ELEKTRYCZNOŚĆ

i MAGNETYZM

ELEKTROSTATYKA

zagadnienia związane z

oddziaływaniem ładunków

elektrycznych w spoczynku

 

Podstawowe pojęcia

elektrostatyki

siły elektrostatyczne wywołane

są ładunkiem elektrycznym
ładunek elementarny e = 1.60×10

–19

C

ładunek punktowy, liniowy,

powierzchniowy i objętościowy
w układzie zamkniętym całkowity ładunek

pozostaje stały
prawo Coulomba

„

„

„

„

„

2

2

1

2

2

1

4

1

r

q

q

k

r

q

q

F

⋅

=

⋅

=

o

ε

π

gdzie ε

0

=8.854×10

–12

C

2

/(Nm

2

) to przenikalność dielektryczna próżni

k

q

l

q

=

λ

S

q

=

σ

V

q

=

ρ

 

Pole elektryczne

Natężenie pola elektrycznego

Pole elektryczne ładunku punktowego

Pole od n ładunków punktowych

Pole od ładunku rozłożonego z gęstością ρ

„

„

„

„

q

F

E

r

v

=

[N/C] lub [V/m]

(

)

∑

∑

=

=

=

=

n

1

j

n

1

j

j

,

j

2

j

j

o

z

,

y

,

x

E

r

r

Q

4

1

E

r

r

r

ε

π

'

r

r

Q

4

1

E

2

o

r

r

ε

π

=

(

)

dxdydz

r

z

y

x

E

r

r

V

r

r

∫

=

2

4

1

,

,

o

ρ

ε

π

gdzie jest wektorem jednostkowym
skierowanym od ładunku Q do punktu P(x, y, z)

'

r

r

Q

P

'

r

r

r

r

r ⋅

=

E

r

rr

P

V

Q

1

Q

2

Q

3

2

E

r

1

E

r

3

E

r

F

q

 

Dipol elektryczny

r

F

1

r

F

2

r

F

moment dipolowy

3

o

r

p

4

1

E

ε

π

=

l

Q

p

r

r =

pr

r

l

F

F

=

1

z podobieństwa trójkątów

3

2

1

r

p

qk

r

Qq

k

r

l

F

r

l

F

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

=

 

Energia potencjalna

Pole elektrostatyczne jest polem zachowawczym tzn.

Energia potencjalna to praca jaką muszą wykonać siły

zewnętrzne, aby przenieść ładunek z nieskończoności do danego

punktu pola

Energia potencjalna ładunku punktowego q umieszczonego w

polu ładunku Q (tor radialny więc ds = dr)

„

„

„

∫

=

⋅

0

s

d

E

r

r

∫

∫

∞

∞

⋅

=

⋅

−

=

A

A

A

s

d

E

q

s

d

E

q

U

r

r

r

r

r

qQ

dr

r

Q

q

U

r

r

o

r

o

ε

ε

π

ε

ε

π

4

1

1

4

2

∫

∞

=

−

=

Q, q różnoimienne to U<0
przy rozsuwaniu siły zew. wykonują pracę to U wzrasta

r

U

r

A

r

B

⇒

=

⋅

=

⋅

=

∫

∫

0

s

d

E

q

s

d

F

W

ABA

r

r

r

r

prawo

Faradaya

dla pola

elektrosta

-tycznego

 

Potencjał pola

elektrostatycznego

Potencjał elektryczny określamy jako energię

potencjalną jednostkowego ładunku

Potencjał elektryczny jest to praca jaką należy

wykonać aby przenieść jednostkowy ładunek z

nieskończoności na odległość r od danego

ładunku Q

„

„

q

U

V

=

wolt V = J/C

r

Q

4

1

V

r

o

ε

πε

=

∫ ⋅

−

=

∞

A

s

d

E

V

r

r

 

Różnica potencjałów – napięcie elektryczne

∫

⋅

−

=

−

=

Δ

A

B

B

A

s

d

E

V

V

V

r

r

r

r

dr

dV

E

r

r

⋅

−

=

V

grad

E

→

−

=

r

powierzchnie ekwipotencjalne – stały potencjał

V=const ⇒ ΔV=0 ⇒

czyli

0

=

⋅ r

d

E

r

r

r

d

E

r

r ⊥

powierzchnie ekwipotencjalne są prostopadłe do linii sił pola

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

=

→

k

z

V

j

y

V

i

x

V

V

grad

r

r

r

V

V+dV

V-dV

E

r

ds

 

Strumień pola elektrycznego

∫

=

∑

⋅

Δ

⋅

=

Φ

S

j

j

j

E

S

d

E

S

E

r

r

r

r

[Vm]

strumień określa liczbę linii sił pola

przechodzących przez daną powierzchnię

α

cos

ES

S

E

E

=

⋅

=

Φ

r

r

strumień to iloczyn natężenia

pola przez powierzchnię

j

S

r

Δ

S

r

S

 

Prawo Gaussa

strumień natężenia pola elektrycznego przez

dowolną, zamkniętą powierzchnię równy jest

całkowitemu ładunkowi zamkniętemu w tej

powierzchni podzielonemu przez

w przypadku ładunku o gęstości objętościowej

r

„

„

ε

ε

o

∑

=

n

1

=

i

r

o

E

i

q

ε

ε

Φ

∫

∫

=

⋅

V

o

S

dV

S

d

E

ρ

ε

ε

r

1

r

r

 

liniowy rozkład ładunku

Algorytm wyznaczania

natężenia pola z prawa Gaussa

„

„

„

„

„

wybieramy powierzchnię Gaussowską:

•

prostopadłą lub równoległą do E

•

tak aby E było stałe na tej powierzchni

obliczamy strumień
określamy ładunek zawarty wewnątrz tej

powierzchni
stosujemy prawo Gaussa
obliczamy wartość pola E

rh

E

pb

pp

pb

π

2

2

=

Φ

=

Φ

+

Φ

=

Φ

h

q

λ

=

o

q

ε

=

Φ

o

h

rh

E

ε

λ

π

=

2

r

E

o

πε

λ

2

=

h

r

λ

E

r

E

r

E

r

A

 

PRZYKŁAD - nieskończona płaszczyzna

o gęstości powierzchniowej ładunku σ

r

o

o

o

S

ES

2

ε

ε

σ

=

r

o

2

E

ε

ε

σ

=

σ

S

0

E

o

ES

S

d

E

2

=

⋅

∫

r

r

 

Pole elektryczne w dielektrykach

E

0

E

p

E=E

0

-E

p

σ

z

dielektryk ulega polaryzacji

na powierzchni indukują się

ładunki związane o gęstości σ

z

Dielektryk umieszczony w zewnętrznym polu elektrycznym E

0

zamiast mówić o ładunkach

związanych wprowadzamy wektor

polaryzacji dielektrycznej P

σ

σ

z

pow. Gaussa

dielektryk

(

)

(

)

0

0

ε

σ

ε

σ

σ

S

P

S

S

d

E

n

z

S

Δ

−

=

Δ

⋅

−

=

⋅

∫

r

r

Prawo Gaussa

(

)

Q

S

S

d

D

S

d

P

E

S

S

o

=

Δ

σ

=

∫ ⋅

=

∫

+

ε

r

r

r

r

r

P

E

D

o

r

r

r

+

=

ε

(

)

E

E

E

D

o

o

o

r

r

r

r

χ

ε

χ

ε

ε

+

=

+

=

1

E

D

r

o

r

r

ε

ε

=

χ

ε

+

= 1

r

wektor indukcji elektrostatycznej

 

Prawo Gaussa w dielektrykach

Dla próżni ε

r

=1, a χ=0

E

D

r

o

Strumień wektora indukcji przez powierzchnię zamkniętą

równy jest ładunkowi swobodnemu zawartemu w obszarze

ograniczonym rozpatrywaną powierzchnią

r

r

ε

ε

=

informacja o dielektryku zawarta jest w przenikalności dielektrycznej ε

r

Q

S

d

D

S

=

⋅

∫

r

r

Q

S

d

E

S

r

o

=

⋅

∫

r

r

ε

ε

Q

S

d

E

r

o

S

ε

ε

1

=

⋅

∫

r

r

Q

S

d

E

o

S

ε

1

=

⋅

∫

r

r

 

Prąd elektryczny

prąd elektryczny to ilość ładunku przepływająca

przez dany przekrój w jednostce czasu (1A)

gęstość prądu

Prawo Ohma: stosunek R =

Δ

V/I nie zależy od

natężenia prądu I dla metali przy stałej

temperaturze (1om Ω = V/A)

d

d

v

ne

v

r

r

r

=

=

ρ

j

„

„

„

dt

dQ

t

Q

I

=

=

S

j

I

r

r

⋅

=

∫

⋅

=

S

S

d

j

I

r

r

I

linie sił prądu

R

V

I

Δ

=

E

E

j

r

r

r

r

σ

μ =

=

=

ne

v

ne

d

σ

- przewodność

właściwa (S)

 

Pole magnetyczne

Oddziaływania magnetyczne

elektrostatyka – oddziaływanie nieruchomych

ładunków
gdy ładunki poruszają się pojawia się nowy

typ oddziaływania –

eżne od prędkości ładunków

na naładowaną cząstkę poruszającą się w

polu magnetycznym działa siła, wynikająca z

istnienia tego pola

„

„

oddziaływanie

magnetyczne

, zal

„

 

Istnienie siły magnetycznej jest

następstwem uwzględnienia szczególnej

teorii relatywistycznej w prawie Coulomba

wzór Lorentza konsekwencją fizyki

relatywistycznej F=qvB
pole magnetyczne B=F/qv – indukcja

magnetyczna

[B]=Ns/Cm=N/Am=T (tesla)

μ

0

=1/ε

0

c

2

– przenikalność magnetyczna

próżni = 4π·10

-7

V·s/A·m c

2

=1/(ε

0

·μ

0

)

względność pól: magnet. i elektrycznego
indukcja, a natężenie pola magnetycznego

„

„

„

„

„

H

r

I

c

B

r

r

⋅

=

⋅

=

0

2

0

2

1

μ

π

ε

 

Prawo Ampera

I

r

I

ds

B

ds

B

s

d

B

r

o

r

o

const

B

s

d

B

μ

μ

π

π

μ

μ

=

⋅

=

=

=

⋅

∫

∫

∫

=

r

.

|

|

2

2

4

r

r

r

r

Cyrkulacja wektora B po okręgu:

Rozważmy nieskończenie długi przewód

prostoliniowy w którym płynie prąd I

Pozwala wyznaczyć pole magnetyczne

w przypadku symetrii układów prądów

s

dr

rr

B

r

I

I

 

Treść prawa Ampera

c

r

o

n

i

i

r

o

C

I

I

s

d

B

μ

μ

μ

μ

=

=

⋅

∑

∫

=1

r

r

Cyrkulacja wektora indukcji magnetycznej jest równa

sumie algebraicznej natężeń prądów płynących

wewnątrz konturu całkowania pomnożonych przez

przenikalność magnetyczną ośrodka

w przypadku prądu niejednorodnego:

∫

∫

⋅

=

⋅

S

C

r

o

S

d

j

s

d

B

r

r

r

r

μ

μ

gdzie powierzchnia S jest rozpięta na konturze C

I

S

C

 

Właściwości pola

magnetycznego

ole magnetyczne nie jest polem zachowawczym,

ponieważ cyrkulacja wektora po konturze

zamkniętym jest różna od zera

ole magnetyczne jest polem

le elektrostatyczne jest polem bezwirowym, bo

jest polem zachowawczym:

B

„

P

„

P

wirowym

„

Po

r

∫

=

⋅

C

s

d

E

0

r

r

c

r

C

o

I

s

d

B

μ

μ

∫

=

⋅ r

r

 

Strumień magnetyczny

linie pola magnetycznego są zawsze zamknięte
w przyrodzie nie występują ładunki magnetyczne
pole magnetyczne jest bezźródłowe
jednostka strumienia weber Wb=Tm

2

∫ ⋅

=

Φ

S

B

S

d

B

„

„

„

„

r

r

N

S

1

S

2

S

Tw. Gaussa:

Strumień magnetyczny przez dowolną

zamkniętą powierzchnię równa się zeru

0

=

∫

⋅

S

S

d

B

r

r

0

=

Φ

B

 

Skąd wynika podobny kształt linii sił pola

magnetycznego magnesu stałego (a) i solenoidu (b)?

Obwód z prądem, a magnes stały

 

Magnetyczny moment dipolowy

Pojedynczy zamknięty obwód o powierzchni przekroju S

przez który płynie prąd o natężeniu I charakteryzuje się

dipolowym momentem magnetycznym p

m

:

[1 Am

2

]

indukcja pola na osi obwodu w odległości r wynosi

3

3

3

2

3

2

2

2

2

2

r

p

r

IS

r

R

I

r

IR

B

m

o

o

o

o

π

μ

π

μ

π

π

μ

μ

=

=

=

=

3

2 r

p

B

m

o

π

μ

r

r

=

S

I

p

m

r

r

⋅

=

Występowanie biegunów magnetycznych N i S rozsuniętych

na odległość l kojarzy się z pojęciem dipola magnetycznego

Właściwości dipolowe w czasie przepływu prądu mają

zarówno solenoid, jak i obwód kołowy czy pojedyncza ramka

analogia do dipola
elektrycznego

m

pr

I

r

B

r

 

Dipole magnetyczne

cewka z prądem

1 J/T

magnes sztabkowy

5 J/T

Ziemia

8,0 10

22

J/T

proton

1,4 10

-26

J/T

elektron

8,0 10

-24

J/T

Przykładowe wartości niektórych

dipolowych momentów magnetycznych

I

p

m

p

m

m

pr

m

pr

−

S

I

p

m

r

r

⋅

=

 

Indukcja

elektromagnetyczna

Czy pole

magnetyczne

powoduje powstanie

pola elektrycznego?

 

Doświadczenie Faraday’a

2

1

G

B

+

K

M

G

I

2

I

1

B

+

K

2

K

1

 

Siła elektromotoryczna SEM

Źródła siły elektromotorycznej:

ogniwo elektryczne (bateria)
prądnica elektryczna (SEM indukcji)
ogniwa słoneczne
ogniwa paliwowe (np. wodorowe)
termoogniwa

Źródło siły elektromotorycznej wykonuje pracę nad nośnikami ładunku

utrzymując różnicę potencjałów między zaciskami (biegunami)

Siła elektromotoryczna źródła SEM jest pracą przypadającą na

jednostkę ładunku, jaką wykonuje źródło, przenosząc ładunek z

bieguna o mniejszym potencjale, do bieguna o większym potencjale

„

„

„

„

„

[ ]

volt

V

dq

dW

SEM

−

=

ozn. SEM, U

0

,

ε

 

Prawo indukcji Faraday’a

dt

d

SEM

B

Φ

−

=

∫

Φ

−

=

⋅

dt

d

s

d

E

B

r

r

Siła elektromotoryczna indukcji

równa się szybkości zmiany

strumienia indukcji magnetycznej

Cyrkulacja wektora natężenia pola elektrycznego

wzdłuż dowolnej krzywej zamkniętej równa się

szybkości zmian strumienia pola magnetycznego

obejmowanego przez tę krzywą

∫

∫

⋅

−

=

⋅

S

S

d

B

dt

d

s

d

E

r

r

r

r

 

Reguła Lenza

prąd indukowany w obwodzie ma zawsze taki kierunek, że

wytworzony przezeń strumień magnetyczny przez

powierzchnię ograniczoną przez ten obwód przeciwdziała

rumienia, które wywołały pojawienie się prądu

indukowanego

reguła Lenza jest konsekwencją zasady zachowania energii

pole elektryczne wywołane zmianami indukcji

magnetycznej powstaje niezależnie czy w polu są

przewodniki czy nie

pole elektryczne wywołane przez zmiany strumienia nie

jest polem zachowawczym – jest polem wirowym

„

zmianom

st

„

„

„

rv

 

Indukowane pole

magnetyczne

jeśli zmienne pole

magnetyczne powoduje

powstanie pola

elektrycznego, to czy

zmiany pola elektrycznego

nie powodują powstania

pola magnetycznego?

wokół przewodnika powstaje

pole magnetyczne, a co w

obszarze między okładkami?

R

I(t)

B

r

B

r

B

r

dt

D

d

r

U

0

rozważmy płaski kondensator ładowany przez

opór R ze źródła o stałej sile elektromotorycznej

 

Uogólnione prawo Ampera

„

prawo Ampera powinno być spełnione dla

dowolnej powierzchni rozpiętej na okręgu

(

)

S

d

t

E

S

d

j

I

I

s

d

B

v

r

r

r

r

r

o

P

o

o

o

C

S

S

⋅

∂

∂

+

⋅

=

+

=

⋅

∫

∫

∫

ε

μ

μ

μ

 

Równania Maxwella

Prawo Gaussa dla pola elektrycznego

Prawo Gaussa dla pola magnetycznego

Prawo indukcji elektromagnetycznej

Uogólnione prawo Ampera

„

„

„

„

S

d

t

B

s

d

E

C

S

r

r

r

r

⋅

∂

∂

−

=

⋅

∫

∫

S

d

t

D

j

s

d

H

C

S

r

r

r

r

r

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

=

⋅

∫

∫

∫

∫

=

⋅

S

dV

S

d

D

ρ

r

r

∫

=

⋅

S

S

d

B

0

r

r

źródłowość pola – ładunek elektryczny

wytwarza pole elektryczne

nie istnieje ładunek magnetyczny, pole

magnetyczne jest bezźródłowe

zmienne pole magnetyczne wytwarza

wirowe pole elektryczne (prąd elektryczny)

prąd elektryczny lub zmienne pole elektryczne

wytwarzają wirowe pole magnetyczne

H

B

E

D

r

o

r

o

r

r

r

r

μ

μ

ε

ε

=

=

 

Fale elektromagnetyczne

Przyspieszony ładunek emituje pola

elektryczne i magnetyczne propagujące

się z prędkością światła c

 

J

x

z

y

0

B

B

E

E

Faraday

zmiana

B→E

Amper

zmiana

E→B

s

d

E

dt

d

B

r

r

∫

⋅

−

=

Φ

s

d

B

dt

d

E

r

Φ

r

0

0

ε

μ

∫

⋅

=

E=E

0

sin (

ωt-kx) ; B=B

0

sin (

ωt-kx)

B

E

E

B

Rozwiązanie równań Faraday’a i Ampera

to fala elektromagnetyczna poruszająca

się w próżni z prędkością światła c

t

cos ω

=

o

J

J

c

v

=

=

0

0

1

ε

μ

∫

∫

⋅

=

⋅

S

C

o

S

d

j

s

d

B

r

r

r

r

μ

 

Wnioski

wokół płaszczyzny z prądem zmiennym w

czasie powstają pola magnetyczne i

elektryczne, spełniające równanie falowe,

tzn. pola magnetyczne i elektryczne

rozchodzą się jak fala w kierunku osi x, z

prędkością fazową c
pola te są wzajemnie prostopadłe do

siebie i do kierunku rozchodzenia się tych

pól w przestrzeni (kierunku propagacji

fali), tzn. B

z

⊥ E

y

⊥ ñ

„

„

s

m

c

o

o

8

10

3

1

⋅

=

ε

μ

=

Br

Er

nr

B

E

B

E

n

r

r

r

r

r

×

×

=

y

x

z

 

Br

Er

z

y

x

Pole elektryczne i magnetyczne wokół płaszczyzny z sinusoidalnie zmieniającym

się prądem jest falą sinusoidalną rozchodzącą się w kierunku osi x z prędkością c

nazywaną

falą elektromagnetyczną

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

ω

=

c

x

t

E

t

x

E

o

y

cos

,

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

ω

=

c

x

t

B

t

x

B

o

z

cos

,

T

k

k

c

π

ω

λ

π

ω

2

,

2

,

=

=

=

y

z

x

c

B

E

B

J

E

 

Widmo fal elektromagnetycznych