Odwzorowania
kartograficzne

wykłady z przedmiotu
„Mapy numeryczne i pozyskiwanie danych”

Dr hab. inż. Andrzej Kobryń

Wiadomości wstępne

kartografia matematyczna:



dział geodezji zajmujący się przedstawianiem
kulistej lub elipsoidalnej powierzchni Ziemi na

płaszczyźnie

odwzorowanie kartograficzne:



sposób ścisłego, matematycznego

powiązania punktów na powierzchni

odniesienia i na płaszczyźnie mapy

(ustala analityczną zależność między

współrzędnymi geograficznymi lub

geodezyjnymi punktów na kuli lub elipsoidzie

ziemskiej a współrzędnymi prostokątnymi

tych punktów na płaszczyźnie)

Powierzchni kuli lub elipsoidy nie można

rozwinąć na płaszczyźnie tak, jak np.
powierzchni walca lub

stożka.

Dlatego ciągłość i jednoznaczność obrazu jest

osiągana w pewnym sensie kosztem

nierównomiernego rozciągnięcia (lub

ściśnięcia), czyli deformacji powierzchni kuli
(elipsoidy).

Wiadomości wstępne

siatka geograficzna:

siatka utworzona przez południki i
równoleżniki

siatka kartograficzna:

obraz siatki geograficznej przedstawiony
na płaszczyźnie rysunku mapy z
zachowaniem zasad odwzorowawczych



oczka tej siatki wypełniają szczegóły
tworzące treść mapy



obraz siatki kartograficznej wynika z
odpowiednich przeliczeń
matematycznych lub z bezpośredniego
rzutowania na płaszczyznę lub inną
powierzchnię rozwijalną (walec, stożek)

Wiadomości wstępne

etapy procesu tworzenia obrazu powierzchni elipsoidy na mapie:



odwzorowanie powierzchni elipsoidy na płaszczyznę



zmniejszenie wszystkich elementów liniowych obrazu płaskiego w
stosunku

(

skala główna mapy ew. skala mapy)

M

:

1

0





Podstawy matematyczne

Każde odwzorowanie określają dwie funkcje:

(*)

Odwzorowania regularne:



jeśli w rozpatrywanym obszarze powierzchni funkcje (*) są:



jedno-

jednoznaczne, tzn. każdej parze wartości parametrów U, V

odpowiada jedna i tylko jedna para wartości parametrów u, v i odwrotnie



ciągłe i co najmniej dwukrotnie różniczkowalne



wzajemnie niezależne, tzn. jeśli jakobian funkcji (*) J jest różny od zera
dla wszystkich wartości U i V, przy czym

Jeśli funkcje odwzorowawcze spełniają powyższe warunki, to obraz
powierzchni regularnej jest też regularny, tzn. nie ma nieciągłości lub
załamań i ma charakter jedno-jednoznaczny.

)

,

(

V

U

u

u



)

,

(

V

U

v

v



V

v

U

v

V

u

U

u

J



















Praktyka odwzorowań kartograficznych



Rolę parametrów U i V odgrywają zwykle współrzędne elipsoidalne

B i L.



Rolę parametrów u i v odgrywają współrzędne prostokątne x i y.



Funkcje odwzorowawcze



Funkcje te pozwalają na obliczenie współrzędnych prostokątnych
danego punktu na podstawie znanych współrzędnych geodezyjnych.



Liczba możliwych zależności funkcyjnych (odwzorowań) jest
nieograniczona.



Konieczne jest jedynie, aby każdy punkt na elipsoidzie był
przedstawiony przez odpowiedni punkt na płaszczyźnie i żeby
przedstawienie to było ciągłe.

)

,

(

L

B

x

x



)

,

(

L

B

y

y



Elementarna skala długości (skala długości)



Niech dS oznacza długość nieskończenie małego łuku na

powierzchni oryginału, a ds - długość odpowiadającego mu łuku na
obrazie.



Jeśli



0

=1:1, to stosunek



=ds/dS określa elementarną skalę

długości

(nierozwijalność powierzchni elipsoidy/kuli na płaszczyznę

uniemożliwia uzyskanie takiego odwzorowania, w którym w każdym

punkcie pewnego skończonego obszaru skale długości byłyby

niezależne od kierunku i równe 1)



zniekształcenie długości – odchylenie elementarnej skali długości

od jedności

z



=



-1

Elementarna skala pól (skala pól)



Niech dP oznacza pole nieskończenie małego elementu
powierzchniowego na oryginale, a dp -

pole odpowiadającego mu

elementu powierzchniowego na obrazie.



Jeśli



0

=1:1, to stosunek p=dp/dP określa elementarną skalę pól



zniekształcenie pól – odchylenie elementarnej skali pól od

jedności

z

p

=p-1

Siatki krzywych głównych (tw.Tissota)

W dowolnym regularnym odwzorowaniu jednej powierzchni regularnej
na drugą istnieje zawsze przynajmniej jedna, a jeśli odwzorowanie nie
jest równokątne, to tylko jedna siatka ortogonalna na powierzchni
oryginału, której obraz na drugiej powierzchni jest również siatką
ortogonalną.

Takie siatki nazywają się siatkami krzywych głównych.

styczne główne:



linie proste styczne do krzywych głównych w dowolnym punkcie

powierzchni oryginału oraz linie proste styczne do krzywych

głównych w odpowiednim punkcie powierzchni obrazu nazywają się

stycznymi głównymi

kierunki główne:



kierunki ww. stycznych

Zniekształcenie kąta



Jeśli

a

jest kątem między dwiema dowolnymi krzywymi w punkcie

na powierzchni oryginału, natomiast

a

’ - kątem zawartym między

obrazami tych krzywych na powierzchni obrazu, to
zniekształceniem kąta nazywamy różnicę między

a

i

a

’.



odwzorowanie równokątne: jeśli

a

=

a

’

(w odwzorowaniach równokątnych kierunki główne nie są określone)

Podział odwzorowań kartograficznych

Przyczyna:

różne warunki przy doborze funkcji odwzorowawczych

Skutek:

różne rodzaje odwzorowań kartograficznych

podstawowe kryteria podziału odwzorowań kartograficznych:



kształt tzw. siatki normalnej południków i równoleżników, czyli

kształt obrazu siatki geograficznej



charakter zniekształceń odwzorowawczych

w świetle pierwszego kryterium



odwzorowania

azymutalne (płaszczyznowe)



odwzorowania walcowe



odwzorowania

stożkowe

w świetle drugiego kryterium:



odwzorowania

równokątne,



odwzorowania

równopolowe (z

p

=0)



odwzorowania

równoodległościowe (z



=0)

Podział odwzorowań w świetle 1.kryterium

(kształt obrazu siatki geograficznej /

rodzaj powierzchni

odwzorowawczej

)



odwzorowania

azymutalne (płaszczyznowe)



odwzorowania walcowe



odwzorowania

stożkowe

Podział ten dotyczy tzw. położenia normalnego powierzchni

odwzorowawczej, w którym oś walca lub stożka są zgodne z osią

obrotu Ziemi, a płaszczyzna jest styczna do kuli na biegunie.

Dlatego za właściwe kryterium takiego podziału często uważa

się rodzaj powierzchni odwzorowawczej.

Podział odwzorowań (c.d.)

(ze względu na sposób przyłożenia powierzchni
odwzorowawczej do powierzchni oryginału)



normalne

(osie powierzchni odwzorowawczych zgodne z osią obrotu Ziemi)



poprzeczne

(osie powierzchni odwzorowawczych położone w płaszczyźnie równika)



ukośne

(osie powierzchni odwzorowawczych tworzą z osią obrotu Ziemi kąt ostry)

Ogólna zasada tworzenia odwzorowań
walcowych i stożkowych



odwzorowania walcowe



odwzorowania

stożkowe

Odwzorowania azymutalne (płaszczyznowe)

Podział odwzorowań w świetle 2. kryterium

(charakter zniekształceń);
przykłady siatek kartograficznych



równopolowe



równoodległościowe



równokątne



odwzorowania

równokątne,



odwzorowania

równopolowe (z

p

=0)



odwzorowania

równoodległościowe (z



=0)

Rozkład zniekształceń odwzorowawczych
w przypadku wybranych odwzorowań

Ogólna charakterystyka odwzorowań

odwzorowania azymutalne



jeden punkt styczności o zerowym zniekształceniu



w położeniu normalnym:



południki są liniami prostymi,



równoleżniki są kołami koncentrycznymi, których środek leży na biegunie

odwzorowania walcowe



jedna linia styczna bez zniekształceń



w położeniu normalnym linia ta styka się z elipsoidą na równiku



południki i równoleżniki są liniami prostymi, prostopadłymi do siebie



zniekształcenia wzrastają silnie w kierunku obydwu biegunów, które

odwzorowują się na linie



w położeniu poprzecznym linia styczności pokrywa się z południkami,

wzdłuż których występują zniekształcenia zerowe

odwzorowania stożkowe



jedna linia o zerowym zniekształceniu



w położeniu normalnym jest to jeden z równoleżników



w położeniu normalnym południki są liniami prostymi

Wybrane odwzorowania i typowe kształty siatek

Specjalne rodzaje odwzorowań normalnych
ze względu na obraz siatki geograficznej



pseudowalcowe



równoleżniki to linie proste, wzajemnie równoległe



południki to linie krzywe, symetryczne względem prostego południka

środkowego



pseudostożkowe



równoleżniki to luki okręgów współśrodkowych



południki to linie krzywe, symetryczne względem prostego południka

środkowego



wielostożkowe



równoleżniki to łuki kół niewspółśrodkowych (lecz ze środkami na

prostym południku środkowym)



południki to linie krzywe, symetryczne względem prostego południka

środkowego

Odwzorowania pseudowalcowe,
pseudostożkowe i wielostożkowe
-

równania ogólne



pseudowalcowe



pseudostożkowe



wielostożkowe

)

(B

x

x



)

,

(

L

B

y

y



)

(B







)

,

(

L

B







constans



q

)

(B







)

,

(

L

B







)

(B

q

q



Odwzorowania perspektywiczne



podgrupa odwzorowań azymutalnych



uzyskuje się je przez rzutowanie perspektywiczne powierzchni kuli na

płaszczyznę styczną



wśród nich:



ortograficzne

– środek rzutów w nieskończoności



stereograficzne

– środek rzutów na powierzchni kuli w punkcie

położonym diametralnie względem punktu styczności (odwzorowanie

równokątne)



środkowe (gnomiczne) – środek rzutów w środku kuli

Zniekształcenia odwzorowawcze



charakterystyczny rozkład w

każdym odwzorowaniu



zawsze rosną w miarę

oddalania się od linii lub punktu

styczności



odwzorowania walcowe i

stożkowe mają po jednej linii

styczności, a zniekształcenia

rosną w miarę oddalania się od
niej

Zniekształcenia odwzorowawcze (c.d.)



w celu zmniejszenia zniekształceń w miarę oddalania się od

punktu lub linii styczności stosuje się przecięcie kuli (elipsoidy),

wskutek czego odwzorowania mają po dwie linie o zerowym

zniekształceniu oraz mniejsze zniekształcenia ogólne

Powierzchnie odwzorowawcze w położeniu
stycznym i siecznym

Ogólne równania
poszczególnych rodzajów odwzorowań



odwzorowania azymutalne normalne:

gdzie:

(funkcję mogą określać różne warunki, co prowadzi do

odwzorowań o różnym charakterze, rozkładzie i wielkości

zniekształceń odwzorowawczych)

główna zaleta odwzorowań normalnych



stosunkowo najprostszy spośród wszystkich odwzorowań opis
matematyczny

(opis ten znacznie się komplikuje w przypadku odwzorowań

ukośnych i poprzecznych)

inne rodzaje odwzorowań



odpowiednia zmiana obrazu siatki geograficznej, a przede
wszystkim jeszcze bardziej skomplikowany opis matematyczny

L

x

cos





L

y

sin





)

(B







)

(B







Ogólne równania
poszczególnych rodzajów odwzorowań (c.d.)



odwzorowania walcowe normalne:

gdzie c-

stała

(nakładając różne warunki na funkcję , otrzymuje się

odwzorowania walcowe o różnym charakterze, rozkładzie i

wielkości zniekształceń odwzorowawczych)



odwzorowania stożkowe normalne:

gdzie:

(siatkę normalną równoleżników i południków stanowią odpowiednio

łuki okręgów współśrodkowych oraz odcinki promieni tych okręgów)

)

(B

x

x



cL

y







cos





q

x





sin



y

cL





)

(B







constans



q

1

0





c

)

(B

x

x



Odwzorowania elipsoidy obrotowej



podobny sposób podziału, jak

odwzorowań powierzchni kuli – ze

względu na występujące

zniekształcenia i ze względu na

kształt siatki kartograficznej



równania odwzorowań względnie

łatwo otrzymać w przypadku

odwzorowań azymutalnych,
walcowych normalnych i

poprzecznych oraz stożkowych
normalnych



w innych przypadkach,
zdecydowanie wygodniej jest

przedstawić odwzorowanie
powierzchni elipsoidy w postaci
odwzorowania dwustopniowego

(odwzorowanie powierzchni elipsoidy

na powierzchnię kuli, a następnie
odpowiednie odwzorowania

powierzchni kuli na powierzchnię

rozwijalną)

Przykłady siatek kartograficznych
w różnych odwzorowaniach

Przykłady siatek kartograficznych
w różnych odwzorowaniach

Przykłady siatek kartograficznych
w różnych odwzorowaniach

Przykłady siatek kartograficznych
w różnych odwzorowaniach

Dobór odwzorowań do określonych aplikacji



mapy świata



odwzorowania walcowe i pseudowalcowe z siatkami o prostych i

równoległych do siebie równoleżnikach



mapy półkul



odwzorowania azymutalne



mapy poszczególnych kontynentów



przeważnie odwzorowania azymutalne ukośne wiernopolowe



mapy poszczególnych krajów



zależnie od zakresu długości i szerokości geodezyjnej

(np. dla Polski z reguły stosuje się odwzorowanie poprzeczne

walcowe równokątne)