2009-10-19

1

Geodezja i astronomia geodezyjna

Ćwiczenie 2

Przeliczenia układów sferycznych

Przeliczenia układów sferycznych

Część rysunków została zaczerpnięta ze stron internetowych m.in. www.nauticalissues.com/astronomy.html)

2009-10-19

2

UKŁAD HORYZONTALNY

UKŁAD RÓWNIKOWY

2009-10-19

3

UKŁAD RÓWNIKOWY GODZINNY

UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH – zakresy współrzędnych

Nazwa

Zakres



– rektascensja

0

h



24

h



d kli

j



– deklinacja

-90

°



90

°

t

– kąt godzinny

0

h



24

h

h

– wysokość

-90

°



90

°

z

– odległość zenitalna

0

°



180

°

A

– azymut

0

°



360

°



– szerokość geograficzna

-90

°



90

°



g

g

90



90



– długość geograficzna

-12

h



12

h

2009-10-19

4

TRÓJKĄT PARALAKTYCZNY

z = 90º-h

TRÓJKĄT PARALAKTYCZNY

Znając

kąt

godzinny

Punktu

Barana (inaczej czas gwiazdowy,
oblicza

się

go

na

podstawie

danych

z

rocznika)

można

wyznaczyć

kat

godzinny

interesującej

nas

gwiazdy

korzystając ze wzoru:

t

γ

= t* + α*

γ

(przejście do układu godzinnego δ, t na podstawie
danych katalogowych δ, α – układ równikowy).

2009-10-19

5

TRÓJKĄT PARALAKTYCZNY JAKO TRÓJKĄT SFERYCZNY

Dowolny trójkąt sferyczny

Trójkąt paralaktyczny

Liczenie kąta godzinnego

2009-10-19

6

Liczenie azymutu

TRÓJKĄT PARALAKTYCZNY

2009-10-19

7

TRANSFORMACJA UKŁADÓW KARTEZJAŃSKICH (X, Y, Z)

Przypadek ogólny:

Transformacja 7-parametrowa:

UKŁAD ORTOKARTEZJAŃSKI



UKŁAD ORTOKARTEZJAŃSKI

• translacja o wektor



[



x

,



y

,



z

];

• obroty o kąty Eulera (



,



,



);

• skala m

TRANSFORMACJA UKŁADÓW KARTEZJAŃSKICH (X, Y, Z)

W astronomii:

• obroty o kąty Eulera (

  

);

Transformacja 3-parametrowa
(transformacja przez obroty):

• obroty o kąty Eulera (



,



,



);

Ten sam początek, skala się nie zmienia

2009-10-19

8

TRANSFORMACJA UKŁADÓW KARTEZJAŃSKICH (X, Y, Z)

Transformacja przez obroty – etap 1:

1) Obrót o kąt



– kąt obrotu układu xyz

dookoła osi z – otrzymujemy układ x’y’z’.

y

j

y

y

y

x

y

y

x

x



















'

cos

sin

'

sin

cos

'









z

z



'

TRANSFORMACJA UKŁADÓW KARTEZJAŃSKICH (X, Y, Z)

Transformacja przez obroty – etap 2:

2) Obrót o kąt



– kąt obrotu

układu x’y’z’ dookoła osi x’ –

układu x y z dookoła osi x
otrzymujemy układ x’’y’’z’’.





sin

'

cos

'

''

'

''













z

y

y

x

x





cos

'

sin

'

''











z

y

z

2009-10-19

9

TRANSFORMACJA UKŁADÓW KARTEZJAŃSKICH (X, Y, Z)

Transformacja przez obroty – etap 3:

3) Obrót o kąt



– kąt obrotu

układu x’’y’’z’’ dookoła osi z’’ –

układu x y z dookoła osi z
otrzymujemy układ x’’’y’’’z’’’.

cos

''

sin

''

''

'

sin

''

cos

''

''

'

y

x

y

y

x

x



























''

''

'

z

z



TRANSFORMACJA UKŁADÓW KARTEZJAŃSKICH (X, Y, Z)

• obroty o kąty Eulera (



,



,



);

Transformacja xyz na x’y’z’ przez obroty - podsumowanie















































































































z

y

x

z

y

x



























































cos

sin

cos

sin

sin

cos

sin

cos

cos

cos

sin

sin

cos

cos

sin

sin

cos

sin

sin

sin

cos

cos

cos

sin

sin

sin

cos

cos

cos

'

'

'

2009-10-19

10

TRANSFORMACJA UKŁADÓW SFERYCZNYCH

UKŁAD SFERYCZNY



UKŁAD ORTOKARTEZJAŃSKI



















v

u

x

i

cos

cos





































v

v

u

z

y

v

u

sin

cos

sin

,

TRANSFORMACJA UKŁADÓW HORYZONTALNEGO I

RÓWNIKOWEGO PRZEZ OBROTY

Zamiana współrzędnych z układu

horyzontalnego

A , h na współrzędne

równikowe

δ, t:

1) W ół

d

f

A h

l ż

1) Współrzędne sferyczne A, h należy

wyrazić w układzie ortokartezjańskim:















































h

h

A

h

A

z

y

x

h

A

sin

cos

sin

cos

cos

,

2) Wyznaczenie współrzędnych



 



h

A

t

z

y

x

R

R

z

y

x

,

3

2

,

180

90

'

'

'

























































ortokartzejańskich układu równikowego:

'

arcsin

'

'

arctan

z

x

y

t







3) Wyznaczenie współrzędnych sferycznych

układu równikowego:

2009-10-19

11

TRANSFORMACJA UKŁADÓW HORYZONTALNEGO I

RÓWNIKOWEGO PRZEZ OBROTY

Zamiana współrzędnych z układu

równikowego

δ, t na współrzędne

horyzontalne

A , h:

1) W ół

d

f

δ t

l ż

1) Współrzędne sferyczne δ, t należy

wyrazić w układzie ortokartezjańskim:

2) Wyznaczenie współrzędnych























































sin

cos

sin

cos

cos

,

t

t

z

y

x

t

ortokartzejańskich układu horyzontalnego:

3) Wyznaczenie współrzędnych sferycznych

układu horyzontalnego:



 







,

2

3

,

90

180

'

'

'

t

h

A

z

y

x

R

R

z

y

x























































'

arcsin

'

'

arctan

z

h

x

y

A





TRANSFORMACJA UKŁADÓW HORYZONTALNEGO I

RÓWNIKOWEGO PRZEZ OBROTY

MACIERZE OBROTÓW:

 



































cos

sin

0

sin

cos

0

0

0

1

1

R





i

0

 



































cos

0

sin

0

1

0

sin

0

cos

2

R

 

























1

0

0

0

cos

sin

0

sin

cos

3











R