Seminarium dyplomowe, Pytanie nr 25
___________________________________________________________________________
Algorytmy sterowania manipulatorów
Przygotował: Marcin Gajos
Definicja ogólna manipulatora sztywnego:
Manipulator sztywny – układ robotyczny o nieruchomej podstawie (bazie) zbudowany
z łańcucha ramion, będących ciałami sztywnymi, połączonych sztywnymi przegubami.
Dawniej dynamika manipulatora była traktowana w algorytmach stosowana jako zbiór
nie sprzężonych ze sobą liniowych obiektów sterowania (drugiego rzędu), opisujących
pojedyncze stopnie swobody. Do każdego z tych obiektów stosowano regulator typu PD
lub PID. Wadą była nieodpowiednia jakość sterowania wymagana we współczesnych
zastosowaniach robotów.
Jak wiadomo podczas realizacji ruchów o dużym zakresie zmian położenia i
prędkości, istotną rolę odgrywają nieliniowości dynamiki oraz sprzężenia dynamiczne
między ogniwami. Wysokie wymagania dotyczące stabilności i dokładności stawiane
obecnie układom sterowania manipulatorów mogą być spełnione, gdy algorytmy
sterowania opierają się na kompletnych nieliniowych równaniach dynamiki manipulatora.
Gdy jednak model dynamiki manipulatora nie jest w pełni znany, używane są algorytmy
sterowania adaptacyjnego odpornego.
Definicja zadania sterowania :
1. przejście efektora od określonego punktu początkowego do punktu końcowego
przestrzeni zadaniowej,
2. przejście efektora wzdłuż zadanej, zależnej od czasu trajektorii (spawanie, malowanie,
skrawanie).
Dynamika układu robotycznego:
Dla układu robotycznego o n-stopniach swobody definiuje się funkcję Lagrange’a
zwaną lagranżianem, rozumianą jako różnica energii kinetycznej i potencjalnej układu :
)
(
)
,
(
)
,
(
q
V
q
q
K
q
q
L
−
=
•
•
1
Seminarium dyplomowe, Pytanie nr 25
___________________________________________________________________________
Na mocy Zasady Najmniejszego Działania Hamiltona, równania dynamiki
ukł. robotycznego przyjmują postać równań Eulera-Lagrange’a
F
q
q
q
L
q
q
q
L
t
d
d
=
∂
∂
−
∂
∂
•
•
•
•
)
,
(
)
,
(
,
gdzie: F – siły niepotencjalne działające na układ (tarcie, siły więzów itp.).
Ogólna postać równań dynamiki :
F
q
D
q
q
q
C
q
q
Q
=
+
+
•
•
•
•
)
(
)
,
(
)
(
,
gdzie Q – macierz inercji (bezwładności) układu, C – wektor opisujący wpływ sił
(momentów sił) Coriolisa i odśrodkowych, D – wektor sił grawitacji.
Własności modelu dynamiki :
1. odwracalność Q: macierz inercji Q - symetryczna (kwadratowa) i dodatnio określona
(nieosobliwa),
2. skośna symetria: pochodna macierzy inercji wzdłuż trajektorii przegubowej jest
wyznaczana przez macierz sił Coriolisa i odśrodkowych
)
,
(
)
,
(
)
(
•
•
•
+
=
q
q
C
q
q
C
q
Q
T
.
Podział algorytmów sterowania manipulatorów.
1. Algorytmy sterowania manipulatorów elastycznych.
W manipulatorze mogą wystąpić dwa rodzaje sił elastyczności powodujących
powstanie niedokładności śledzenia trajektorii elastyczność ramion i przegubów.
Istotną poprawą jakości sterowania jest odpowiednie rozpoznanie typu elastyczności i
uwzględnienie w modelu dynamiki.
Elastyczność ramion – ramiona z lekkich materiałów; ramiona manipulatora są
znacznej długości (uginanie ramion podczas pracy i powstanie niedokładności
pozycjonowania).
Modelowanie : ramię modeluje się przy pomocy dwóch elementów.
Elastyczność przegubów – manipulator z napędem niebezpośrednim -
pojawienie się różnicy miedzy położeniem układu napędowego (wału silnika) a
położeniem napędzanego przegubu. Za błędy powstające przy przekazywaniu napędu
odpowiadają takie zjawiska fizyczne jak: tarcie , poślizg i luzy w przekładach, siły
sprężystości itp.
2
Seminarium dyplomowe, Pytanie nr 25
___________________________________________________________________________
Model manipulatora o elastycznych przegubach jest znacznie bardziej złożony od
modelu manipulatora sztywnego. Algorytmy przedstawione w grafie dotyczą sytuacji,
gdy przyczyną elastyczności w przegubach są wyłącznie siły sprężystości.
Do kompletnego opisu stanu manipulatora wymagana jest dwukrotnie większa
liczba współrzędnych uogólnionych. Ponadto, liczba wejść sterujących jest mniejsza
niż liczba mechanicznych stopni swobody. Na tej podstawie, zadanie sterowania jest
trudne i wymaga, w szczególności dla algorytmu sterowania opartego na statycznym
sprzężeniu zwrotnym, instalacji sensorów mierzących zarówno położenie wałów
silników jak i położenie przegubów.
Algorytmy te pozwalają uzyskać asymptotyczną stabilność (algorytm
linearyzacji statycznej - eksponencjalną stabilność).
2. Algorytmy sterowania manipulatorów sztywnych.
Dynamika
u
t
q
q
q
D
q
q
q
C
q
q
Q
=
+
+
+
•
•
•
•
•
)
,
,
(
)
(
)
,
(
)
(
ζ
,
gdzie ζ – składnik niepotencjalny, wymaga specjalnych badań.
Uproszczenie:
u
q
D
q
q
q
C
q
q
Q
=
+
+
•
•
•
•
)
(
)
,
(
)
(
,
3
Seminarium dyplomowe, Pytanie nr 25
___________________________________________________________________________
gdzie: Q, C – zdefiniowane przez formę energii kinetycznej, D – wyznaczony przez
gradient energii potencjalnej.
Algorytmy obliczanego momentu – bazują na własności odwracalności
macierzy bezwładności manipulatora; przykład linearyzacji dynamiki układu przez
statyczne sprzężenie zwrotne - pozwala usunąć z dynamiki manipulatora (wszystkie)
składniki nieliniowe;
Algorytmy dysypatywne – wykorzystują własność skośnej symetrii; nie
wymagają sprzężenia linearyzującego; rozproszenie energii układu w taki sposób, aby
dla układu sterowania z zamknięta pętlą, błąd śledzenia położenia i prędkości
przegubów manipulatora zmierzał asymptotycznie do zera.
Postać ogólna dynamiki:
u
t
q
q
q
D
q
q
q
C
q
q
Q
=
+
+
+
•
•
•
•
•
)
,
,
(
)
(
)
,
(
)
(
ζ
(*) ,
gdzie ζ – reprezentuje różnego rodzaju siły niepotencjalne oraz efekty niedokładności
modelowania.
W praktyce model dynamiki manipulatora jest zawsze obarczony
niepewnością. Dwa rodzaje nieznajomości modelu:
1. parametryczna – znane są wszystkie składniki równań modelu (znana jest postać
funkcjonalna) natomiast nieznane są pewne parametry tych równań – parametry
zależne od własności fizycznych manipulatora: długości ramion, masy, momenty
bezwładności ramion, własności przenoszonego ładunku itp. Zmienna masa i moment
bezwładności przenoszonego ładunku mają wpływ na zmianę parametrów modelu
dynamiki w trakcie pracy manipulatora.
2. strukturalna – nie jest znana zależność funkcjonalna między pewnymi zmiennymi
modelu – ta nieznajomość jest wynikiem niedokładności modelowania dynamiki
manipulatora; w modelu (*) wszystkie nieznane oddziaływania, którym podlega
manipulator – ζ.
Algorytmy sterowania adaptacyjnego – zaprojektowanie układu sterowania
dostosowującego swoje działanie do zmian obiektu sterowania w taki sposób, aby cel
sterowania był osiągnięty. Typowy układ sterowania adaptacyjnego wykorzystuje
układ
estymujący nieznane parametry modelu i generuje sterowanie w oparciu o
estymaty. W algorytmach tych wykorzystuje się nieznajomość parametryczną modelu.
4
Seminarium dyplomowe, Pytanie nr 25
___________________________________________________________________________
Są one skomplikowane ze względu na obecność układu estymacji. Ponadto, są
kosztowne, trudne w realizacji, ale skuteczne.
Algorytmy sterowania odpornego – wykorzystują pewne aprioryczne
oszacowania parametrów i w oparciu o taką informację zapewniają poprawne
sterowanie dla wszystkich zaburzeń modelu. Cechuje je brak układu estymacji – są
prostsze od adaptacyjnych; cechują się jednak strukturalną nadczynnością (np.
nadmierne wzmocnienia).
Uniwersalne (adaptacyjne) układy sterowania - wykorzystują ograniczoną
informację o obiekcie (jedyne informacje to np. informacje strukturalne, na temat
liniowości obiektu); nie zawierają jednak układu estymacji parametrów. Zasadę ich
działania można porównać do człowieka balansującego tyczką ustawioną na dłoni
(i tak jak człowiek zachowują się przy zmianie tyczki). Charakteryzują się prostą
budową - brak układu estymacji oraz skutecznością działania.
5
Seminarium dyplomowe, Pytanie nr 25
___________________________________________________________________________
6