Odwzorowania
kartograficzne
wykłady z przedmiotu
„Mapy numeryczne i pozyskiwanie danych”
Dr hab. inż. Andrzej Kobryń
Odwzorowania
kartograficzne
wykłady z przedmiotu
„Mapy numeryczne i pozyskiwanie danych”
Dr hab. inż. Andrzej Kobryń
Wiadomości wstępne
kartografia matematyczna:
dział geodezji zajmujący się przedstawianiem
kulistej lub elipsoidalnej powierzchni Ziemi na
płaszczyźnie
odwzorowanie kartograficzne:
sposób ścisłego, matematycznego
powiązania punktów na powierzchni
odniesienia i na płaszczyźnie mapy
(ustala analityczną zależność między
współrzędnymi geograficznymi lub
geodezyjnymi punktów na kuli lub elipsoidzie
ziemskiej a współrzędnymi prostokątnymi
tych punktów na płaszczyźnie)
Powierzchni kuli lub elipsoidy nie można
rozwinąć na płaszczyźnie tak, jak np.
powierzchni walca lub
stożka.
Dlatego ciągłość i jednoznaczność obrazu jest
osiągana w pewnym sensie kosztem
nierównomiernego rozciągnięcia (lub
ściśnięcia), czyli deformacji powierzchni kuli
(elipsoidy).
Wiadomości wstępne
siatka geograficzna:
siatka utworzona przez południki i
równoleżniki
siatka kartograficzna:
obraz siatki geograficznej przedstawiony
na płaszczyźnie rysunku mapy z
zachowaniem zasad odwzorowawczych
oczka tej siatki wypełniają szczegóły
tworzące treść mapy
obraz siatki kartograficznej wynika z
odpowiednich przeliczeń
matematycznych lub z bezpośredniego
rzutowania na płaszczyznę lub inną
powierzchnię rozwijalną (walec, stożek)
Wiadomości wstępne
etapy procesu tworzenia obrazu powierzchni elipsoidy na mapie:
odwzorowanie powierzchni elipsoidy na płaszczyznę
zmniejszenie wszystkich elementów liniowych obrazu płaskiego w
stosunku
(
skala główna mapy ew. skala mapy)
M
:
1
0
Podstawy matematyczne
Każde odwzorowanie określają dwie funkcje:
(*)
Odwzorowania regularne:
jeśli w rozpatrywanym obszarze powierzchni funkcje (*) są:
jedno-
jednoznaczne, tzn. każdej parze wartości parametrów U, V
odpowiada jedna i tylko jedna para wartości parametrów u, v i odwrotnie
ciągłe i co najmniej dwukrotnie różniczkowalne
wzajemnie niezależne, tzn. jeśli jakobian funkcji (*) J jest różny od zera
dla wszystkich wartości U i V, przy czym
Jeśli funkcje odwzorowawcze spełniają powyższe warunki, to obraz
powierzchni regularnej jest też regularny, tzn. nie ma nieciągłości lub
załamań i ma charakter jedno-jednoznaczny.
)
,
(
V
U
u
u
)
,
(
V
U
v
v
V
v
U
v
V
u
U
u
J
Praktyka odwzorowań kartograficznych
Rolę parametrów U i V odgrywają zwykle współrzędne elipsoidalne
B i L.
Rolę parametrów u i v odgrywają współrzędne prostokątne x i y.
Funkcje odwzorowawcze
Funkcje te pozwalają na obliczenie współrzędnych prostokątnych
danego punktu na podstawie znanych współrzędnych geodezyjnych.
Liczba możliwych zależności funkcyjnych (odwzorowań) jest
nieograniczona.
Konieczne jest jedynie, aby każdy punkt na elipsoidzie był
przedstawiony przez odpowiedni punkt na płaszczyźnie i żeby
przedstawienie to było ciągłe.
)
,
(
L
B
x
x
)
,
(
L
B
y
y
Elementarna skala długości (skala długości)
Niech dS oznacza długość nieskończenie małego łuku na
powierzchni oryginału, a ds - długość odpowiadającego mu łuku na
obrazie.
Jeśli
0
=1:1, to stosunek
=ds/dS określa elementarną skalę
długości
(nierozwijalność powierzchni elipsoidy/kuli na płaszczyznę
uniemożliwia uzyskanie takiego odwzorowania, w którym w każdym
punkcie pewnego skończonego obszaru skale długości byłyby
niezależne od kierunku i równe 1)
zniekształcenie długości – odchylenie elementarnej skali długości
od jedności
z
=
-1
Elementarna skala pól (skala pól)
Niech dP oznacza pole nieskończenie małego elementu
powierzchniowego na oryginale, a dp -
pole odpowiadającego mu
elementu powierzchniowego na obrazie.
Jeśli
0
=1:1, to stosunek p=dp/dP określa elementarną skalę pól
zniekształcenie pól – odchylenie elementarnej skali pól od
jedności
z
p
=p-1
Siatki krzywych głównych (tw.Tissota)
W dowolnym regularnym odwzorowaniu jednej powierzchni regularnej
na drugą istnieje zawsze przynajmniej jedna, a jeśli odwzorowanie nie
jest równokątne, to tylko jedna siatka ortogonalna na powierzchni
oryginału, której obraz na drugiej powierzchni jest również siatką
ortogonalną.
Takie siatki nazywają się siatkami krzywych głównych.
styczne główne:
linie proste styczne do krzywych głównych w dowolnym punkcie
powierzchni oryginału oraz linie proste styczne do krzywych
głównych w odpowiednim punkcie powierzchni obrazu nazywają się
stycznymi głównymi
kierunki główne:
kierunki ww. stycznych
Zniekształcenie kąta
Jeśli
a
jest kątem między dwiema dowolnymi krzywymi w punkcie
na powierzchni oryginału, natomiast
a
’ - kątem zawartym między
obrazami tych krzywych na powierzchni obrazu, to
zniekształceniem kąta nazywamy różnicę między
a
i
a
’.
odwzorowanie równokątne: jeśli
a
=
a
’
(w odwzorowaniach równokątnych kierunki główne nie są określone)
Podział odwzorowań kartograficznych
Przyczyna:
różne warunki przy doborze funkcji odwzorowawczych
Skutek:
różne rodzaje odwzorowań kartograficznych
podstawowe kryteria podziału odwzorowań kartograficznych:
kształt tzw. siatki normalnej południków i równoleżników, czyli
kształt obrazu siatki geograficznej
charakter zniekształceń odwzorowawczych
w świetle pierwszego kryterium
odwzorowania
azymutalne (płaszczyznowe)
odwzorowania walcowe
odwzorowania
stożkowe
w świetle drugiego kryterium:
odwzorowania
równokątne,
odwzorowania
równopolowe (z
p
=0)
odwzorowania
równoodległościowe (z
=0)
Podział odwzorowań w świetle 1.kryterium
(kształt obrazu siatki geograficznej /
rodzaj powierzchni
odwzorowawczej
)
odwzorowania
azymutalne (płaszczyznowe)
odwzorowania walcowe
odwzorowania
stożkowe
Podział ten dotyczy tzw. położenia normalnego powierzchni
odwzorowawczej, w którym oś walca lub stożka są zgodne z osią
obrotu Ziemi, a płaszczyzna jest styczna do kuli na biegunie.
Dlatego za właściwe kryterium takiego podziału często uważa
się rodzaj powierzchni odwzorowawczej.
Podział odwzorowań (c.d.)
(ze względu na sposób przyłożenia powierzchni
odwzorowawczej do powierzchni oryginału)
normalne
(osie powierzchni odwzorowawczych zgodne z osią obrotu Ziemi)
poprzeczne
(osie powierzchni odwzorowawczych położone w płaszczyźnie równika)
ukośne
(osie powierzchni odwzorowawczych tworzą z osią obrotu Ziemi kąt ostry)
Ogólna zasada tworzenia odwzorowań
walcowych i stożkowych
odwzorowania walcowe
odwzorowania
stożkowe
Odwzorowania azymutalne (płaszczyznowe)
Podział odwzorowań w świetle 2. kryterium
(charakter zniekształceń);
przykłady siatek kartograficznych
równopolowe
równoodległościowe
równokątne
odwzorowania
równokątne,
odwzorowania
równopolowe (z
p
=0)
odwzorowania
równoodległościowe (z
=0)
Rozkład zniekształceń odwzorowawczych
w przypadku wybranych odwzorowań
Ogólna charakterystyka odwzorowań
odwzorowania azymutalne
jeden punkt styczności o zerowym zniekształceniu
w położeniu normalnym:
południki są liniami prostymi,
równoleżniki są kołami koncentrycznymi, których środek leży na biegunie
odwzorowania walcowe
jedna linia styczna bez zniekształceń
w położeniu normalnym linia ta styka się z elipsoidą na równiku
południki i równoleżniki są liniami prostymi, prostopadłymi do siebie
zniekształcenia wzrastają silnie w kierunku obydwu biegunów, które
odwzorowują się na linie
w położeniu poprzecznym linia styczności pokrywa się z południkami,
wzdłuż których występują zniekształcenia zerowe
odwzorowania stożkowe
jedna linia o zerowym zniekształceniu
w położeniu normalnym jest to jeden z równoleżników
w położeniu normalnym południki są liniami prostymi
Wybrane odwzorowania i typowe kształty siatek
Specjalne rodzaje odwzorowań normalnych
ze względu na obraz siatki geograficznej
pseudowalcowe
równoleżniki to linie proste, wzajemnie równoległe
południki to linie krzywe, symetryczne względem prostego południka
środkowego
pseudostożkowe
równoleżniki to luki okręgów współśrodkowych
południki to linie krzywe, symetryczne względem prostego południka
środkowego
wielostożkowe
równoleżniki to łuki kół niewspółśrodkowych (lecz ze środkami na
prostym południku środkowym)
południki to linie krzywe, symetryczne względem prostego południka
środkowego
Odwzorowania pseudowalcowe,
pseudostożkowe i wielostożkowe
-
równania ogólne
pseudowalcowe
pseudostożkowe
wielostożkowe
)
(B
x
x
)
,
(
L
B
y
y
)
(B
)
,
(
L
B
constans
q
)
(B
)
,
(
L
B
)
(B
q
q
Odwzorowania perspektywiczne
podgrupa odwzorowań azymutalnych
uzyskuje się je przez rzutowanie perspektywiczne powierzchni kuli na
płaszczyznę styczną
wśród nich:
ortograficzne
– środek rzutów w nieskończoności
stereograficzne
– środek rzutów na powierzchni kuli w punkcie
położonym diametralnie względem punktu styczności (odwzorowanie
równokątne)
środkowe (gnomiczne) – środek rzutów w środku kuli
Zniekształcenia odwzorowawcze
charakterystyczny rozkład w
każdym odwzorowaniu
zawsze rosną w miarę
oddalania się od linii lub punktu
styczności
odwzorowania walcowe i
stożkowe mają po jednej linii
styczności, a zniekształcenia
rosną w miarę oddalania się od
niej
Zniekształcenia odwzorowawcze (c.d.)
w celu zmniejszenia zniekształceń w miarę oddalania się od
punktu lub linii styczności stosuje się przecięcie kuli (elipsoidy),
wskutek czego odwzorowania mają po dwie linie o zerowym
zniekształceniu oraz mniejsze zniekształcenia ogólne
Powierzchnie odwzorowawcze w położeniu
stycznym i siecznym
Ogólne równania
poszczególnych rodzajów odwzorowań
odwzorowania azymutalne normalne:
gdzie:
(funkcję mogą określać różne warunki, co prowadzi do
odwzorowań o różnym charakterze, rozkładzie i wielkości
zniekształceń odwzorowawczych)
główna zaleta odwzorowań normalnych
stosunkowo najprostszy spośród wszystkich odwzorowań opis
matematyczny
(opis ten znacznie się komplikuje w przypadku odwzorowań
ukośnych i poprzecznych)
inne rodzaje odwzorowań
odpowiednia zmiana obrazu siatki geograficznej, a przede
wszystkim jeszcze bardziej skomplikowany opis matematyczny
L
x
cos
L
y
sin
)
(B
)
(B
Ogólne równania
poszczególnych rodzajów odwzorowań (c.d.)
odwzorowania walcowe normalne:
gdzie c-
stała
(nakładając różne warunki na funkcję , otrzymuje się
odwzorowania walcowe o różnym charakterze, rozkładzie i
wielkości zniekształceń odwzorowawczych)
odwzorowania stożkowe normalne:
gdzie:
(siatkę normalną równoleżników i południków stanowią odpowiednio
łuki okręgów współśrodkowych oraz odcinki promieni tych okręgów)
)
(B
x
x
cL
y
cos
q
x
sin
y
cL
)
(B
constans
q
1
0
c
)
(B
x
x
Odwzorowania elipsoidy obrotowej
podobny sposób podziału, jak
odwzorowań powierzchni kuli – ze
względu na występujące
zniekształcenia i ze względu na
kształt siatki kartograficznej
równania odwzorowań względnie
łatwo otrzymać w przypadku
odwzorowań azymutalnych,
walcowych normalnych i
poprzecznych oraz stożkowych
normalnych
w innych przypadkach,
zdecydowanie wygodniej jest
przedstawić odwzorowanie
powierzchni elipsoidy w postaci
odwzorowania dwustopniowego
(odwzorowanie powierzchni elipsoidy
na powierzchnię kuli, a następnie
odpowiednie odwzorowania
powierzchni kuli na powierzchnię
rozwijalną)
Przykłady siatek kartograficznych
w różnych odwzorowaniach
Przykłady siatek kartograficznych
w różnych odwzorowaniach
Przykłady siatek kartograficznych
w różnych odwzorowaniach
Przykłady siatek kartograficznych
w różnych odwzorowaniach
Dobór odwzorowań do określonych aplikacji
mapy świata
odwzorowania walcowe i pseudowalcowe z siatkami o prostych i
równoległych do siebie równoleżnikach
mapy półkul
odwzorowania azymutalne
mapy poszczególnych kontynentów
przeważnie odwzorowania azymutalne ukośne wiernopolowe
mapy poszczególnych krajów
zależnie od zakresu długości i szerokości geodezyjnej
(np. dla Polski z reguły stosuje się odwzorowanie poprzeczne
walcowe równokątne)