Uzupełnienie zestawu wybranych wzorów matematycznych

Granica ciągu

Dane są ciągi

 

n

a

i

 

n

b

, określone dla

1

n



.

Jeżeli

lim

n

n

a

a





oraz lim

n

n

b

b



 , to





lim

n

n

n

a

b

a b





 





lim

n

n

n

a

b

a b





 





lim

n

n

n

a b

a b





 

Jeżeli ponadto

0

n

b

 dla

1

n



oraz

0

b



, to

lim

n

n

n

a

a

b

b





Dany jest nieskończony ciąg geometryczny

 

n

a

, określony dla

1

n



, o ilorazie q .

Niech

n

S

oznacza ciąg sum początkowych wyrazów ciągu

 

n

a

, tzn. ciąg określony wzorem

1

2

...

n

n

S

a

a

a

 

  . Jeżeli

1

q



, to ciąg

n

S

ma granicę

1

lim

1

n

n

a

S

S

q









.

Tę granicę nazywamy sumą wszystkich wyrazów ciągu

 

n

a

.

Pochodna funkcji

 

 

c f x

c f x







 









dla

c R



 

 

 

 

f x

g x

f x

g x





















 

 

 

 

f x

g x

f x

g x





















   

   

   

f x g x

f x g x

f x g x

























 

 

   

   

 

2

f x

f x g x

f x g x

g x

g x



































, gdy

 

0

g x



Pochodne niektórych funkcji

Niech

a

,

b

,

c

będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi,

2

n



dowolną liczbą naturalną.

funkcja pochodna

funkcji

 

f x

c



 

0

f x





 

f x

ax b





 

f x

a





 

2

f x

ax

bx c







 

2

f x

ax b







 

a

f x

x



 

2

a

f x

x







 

n

f x

x



 

1

n

f x

nx







Równanie stycznej
Jeżeli funkcja

f ma pochodną w punkcie

0

x , to równanie stycznej do wykresu funkcji f

w punkcie

 





0

0

,

x f x

dane jest wzorem

y ax b



 ,

gdzie współczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pochodnej funkcji

f w punkcie

0

x , tzn.

 

0

a

f x





, natomiast

 

 

0

0

0

b

f x

f x

x









.

Trygonometria
Sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych

sin

sin

2sin

cos

2

2

 

 













sin

sin

2sin

cos

2

2

 

 













cos

cos

2 cos

cos

2

2

 

 













cos

cos

2sin

sin

2

2

 

 











 













1

sin sin

cos

cos

2





 

 

 



















1

cos cos

cos

cos

2





 

 





















1

sin cos

sin

sin

2





 

 









Rachunek prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo warunkowe
Niech A , B będą zdarzeniami losowymi zawartymi w

 , przy czym

 

0

P B



.

Prawdopodobieństwem warunkowym





|

P A B

nazywamy liczbę









 

|

P A B

P A B

P B





Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Jeżeli zdarzenia losowe

1

2

,

,...,

n

B B

B zawarte w

 spełniają warunki:

1.

1

2

,

,...,

n

B B

B są parami rozłączne, tzn.

i

j

B

B



  dla i

j

 ,

1 i n

 

, 1 j n

  ,

2.

1

2

...

n

B

B

B



 

  ,

3.

 

0

i

P B



dla

1 i n

 

,

to dla każdego zdarzenia losowego

A zawartego w

 zachodzi równość

 



  



  



  

1

1

2

2

|

|

...

|

n

n

P A

P A B

P B

P A B

P B

P A B

P B









 

