fali na Ziemi

Zastosowanie

fale bardzo długie

100000 -

10 000

0.003 - 0.03

słabo tłumiona fala powierzchniowa i fale jonosferyczne
(2,3,4)

radionawigacja,
radiotelegrafia
dalekosiężna

fale długie

10 000 -

1 000

0.03 - 0.3

fala powierzchniowa tłumiona, fala jonosferyczna (2,3)

radiotelegrafia,
radiolatarnie, radiofonia

fale średnie

1000 - 75

0.3 - 4

zależność od pory dnia: w dzień fala powierzchniowa, w
nocy fala jonosferyczna, zjawiska zaniku selektywnego,
interferencji (4)

radiofonia,
radiokomunikacja lotnicza
i morska

fale krótkie

75 - 10

4 - 30

dominuje fala jonosferyczna, wielokrotnie odbita (5)

radiofonia i
radiokomunikacja

fale ultrakrótkie

10-0.3

30 - 1000

fala nadziemna, głównie w obszarze widoczności
nadajnika (1) fala w przestrzeni kosmicznej (6)

telewizja, radiofonia,
radiokomunikacja,
łączność kosmiczna

mikrofale

0.3 -

0.0001

1 000 -3 000 000

fala nadziemna, głównie w obszarze widoczności
nadajnika (1) fala w przestrzeni kosmicznej (6)

radiolokacja, łączność
kosmiczna, GPS, GSM,
kuchenka mikrofalowa

fale radiowe i mikrofale

7

Widmo fal elektromagnetycznych

Promieniowanie gamma: krótsze od 10

-10

m, źródło: reakcje jądrowe oraz promieniowanie kosmiczne.

Promieniowanie rentgenowskie: od 10

-13

m do około 5x10

-8

m, źródło: elektrony hamujące w polu elektrycznym

(lampa rentgenowska) oraz wzbudzone atomy.

Promieniowanie ultrafioletowe UV: (od 10 do 400 nm) ciała rozgrzane do bardzo wysokich temperatur (Słońce
jest sinym źródłem UV) lub wzbudzone atomy.

Promieniowanie widzialne: (od 400 do 700 nm) rozgrzane ciała i wzbudzone atomy, widzialne dla oka
ludzkiego.

Promieniowanie podczerwone IR zwane inaczej promieniowaniem cieplnym: (od 700 nm do 2 mm) emitowane
przez rozgrzane ciała ( do około 400°C emitowana jest praktycznie tylko podczerwień).

Fale radiowe (powyżej 30 cm) i mikrofale (od 10

-4

m do 30 cm, 1 - 300 GHz) wypromieniowane przez

elektroniczne układy drgające.

Rozkład pola elektrycznego
i magnetycznego w kablu
koncentrycznym w danej
chwili t.

Przykładowy rozkład pól

E, B

dla

prostok

ą

tnego falowodu.

Rozkład pól nie musi by

ć

sinusoidalnie zmienny.

Rozchodzenie si

ę

fal elektromagnetycznych kablach i falowodach

8

15

linia długa słu

ż

y do przesyłania

sygnałów od układu generuj

ą

cego

sygnały do układu odbiornika (np.
kabel koncentryczny).

linia jednorodna – parametry na jednostk

ę

długo

ś

ci nie

zale

żą

od współrz

ę

dnej x

Kabel

koncentryczny

Linia długa

16

schemat zast

ę

pczy krótkiego odcinka linii długiej

Linia długa

Uwaga oznaczamy

G=1/R (tzw. admitancja)

Stosuj

ą

c prawa Kirchhoffa otrzymujemy:

I( , )

U( , )

I( , )

U(

, )

0

z t

z t

R z

z t

L z

z

z t

t

∂

− ∆ ⋅

− ∆ ⋅

−

+ ∆

=

∂

0

)

,

I(

)

,

U(

)

,

U(

)

,

I(

=

∆

+

−

∂

∆

+

∂

⋅

∆

−

∆

+

⋅

∆

−

t

z

z

t

t

z

z

z

C

t

z

z

z

G

t

z

9

17

( )

( )

( )

( )

( )

( )

U ,

I ,

I ,

U ,

I ,

,

U ,

z t

z t

z t

z t

R

z t

L

G

z t

C

z

t

z

t

∂

∂

∂

∂









=− ⋅

+

=− ⋅

+









∂

∂

∂

∂









I( , )

U( , )

I( , )

U(

, )

0

z t

z t

R z

z t

L z

z

z t

t

∂

− ∆ ⋅

− ∆ ⋅

−

+ ∆

=

∂

0

)

,

I(

)

,

U(

)

,

U(

)

,

I(

=

∆

+

−

∂

∆

+

∂

⋅

∆

−

∆

+

⋅

∆

−

t

z

z

t

t

z

z

z

C

t

z

z

z

G

t

z

( )

(

)

( )

U

,

U

,

U

,

lim

x

z t

z

z t

z t

z

z

→∞

∂

+ ∆

−

=

∂

∆

I otrzymujemy równania telegrafistów:

( )

(

) ( )

,

,

,

lim

x

I z t

I z

z t

I z t

z

z

→∞

∂

+ ∆

−

=

∂

∆

obliczamy:

18

Dla sygnału sinusoidalnego w dowolnym miejscu z mamy:

( , )

( ) e

i

t

U z t

U z

ω

=

⋅

( , )

( ) e

i

t

I z t

I z

ω

=

⋅

równania telegrafistów przyjmuj

ą

posta

ć

:

( )

(

)

( )

(

)

d

d

( )

,

( )

d

d

U z

I z

R

i L

I z

G

i C U z

z

z

ω

ω

= −

+

⋅

= −

+

⋅

I dalej:

( )

( )

2

2

2

2

2

2

d

d

( )

0

,

( )

0

d

d

U z

I z

U z

I z

z

z

γ

γ

−

⋅

=

−

⋅

=

(

) (

)

i

R

i L

G

i C

γ α

β

ω

ω

= +

=

+

⋅

+

0

0

( )

e

e

z

z

U z

U

U

γ

γ

→

−

←

+

=

⋅

+

⋅

0

0

( )

e

e

z

z

I z

I

I

γ

γ

→

−

←

+

=

⋅

+

⋅

rozwi

ą

zanie:

10

(

)

(

)

0

0

0

0

( , ) [

e

e

] e

e

e

e

e

z i z

z i z

i t

z

i

t

z

z

i

t

z

U z t

U

U

U

U

α

β

α

β

ω

α

ω β

α

ω β

→

− −

←

+

→

−

−

−

←

+

=

⋅

+

⋅

⋅

=

⋅

⋅

+

⋅ ⋅

Rozwi

ą

zanie zale

ż

ne od czasu:

(

)

(

)

0

0

( , )

e

e

e

e

z

i

t

z

z

i

t

z

I z t

I

I

α

ω β

α

ω β

→

−

−

−

←

+

=

⋅

⋅

+

⋅ ⋅

Otrzymujemy fale tłumione poruszaj

ą

ce si

ę

w prawo i w lewo:

0

0

0

0

( , ) Re{ ( , ) }

e

cos(

)

e

cos(

)

( , ) Re{ ( , ) }

e

cos(

)

e

cos(

)

z

z

z

z

U z t

U z t

U

t

z

U

t

z

I z t

I z t

I

t

z

I

t

z

α

α

α

α

ω β

ω β

ω β

ω β

→

−

←

→

−

←

=

=

⋅

⋅

−

+

⋅ ⋅

+

=

=

⋅

⋅

−

+

⋅ ⋅

+

α

– współczynnik tłumienie fali (wzdłu

ż

linii),

β

– to liczba falowa

długo

ść

fali:

2

π

λ

β

⋅

=

pr

ę

dko

ść

fazowa:

v

f

ω

β

=

1

v

f

L C

=

⋅

0

α

=

C

L

⋅

ω

=

β

Dla linii bezstratnej R=0 i G =0 mamy:

(

) (

)

i

R

i L

G

i C

γ α

β

ω

ω

= +

=

+

⋅

+